9213因式分解技巧（第二版）

书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 书书 ? ? ? ? ? www.0319jiajiao.com 目　　录 !!"!!!! 目!!录 " ! 什么是因式分解 $$0 " 提公因式 $$# !)!)!一次提净 $$#! !)!P!视*多+为一 $$!! !)!/!切勿漏) $$!! !)!Q!注意符号 $$A! !)!+!仔细观察 $$A! !)!,!化*分+为整 $$2! !习题) $$"! # 应用公式 $$3 !P!)!平方差 $$3! !P!P!立方和与立方差 $$1! !P!/!完全平方 $$1! !P!Q!完全立方 $$4! !P!+!问一知三 $0$! !P!,!P)*-QR)不是质数 $00! !习题P $0#! $ 分组分解 $0! !/!)!三步曲 $0!! !/!P!殊途同归 $0!! !/!/!平均分配 $0A! ? ? ? ? ? www.0319jiajiao.com !!#!!!! "!!因式分解技巧 !/!Q!瞄准公式 $02! !/!+!从零开始 $02! !习题/ $03! % 拆项与添项 $01 !Q!)!拆开中项 $01! !Q!P!皆大欢喜 $01! !Q!/!旧事重提 $04! !Q!Q!无中生有 $04! !Q!+!配成平方 $#$! !习题Q $#0! & 十字相乘 $## !+!)!知己知彼 $##! !+!P!熟能生巧 $#A! !+!/!再进一步 $#2! !+!Q!二次齐次式 $#"! !+!+!系数和为零 $#3! !习题+ $#1! ' 二元二次式的分解 $#4 !,!)!欲擒故纵 $#4! !,!P!三元齐次 $!0! !,!/!项数不全 $!#! !,!Q!能否分解 $!#! !习题, $!A! ( 综合运用 $!2 !S!)!善于换元 $!2! !S!P!主次分清 $!3! !S!/!一题两解 $!1! !S!Q!展开处理 $!4! ? ? ? ? ? www.0319jiajiao.com !!$!!!! 目!!录 " !S!+!巧运匠心 $A$! !习题S $A#! ) 多项式的一次因式 $AA !-!)!余数定理 $AA! !-!P!有理根的求法 $A2! !-!/!首)多项式 $A3! !-!Q!字母系数 $A4! !习题- $2$! * 待定系数法 $20 !*!)!二次因式 $20! !*!P!既约的情况 $2A! !习题* $22! "! 轮换式与对称式 $2" !).!)!典型方法 $2"! !).!P!齐次与非齐次 $24! !).!/!"/#$/#%/&/"$% $"0! !).!Q!焉用牛刀 $"#! !).!+!整除问题 $"!! !).!,!原来是零 $"2! !).!S!四元多项式 $"3! !习题). $"1! "" 实数集与复数集内的分解 $30 !))!)!求根公式 $30! !))!P!代数基本定理 $3!! !))!/!单位根 $3A! !))!Q!攻玉之石 $3"! !习题)) $34! ? ? ? ? ? www.0319jiajiao.com !!%!!!! "!!因式分解技巧 "# 既约多项式 $1$ !)P!)!艾氏判别法 $1$! !)P!P!奇与偶 $10! !)P!/!分圆多项式 $1!! !)P!Q!绝对不可约 $12! !习题)P $12! !!!习题答案 $13 ? ? ? ? ? www.0319jiajiao.com 书书书 什么是因式分解 !!"!!!! !!什么是因式分解 " 在小学里!我们学过整数的因数分解!由乘法!得 !""##$! 反过来!#$可以分解"#$%!&"! 当然!"还可以继续分解为$&$!于是得 #$#!"$"$! 这时#$已经分解成质因数的乘积了! 同样地!由整式乘法!得 ##$$%$##&%$$##$$%&%$&$%!! 