第二节定积分的定义
第一节 定积分的定义
一 、引例
引例1:求曲边梯形的面积
1( 曲边梯形:在直角坐标系中，由连续曲线，直线y,f(x),f(x),0x,a,x,b
x及轴所围成的图形，叫做曲边梯形， AabB
2( 求曲边梯形的面积
n(1)在上任意插入个分点 [a,b]
a,x,x,x？,x,x,b 012n,1n
n将区间[a,b]分成个小区间
[x,x],[x,x],？,[x,x] 0112n,1n这些区间的长分别为
,x,x,x,i,1,2,？,n iii,1
x(i,1,2,？,n)xn过每个分点作轴的垂线，把曲边梯形分成个小曲边梯形，如图AabBi
,S6-3。用表示曲边梯形的面积，表示第个小曲边梯形的面积，则有 SAabBii
n
S,,S，,S，？，,S,,S ,12ni,1i
[x,x](i,1,2,？,n),(x,,,x)(2)在每个小区间上任取一点，作乘积i,1iii,1ii
f(,),,x(i,1,2,,？,n)，则 ii
,S,f(,),,x(i,1,2,,？,n) iii作和式
n
S,S,f(,),,x ,nii,1i
,,,,Max,x,,x,？,,xS(3)记，当时，和式的极限就定义为曲边梯形,,012nn
的面积，即 AabBS
n
S,f(,),,x ,iilim,,0,1i
引例2: 变速直线运动的距离
设物体以速度s作变速直线运动，求物体在时间区间内运动的距离。 v(t)[a,b]
n(1)在上任意插入个分点 [a,b]
a,t,t,t？,t,t,b 012n,1n
n将时间区间分成个小区间 [a,b]
[t,t],[t,t],？,[t,t] 0112n,1n
这些小区间的长分别为
,t,t,t,i,1,2,？,n iii,1
[t,t](i,1,2,？,n),(t,,,t)(2)在每个小区间上任取一点，作乘积 i,1iii,1ii
v(,),,t(i,1,2,,？,n) ii
[t,t](i,1,2,？,n)则物体在小区间上运动的距离 i,1i
,s,v(,),,t(i,1,2,,？,n) iii
作和式
n
s,v(,),,t ,ii,1i
n
v(,),,t,,,,Max,t,,t,？,,t(3)记，当时，总和的极限就定义为,,0,ii12ni,1
s[a,b]物体在时间区间内运动的距离，即
n
s,v(,),,t ,iilim,,0,1i
二(定积分的定义
nf(x)[a,b][a,b]定义1 设在上有界，在上任意插入个分点:
a,x,x,x？,x,x,b 012n,1n
n[a,b]将区间分成个小区间:
[x,x],[x,x],？,[x,x] 0112n,1n
这些小区间的长分别为
,x,x,x,i,1,2,？,n iii,1
[x,x](i,1,2,？,n),(x,,,x)上任取一点，作乘积 在每个小区间i,1iii,1ii
f(,),,x(i,1,2,,？,n) ii
作和式
n
f(,),,x ,iii,1
,,,,Max,x,,x,？,,x,记，如果无论对怎样分法，也无论点怎样取法，只要[a,b]12ni
n
f(,),,x当时，和式总趋于确定的极限，则称此极限为函数在上f(x)[a,b]I,,0,iii,1
b定积分，记为f(x)dx，即 ,a
nb,f(,),,xf(x)dx ,iilim,a,,0,1i
xa其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分上限，b
[a,b]叫做积分上限，叫做积分区间。
注意
n
f(,),,x, (1)存在时，其极限与[a,b]的分法，点的取法无关; I,iiilim,,0,1i
n
f(,),,xx (2)存在时，其极限与积分变量无关; I,iilim,,0,1i
baf(x)dx,,f(x)dx (3)规定 ,,ab
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