导数典型例题

2 1 导数典型例题 导数作为考试 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题 【例1】函数f(x)=x(x-1) (x-2)…(x-100)在x=0处的导数值为 A.0 B.1002 C.200 D.100！ 解法一 f＇(0)= = = (Δx-1)(Δx-2)…(Δx-100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D. 解法二 设f(x)=a101x101+ a100x100+…+ a1x+a0，则f＇(0)= a1，而a1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D. 点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解. 【例2】 已知函数f(x)= ，n∈N*，则 = . 解 ∵ =2 + =2f＇(2)+ f＇(2)=3 f＇(2)， 又∵f＇(x)= ， ∴f＇(2)= （2 ）= [(1+2)n-1]= (3n-1). 点评 导数定义中的“增量Δx”有多种形式，可以为正也可以为负，如 ，且其定义形式可以是 ，也可以是 （令Δx=x-x0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖. 【例3】 如圆的半径以2 cm/s的等速度增加，则圆半径R=10 cm时，圆面积增加的速度是 . 解 ∵S=πR2，而R=R(t)， =2 cm/s，∴ = =2πR· =4πR， ∴ /R=10=4πR/R=10=40π cm2/s. 点评 R是t的函数，而圆面积增加的速度是相当于时间t而言的（R是中间变量），此题易出现“∵S=πR2，S＇=2πR，S＇/R=10=20π cm2/s”的错误.本题考查导数的物理意义及复合函数求导法则，须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率，它是 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示瞬时速度，因速度是向量，故变化率可以为负值.2004年 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 湖北卷理科第16题是一道与实际问题结合考查导数物理意义的填空题，据资料反映：许多考生在求出距离对时间的变化率是负值后，却在写出答案时居然将其中的负号舍去，以致痛失4分. 二、与曲线的切线有关的问题 【例4】 以正弦曲线y=sinx上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是 A. ∪ B. C. D. ∪ 解 设过曲线y=sinx上点P的切线斜率角为α，由题意知，tanα=y＇=cosx. ∵cosx∈[-1，1]， ∴tanα∈[-1，1]，又α∈ ，∴α∈ ∪ . 故选A. 点评 函数y=f(x)在点x0处的导数f＇(x0)表示曲线，y=f(x)在点（x0，f(x0)）处的切线斜率，即k=tanα(α为切线的倾斜角)，这就是导数的几何意义.本题若不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范围，极易出错. 【例5】 曲线y=x3-ax2的切线通过点（0，1），且过点（0，1）的切线有两条，求实数a的值. 解 ∵点（0，1）不在曲线上，∴可设切点为（m,m3-am2）.而y＇=3x2-2ax， ∴k切=3m3-2am，则切线方程为y=(3m3-2am)x-2m3-am2. ∵切线过（0，1），∴2m3-am2+1=0.(*) 设（*）式左边为f(m)，∴f(m)=0，由过（0，1）点的切线有2条，可知f(m)=0有两个实数解，其等价于“f(m)有极值，且极大值乘以极小值等于0，且a≠0”. 由f(m)=2m3-am2+1，得f＇(m)= 6m3-am2=2m(3m-a)，令f＇(m)=0，得m=0，m= ， ∴a≠0，f(0)·f( )=0，即a≠0，- a3+1=0，∴a=3. 点评 本题解答关键是把“切线有2条”的“形”转化为“方程有2个不同实根”的“数”，即数形结合，然后把三次方程（*）有两个不同实根予以转化.三次方程有三个不同实根等价于“极大值大于0，且极小值小于0”.