反过来!#$$%&%$&$%!可以分解为两个因式#$$%与#&%$的乘积!即 #$$%&%$&$%!###$$%$##&%$$! #&%$还可以继续分解为##$%$##&%$!于是 #$$%&%$&$%!###$$%$##$%$##&%$! 这里%的一次多项式#$$%%#$%%#&%都不能继续分解!它们是不可约多 项式!也就是既约多项式!所以!#$$%&%$&$%! 已经分解成质因式的乘 积了! 把一个整式写成几个整式的乘积!称为因式分解!每一个乘式称为积的 因式! 在因式分解中!通常要求各个乘式#因式$都是既约多项式!这样的因式 称为质因式! 因式分解的方法!我们将逐一介绍! ? ? ? ? ? www.0319jiajiao.com 提公因式 !!#!!!! "!!因式分解技巧 学过因式分解的人爱说"&一提%二代%三分组!' &提'是指&提取公因式'!在因式分解时!首先应当想到的是有没有公因 式可提! 几个整式都含有的因式称为它们的公因式! 例如'(%')%&'*都含有因式'!'就是它们的公因式! 由乘法分配律!我们知道 '#($)&*$#'($')&'*! 因此 '($')&'*#'#($)&*$! ##$ 这 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明##$式左边三项的公因式'可以提取出来!作为整式'($')& '*的因式!'($')&'*的另一个因式($)&*仍由三项组成!每一项等于 '($')&'*中对应的项除以公因式'" (#'(+'!)#')+'!*#'*+'! !!!!一次提净 例!!分解因式"#$($%!$'()%$,&#((*%$! 解!#$($%!$'()%$,&#((*%$由 #$($%!%'()%$,%&#((*%$ 这三项组成!它们的数系数#$%'%)#(的最大公约数是!!各项都含有因式( 和%$!所以!(%$是上述三项的公因式!可以提取出来作为#$($%!$'()%$,& #((*%$的因式!即有 !#$($%!$'()%$,&#((*%$ #!(%$#"(%$$),&(*$! 在例#中!如果只将因式!(或!(%提出!那么留下的式子仍有公因式可 ? ? ? ? ? www.0319jiajiao.com !!$!!!! "!提公因式 " 以提取!这增添了麻烦!不如一次提净为好!因此!应当先检查数系数!然后再 一个个字母逐一检查!将各项的公因式提出来!使留下的式子没有公因式可 以直接提取! 还需注意原式如果由三项组成!那么提取公因式后留下的式子仍由三项 组成!在例#中!这三项分别为#$($%!%'()%$,%&#((*%$除以公因式!(%$所 得的商!初学的同学为了防止产生错误!可以采取两点措施" #*在提公因式前!先将原式的三项都写成公因式!(%$与另一个式子的 积!然后再提取公因式!即 !#$($%!$'()%$,&#((*%$!!!! #!(%$("(%$!(%$($),$!(%$(#&(*$ #!(%$(#"(%$$),&(*$! 在熟练之后应当省去中间过程!直接写出结果! $*用乘法分配律进行验算!由乘法得出 !!(%$#"(%$$),&(*$!!! ##$($%!$'()%$,&#((*%$! !!"!视!多"为一 例"!分解因式"$($)#%$,$$#)$*$&'(!)!#%$,$#)$*$$! 解!原式由 $($)#%$,$$#)$*$%&'(!)!#%$,$#)$*$$ 这两项组成!它们的数系数的最大公约数是$!两项都含有因式($和)!而且 都含有因式%$,与)$*!因此$($)#%$,$#)$*$是它们的公因式!于是有 !$($)#%$,$$#)$*$&'(!)!#%$,$#)$*$$ #$($)#%$,$#)$*$(#%$,$&$($)#%$,$#)$*$(!()$#)$*$ #$($)#%$,$#)$*$)#%$,$&!