柯莫哥洛夫与斯米尔诺夫检验
一、柯莫哥洛夫检验
设总体 X 的分布函数为
，
是 x 的连续函数。
……
是来自 X 的样本。
设要检验的原假设是
：
这里要保证
是一个已知的特定的连续分布函数，且不含任何未知参数。
要进行假设检验首先要构造检验统计量，这里构造检验统计量的思路是从样本经验分布入手。
定义样本的经验分布函数
，这里的
表
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示为：
其中的
为如下的示性函数：
这里要指出，
时相互独立同分布与
的随机变量。
证明如下：
于是有
服从退化分布。
又由于，
所以，
是
的无偏估计。
再由，Bernoulli大数定律
于是，
是
的相合估计.
在由中心极限
定理
三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理
可以知道：对于固定的X，在n较大的时候
有渐进正态分布
进一步有：
通过以上的推导，我们似乎找到了一个合适的检验统计量
,它的分布是已知的，如果
越大则越倾向于拒绝原假设。
但是这里的分布的收敛性是对逐点收敛的，而不是一致收敛，因此并不适合用于构造检验统计量。我们还需进一步的处理样本。
在这里需要介绍格里文科定理：
对于任给的自然数n，设
……
是取自总体分布函数
一组样布观察指标，
为其经验分布函数，记
则有：
这里的
几乎处处以概率1趋于0，但是我们还需要进一步的探讨其精确或者渐进分布。
我们可以获得如下定理：
TH1:设
是连续的分布函数， y为任意实数,在原假设为真时:
这里的定理获得的分布是精确的分布，并且不要求
的具体形式，只要求
是连续分布函数，因此该定理的分布函数与
的形式无关，至于样本量有关。
显然，最大距离
越大，越倾向于拒绝原假设
，故检验
的拒绝域应有形式
。对于给定的显著性水平
（0<
<1），有定理给出的精确分布定出
分布的上侧分位数
，使得：
。
其中，
但是，当n>100时，利用上面的定理计算的
分位数已非常繁琐，这时可以用柯尔莫哥洛夫对给出的渐进分布计算拒绝域。
TH2：设理论分布是连续分布函数，且不含任何未知参数，则在原假设为真且n趋于无穷时：
（*）
该定理给出了最大距离
的渐进分布
。由于对原假设
做出做检验时的拒绝域任为
，故对给定的显著性水平
（0<
<1），可用定理给出
的上侧分位数
，使：
或
其中，
二、斯米尔诺夫检验
斯米尔诺夫检验主要用于检验两个总体的真分布是否相同.其检验的思想
方法
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与柯莫哥洛夫检验类似。
设
……
是来自具有连续分布函数
的总体X中的样本，设
……
是来自具有连续分布函数
的总体 Y 中的样本，且假定两个样本相互独立。
欲检验假设：
:
vs
:
构造检验统计量为：
其中
和
分别是这两个样本所对应的经验分布函数。当
不真时，统计量有偏大的趋势。
可以获得如下定理：
TH1：如果
，且
为连续函数，则有:
其中x为任意实数,
.
TH2：如果定理TH1所述条件成立，则有
其中K(x)由式(*)定义
由定理1可见，统计量
的精确分布不依赖于总体的真分布函数
，以上两个定理提供了比较两个总体的分布函数的方法。
对于给定的显著性水平
（0<
<1），令
，可以由表查出
和
，使得
，若
>
,则拒绝原假设
，若
,<
,则接受原假设
。
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