另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否在曲线上. 三、与函数的单调性、最（极）值有关的问题 【例6】 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是 A.①、② B.①、③ C.③、④ D.①、④ 解 由题意知导函数的图像是抛物线.导函数的值大于0，原函数在该区间为增函数；导函数的值小于0，原函数在该区间为减函数，而此抛物线与x轴的交点即是函数的极值点，把极值点左、右导数值的正负与三次函数在极值点左右的递增递减结合起来考虑，可知一定不正确的图形是③、④，故选C. 点评 f＇(x)>0（或<0）只是函数f＇(x)在该区间单递增（或递减）的充分条件，可导函数f＇(x)在(a，b)上单调递增（或递减）的充要条件是：对任意x∈(a，b)，都有f＇(x)≥0(或≤0)且f＇(x)在(a，b)的任意子区间上都不恒为零.利用此充要条件可以方便地解决“已知函数的单调性，反过来确定函数解析式中的参数的值域范围”问题.本题考查函数的单调性可谓新颖别致. 【例7】函数y=f(x)定义在区间（-3，7）上，其导函数如图所示，则函数y=f(x)在区间（-3，7）上极小值的个数是 个. 解 如图，A、O、B、C、E这5个点是函数的极值点，观察这5个极值点左、右导数的正、负，可知O点、C点是极小值点，故在区间（-3，7）上函数y=f(x)的极小值个数是2个. 点评 导数f＇(x)=0的点不一定是函数y=f(x)的极值点，如使f＇(x)=0的点的左、右的导数值异号，则是极值点，其中左正右负点是极大值点，左负右正点是极小值点.本题考查函数的极值可以称得上是匠心独运. 【例8】 设函数f(x)与数列{an}满足关系：①a1>α，其中α是方程f(x)=x的实数根；②an+1=f(an)，n∈N*；③f(x)的导数f＇(x)∈（0，1）. （1）证明：an>α，n∈N*； （2）判断an与an+1的大小，并证明你的结论. （1）证明：（数学归纳法） 当n=1时，由题意知a1>α，∴原式成立. 假设当n=k时，ak>α，成立. ∵f＇(x)>0，∴f(x)是单调递增函数. ∴ak+1= f(ak)> f(α)=α，（∵α是方程f(x)= x的实数根） 即当n=k+1时，原式成立. 故对于任意自然数N*，原式均成立. （2）解：g(x)=x-f(x),x≥α，∴g＇(x)=1-f＇(x)，又∵0< f＇(x)<1，∴g＇(x)>0. ∴g＇(x)在 上是单调递增函数. 而g＇(α)=α-f(α)=0，∴g＇(x)>g(α) (x>α)，即x>f(x). 又由（1）知，an>α，∴an>f(an)=an+1. 点评 本题是函数、方程、数列、导数等知识的自然链接，其中将导数知识融入数学归纳法，令人耳目一新. 四、与不等式有关的问题 【例9】 设x≥0，比较A=xe-x，B=lg(1+x)，C= 的大小. 解 令f(x)=C-B= -lg(1+x)，则f＇(x)= >0， ∴f(x)为 上的增函数，∴f(x)≥f(0)=0，∴C≥B. 令g(x)=B-A=lg(1+x)-xe-x，则当x≥0时，g＇(x)= ≥0， ∴g(x)为 上的增函数，∴g(x)≥g(0)=0，∴B≥A. 因此，C≥B≥A（x=0时等号成立）. 点评 运用导数比较两式大小或证明不等式，常用设辅助函数法，如f(a)=φ(a)，要证明当x>a时，有f(a)=φ(a)，则只要设辅助函数F(x)= f(a)-φ(a)，然后证明F(x)在x>a单调递减即可，并且这种设辅助函数法有时可使用多次，2004年全国卷Ⅱ的压轴题就考查了此知识点. 五、与实际应用问题有关的问题 【例10】 某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足：①y与(a-x)和x2的乘积成正比；②当 时，y=a3.并且技术改造投入比率： ∈ ,其中t为常数，且t∈ . （1）求y=f(x)的解析式及定义域； （2）求出产品的增加值y的最大值及相应的x值. 解：（1）由已知，设y=f(x)=k(a-x)x2， ∵当 时，y= a3，即a3=k· · ，∴k=8，则f(x)=8-(a-x)x2. ∵0< ≤t，解得00，此时f(x)在（0， ）上单调递增； 当x> 时，f＇(x)<0，此时f(x)是单调递减. ∴当 ≥ 时，即1≤t≤2时，ymax=f( )= ； 当 < 时，即0