()$#)$*$* #$($)#%$,$#)$*$#%$,&!()!&!()$*$! 在本例中!我们把多项式%$,%)$*分别整个看成是一个字母!这种观 点在因式分解时是很有用的! !!#!切勿漏! 例#!分解因式"#$%$,$!&#$%$,$$$#$%$,$! ? ? ? ? ? www.0319jiajiao.com !!%!!!! "!!因式分解技巧 解!我们把多项式$%$,看成是一个字母!因此原式由 #$%$,$!%&#$%$,$$%$%$, 这三项组成!$%$,是这三项的公因式!于是 ! #$%$,$!&#$%$,$$$#$%$,$ ##$%$,$(#$%$,$$&#$%$,$(#$%$,$$#$%$,$(# ##$%$,$)#$%$,$$&#$%$,$$#*! 请注意!中括号内的式子仍由三项组成!千万不要忽略最后一项#!在省 去中间过程时!尤需加倍留心! !!$!注意符号 例$!分解因式"&!()#$%$!,$"$(*#$%$!,$!&(#$%$!,$! 解!!&!()#$%$!,$"$(*#$%$!,$!&(#$%$!,$ #(#$%$!,$(#&!)$(#$%$!,$!$(#$%$!,$(*#$%$!,$$$ (#$%$!,$(#&#$ #(#$%$!,$)&!)#$%$!,$!$*#$%$!,$$&#*! 注意中括号内的最后一项是)#!千万别漏掉+ 本例中!原式的第一项有个因数)#!它也可以作为因数提取出来!即 !!&!()#$%$!,$"$(*#$%$!,$!&(#$%$!,$ #&(#$%$!,$(!)#$%$!,$!&(#$%$!,$(#&*$#$%$!,$$& (#$%$!,$(# #&(#$%$!,$)!)#$%$!,$!&*#$%$!,$$$#*! #$$ 这样做也是正确的!但必须注意各项的符号!提出因数)#后各项都应改变符 号!所以#$$式的中括号内三项的符号恰与原式中相应的三项相反! !!%!仔细观察 例%!分解因式"#$%&!,$#!%&$,$$#$,&!%$#$%$!,$! 解!初看起来!原式所含的第一项 #$%&!,$#!%&$,$与第二项#$,& !%$#$%$!,$没有公因式!但进一步观察便会发现 $,&!%#&#!%&$,$! ? ? ? ? ? www.0319jiajiao.com !!&!!!! "!提公因式 " 因此!%&$,是两项的公因式!于是有 !#$%&!,$#!%&$,$$#$,&!%$#$%$!,$ ##!%&$,$)#$%&!,$&#$%$!,$* #&',#!%&$,$! 提出公因式后!留下的式子如果可以化简!就应当化简! !!&!化!分"为整 例&!分解因式"!(!)$&'($)!$$+"()! 解!这里的第三项$+"()的系数是分数 !为了避免分数运算!我们把# " 先 提取出来!这时每项都除以# " #也就是乘以"$!即 !!(!)$&'($)!$$+"()! ##" ##$(!)$&$"($)!$$+()$ #!"() #"($)&,()$$-$! 熟练以后可以将以上两步并作一步!&一次提净'! 在提出一个分数因数#它的分母是各项系数的公分母$后!我们总可以使 各项系数都化为整数#这个过程实质上就是通分$!并且!还可以假定第一项 系数是正整数!否则可用前面说过的方法!把)#作为公因数提出!使第一项 系数成为正整数! 小!!结 提公因式是因式分解的基本方法之一!在因式分解时!首先应该 想到是否有公因式可提!在与其他方法配合时!即使开始已经提出 公因式!但是经过分组或应用公式后还有可能再出现公因式!凡有 公因式应立即提净!提公因式时!应注意各项的符号!千万不要漏 掉一项! ? ? ? ? ? www.0319jiajiao.com !!'!!!! "!!因式分解技巧 !!! !习 题 ! 将以下各式分解因式" ! (%$,&#.%,-$(%,! "(#%&($$)#(&%$&#%&($! # &$%#%$#$$(#%$#$$#%$#$! $ !$) !.&#$#') $.&##.是正整数$! % $#/&#$$&"0#/&#$! & '.#'$$.$$&.$#'$$.$$! ' #((&$)$#$'$!/$&#$(&+)$#$'$!/$! ( $#%$,$$'#%$,$$&"#%$,$!! ) #%$,$$#)$*$&#%$,$#)$*$$! !*'/#%&#$!&,/$#%&#$$&$/##&%$$! ? ? ? ? ? www.0319jiajiao.com 应用公式 !!(!!!! #!应用公式 " 将乘法公式反过来写就得到因式分解中所用的公式!常见的有七个公式" ##$($&)$##($)$#(&)$, #$$(!$)!##($)$#($&()$)$$, #!$(!&)!##(&)$#($$()$)$$, #"$($$$()$)$##($)$$, #($($&$()$)$##(&)$$, #'$(!$!($)$!()$$)!##($)$!, #+$(!&!($)$!()$&)!##(&)$!! 以上公式必须熟记!牢牢掌握各自的特点! "!!!平 方 差 七个公式中!公式##$#即平方差公式$应用得最多! 例!!分解因式"-#'&.$$&"#'$.$$! 解!原式由两项组成!这两项符号相反!并且 -#'&.$$#)!#'&.$*$! "#'$.$$#)$#'$.$*$! 因此可以应用公式##$!得 !!-#'&.$$&"#'$.$$ #)!#'&.$*$&)$#'$.$*$ #)!#'&.$$$#'$.$*)!#'&.$&$#'$.$* )应用公式##$* ##('&.$#'&(.$! )合并同类项* 例"!分解因式"+(%',&#$%$,(! 解!!+(%',&#$%$,( #!%$,#$(%"&","$ )首先提取公因式* ? ? ? ? ? www.0319jiajiao.com !!)!!!! "!!因式分解技巧 #!%$,)#(%$$$&#$,$$$* )熟练后这步可以省去* #!%$,#(%$$$,$$#(%$&$,$$! )应用公式##$* 例#!分解因式"&#!($&()$$$$#(($&!)$$$! 解!!&#!($&()$$$$#(($&!)$$$ ##(($&!)$$$&#!($&()$$$ #)#(($&!)$$$#!($&()$$*)#(($&!)$$&#!($&()$$* )应用公式##$* ##,($&,)$$#$($$$)$$ )合并同类项* ##'#($&)$$#($$)$$ )提公因式* ##'#($)$#(&)$#($$)$$! )应用公式##$* 例!表明在因式公解中可能需要多次应用公式或提公因式!直到不能继 续分解为止! "!"!立方和与立方差 例$!分解因式"-%(&+$%$,!! 解!!-%(&+$%$,! #-%$#%!&,,!$ )提公因式* #-%$)%!&#$,$!* #-%$#%&$,$#%$$$%,$",$$! )应用公式#!$* 例%!分解因式"('$)'! 解!!('$)' ##($$!$#)$$! ##($$)$$)#($$$&($)$$#)$$$* )应用公式#$$* ##($$)$$#("&($)$$)"$! 公式#$$%#!$中的符号极易搞错!务必引起注意! "!#!完全平方 例&!分解因式"-%$&$"%,$#',$! 解!原式由三项组成!第一项-%$##!%$$!第三项#',$##",$$!而 $(!%(",#$"%,! 与中间一项只差一个符号!因此可以利用公式#($!得 ? ? ? ? ? www.0319jiajiao.com !!*!!!! #!应用公式 " !-%$&$"%,$#',$ ##!%&",$$! 这样的式子称为#完全$平方式!不是平方式的二次三项式!通常用十字 相乘法分解!请参看第(单元! 例'!分解因式",(&"($&"! 解!首先把原式&理顺'!也就是将它的各项按字母(降幂#或升幂$排列! 从而有 !,(&"($&"!! #&"($$,(&" #&"#($&$($#$ )提公因式* #&"#(&#$$! 按某个字母降幂排列是一个简单而有用的措施#简单的往往是有用的$! 值得注意! 例(!分解因式""($$-)$$-*$&#,)*&#$*($#$()! 解!我们需要引入一个公式!由乘法可得 #($)$*$$#($$)$$*$$$()$$)*$$*(! 即若干项的和的平方等于各项的平方与每两项乘积的$倍的和! 上面的式子可写成 !($$)$$*$$$()$$)*$$*( ##($)$*$$! #,$ 这也是一个因式分解的公式! 联系到例,就有 !"($$-)$$-*$&#,)*&#$*($#$() ##$($$$#!)$$$#&!*$$$$#!)$#&!*$$$#$($#&!*$$$#$($#!)$ ##$($!)&!*$$! 显然!公式#"$是公式#,$的特殊情况!当*%.时!公式#,$就简化成公式 #"$!公式#($也是公式#,$的特殊情况!另外!在公式#"$中将)换为))!公式 #"$就变成公式#($!不难看出!公式#$$与#!$!#'$与#+$也有同样的关系! "!$!完全立方 例)!分解因式",%!$$+,!$!'%$,$("%,$! ? ? ? ? ? www.0319jiajiao.com !"!!!! "!!因式分解技巧 解!!,%!$$+,!$!'%$,$("%,$ #,%!$!'%$,$("%,$$$+,! )按%降幂排列* ##$%$!$!#$%$$#!,$$!#$%$#!,$$$#!,$! ##$%$!,$!! )应用公式#'$* 例!*!分解因式"+$-('&$"!("$$+($&#! 解!!+$-('&$"!("$$+($&# ##-($$!&!(#-($$$(#$!(#-($$(#$&#! ##-($&#$! )应用公式#+$* ##!($#$!#!(&#$!! )应用公式##$* 在应用公式#'$%#+$时!需要判明原式是否符合条件!即它应由四项组 成!有两项是立方"(!与)!#或&)!$!另两项应当是!($)#或&!($)$与!()$! 这些要求不太容易满足!因此直接应用公式#'$%#+$的情况是比较少的!但 是!如果遇到了也不可失之交臂! 相比之下!完全平方式用得较多!人们常常用它来 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 一个式子的值是非 负的! "!%!问一知三 例!!!分解因式"('&)'! 解!('可以看成平方" ('##(!$$! 也可以看成立方" ('##($$!! 于是('&)'的分解就有两条路可走! 第一条路是先应用平方差公式" !('&)' ##(!$$&#)!$$ ##(!$)!$#(!&)!$ )应用公式##$* ##($)$#($&()$)$$#(&)$#($$()$)$$! )应用公式#$$#!$* 第二条路是从立方差公式入手" !!!('&)' ? ? ? ? ? www.0319jiajiao.com !""!!! #!应用公式 " ##($$!&#)$$! ##($&)$$#("$($)$$)"$ )应用公式#!$* ##($)$#(&)$#("$($)$$)"$! )应用公式##$* 采用两种方法分解!获得的结果应当相同!因此比较 #($)$#($&()$)$$#(&)$#($$()$)$$ 与 #($)$#(&)$#("$($)$$)"$! 我们知道("$($)$$)"不是既约多项式!并且有 ("$($)$$)"##($$()$)$$#($&()$)$$ #-$ 及 ('&)'##($)$#(&)$#($$()$)$$#($&()$)$$! ##.$ 于是!从('&)'的分解出发!不但得到##.$式!而且知道("$($)$$)"不 是既约多项式!导出了#-$式!可谓问一知三! 在第"单元中!我们还要介绍导出#-$式的另一种方法! "!&!"!'($)!不是质数 例!"!求证$#-,"/#不是质数! 证明!为了将$#-,"/#分解因数!我们需要知道一个新的公式!即在.为 正奇数时 (.$). ##($)$#(.&#&(.&$)$(.&!)$&-&().&$$).&#$! ###$ ###$式不难用乘法验证!将右边的两个因式相乘便得到(.$).! 现在我们有 !!!!!!$#-,"$# ##$'"$!#$#!# ##$'"$#$#$'""!.&$'""$-$-&$'"$#$! $'"/#是$#-,"/#的真因数!它大于#!小于$#-,"/#!所以$#-,"/#不是质数! 用这个方法可以证明"当.有大于#的奇数因数时!$./#不是质数! 与###$式类似!由乘法可以得到在.为正整数时 (.&). ##(&)$#(.&#$(.&$)$(.&!)$$-$().&$$).&#$! ##$$ 这也是一个有用的公式! ? ? ? ? ? www.0319jiajiao.com !"#!!! "!!因式分解技巧 例!#!分解因式"%(&#! 解!%(&###%&#$#%"$%!$%$$%$#$! 公式#!$是公式##$$的特例!公式#$$是公式###$的特例! 请注意公式##$$对一切正整数.成立!而公式###$的适用范围只是正奇数.! 小!!结 "一提#二代$中的"代$就是指"应用公式$%代公式&!在这一节介绍 了公式%#&!%#$&!其中%#&!%+&必须牢记!公式%#&尤为重要!做题时! 应当根据具体情况选用公式! !!! !习 题 " 将以下各式分解因式" ! #'&#!($$)$$! " ",$&#$-&%$$! #("&)"! $ &,#(")"$#'*"! % $.(!%!&"((%,$! & #!($&)$$$&#($&!)$$$! ' %,&,,! ( #'%(&%! ) #(%$$$%&!$$&#%$&$%&!$$! !*!$(!)!)")-! !!,(!)!*!&#! !"'"%',!$,#(! !#%$#($)$$&$%,#($&)$$$,$#(&)$$! !$(.$$$,(.$#'(.&$! !%-($$%$.$'($$%.$'(%.$#! !&($$)$$*$$$()&$(*&$)*! !'%$$-,$$"-$&'%,$"%-&#$,-! !( #/$0$!&!#/$0$$#/&0$$!#/$0$#/&0$$&#/&0$!! !)"($)$&#($$)$$$! "* #($%$"&#(&%$"! ? ? ? ? ? www.0319jiajiao.com 分组分解 !"$!!! $!分组分解 " 整式(%&),&)%$(,的四项没有公因式可以提取!也无法直接应用公 式!这样的式子需要分组分解! #!!!三 步 曲 我们用上面的整式来说明如何分组分解! 例!!分解因式"(%&),&)%$(,! 解! !(%&),&)%$(, ##(%&)%$$#(,&),$ )分为两组* #%#(&)$$,#(&)$ )&提'* ##%$,$#(&)$! )再&提'* 一般地!分组分解大致分为三步" #*将原式的项适当分组, $*对每一组进行处理#&提'或&代'$, !*将经过处理后的每一组当作一项!再采用&提'或&代'进行分解! 一位高明的棋手!在下棋时!决不会只看一步!同样!在进行分组时!不仅 要看到第二步!而且要看到第三步! 一个整式的项有许多种分组的方法!初学者往往需要经过尝试才能找到 适当的分组方法!但是只要努力实践!多加练习!就会成为有经验的&行家'! #!"!殊途同归 分组的方法并不是唯一的!对于上面的整式(%&),&)%$(,!也可以采 用下面的做法" !(%&),&)%$(, ##(%$(,$&#)%$),$ ? ? ? ? ? www.0319jiajiao.com !"%!!! "!!因式分解技巧 #(#%$,$&)#%$,$ ##%$,$#(&)$! 两种做法的效果是一样的!殊途同归+ 可以说!一种是按照%与,来分 组#含%的项在一组!含,的项在另一组$,另一种是按(与)来分组! 例"!分解因式"%$$(%$$%$(%&#&(! 解法一!按字母%的幂来分组! !%$$(%$$%$(%&#&( ##%$$(%$$$#%$(%$&##$($ #%$##$($$%##$($&##$($ ###$($#%$$%&#$! 解法二!按字母(的幂来分组! !%$$(%$$%$(%&#&( ##(%$$(%&($$#%$$%&#$ #(#%$$%&#$$#%$$%&#$ ##($#$#%$$%&#$! #!#!平均分配 在例$中!原式的'项是平均分配的!或者分成三组!每组两项,或者分成 两组!每组三项! 如果分组的目的是使第二步与第三步都有公因式可提!那么就必须平均 分配! 例#!分解因式"%!&$%$&%$$$%(&$%"! 解!'项可以分成三组!每组两项!我们把幂次相近的项放在一起!即 !%!&$%$&%$$$%(&$%"!! ##%(&$%"$$#%!&$%$$&#%&$$ #%"#%&$$$%$#%&$$&#%&$$ ##%&$$#%"$%$&#$! 本例也可以将'项分为两组!每组三项!即将系数为#的放在一组!系数 为)$的放在另一组!详细过程请读者自己完成! 例$!分解因式"(*$$)1$&(1$&)*$! 解! !(*$$)1$&(1$&)*$ ? ? ? ? ? www.0319jiajiao.com !"&!!! $!分组分解 " ##(*$&(1$$$#)1$&)*$$ #(#*$&1$$&)#*$&1$$ ##(&)$#*$&1$$ ##(&)$#*$1$#*&1$! 请读者考虑另一种分组分解! #!$!瞄准公式 如果在第二步或第三步中需要应用乘法公式!那么各组中的项数不一定 相等!应当根据公式的特点来确定! 例%!分解因式"&#&$%&%$$,$! 解! !&#&$%&%$$,$ #,$&#%$$$%$#$ #,$&#%$#$$ )应用公式#"$* ##,$%$#$#,&%&#$ )应用公式##$* 本例是瞄准公式##$与#"$来分组的! 例&!分解因式"(%!$%$($#! 解!根据(的幂来分组是可以行得通的!恰好能用上公式#$$!并为下一 步提公因式奠好基础! !!!!!!(%!$%$($# ##(%!$($$#%$#$ #(#%$#$#%$&%$#$$#%$#$ )应用公式#$$* ##%$#$#(%$&(%$($#$! )提公因式* 例'!分解因式"%"$%!$$%$$%$#! 解!!!!!%"$%!$$%$$%$# ##%"$$%$$#$$#%!$%$ ##%$$#$$$%#%$$#$ )公式#"$及提公因式* ##%$$#$#%$$%$#$! )提公因式* 这次是瞄准公式#"$来分组的! #!%!从零开始 如果分组分得不恰当!因式分解无法进行下去!那么就应当回到分组前 ? ? ? ? ? www.0319jiajiao.com !"'!!! "!!因式分解技巧 的状况!从零开始!考虑新的分组! 例(!分解因式"%!$%$&,!&,$! 解!如果把有%的项集在一起!有,的项集在一起!那么 !%!$%$&,!&,$ ##%!$%$$&#,!$,$$ #%$#%$#$&,$#,$#$! 虽然每一组都有公因式可提!但是两组之间却无公因式可提!也没有公式可 以利用!分解无法进行下去!这时!必须从零开始!重新分组! 这一次将次数相同的项放在一起!我们有 !!!%!$%$&,!&,$ ##%!&,!$$#%$&,$$ ##%&,$#%$$%,$,$$$#%&,$#%$,$)应用公式##$%#!$* ##%&,$#%$$%,$,$$%$,$! )提公因式* 例)!分解因式"()#*$&1$$&#($&1$$*1! 解!此式无法直接进行分解!必须先用乘法分配律将原式变为四项!再 进行分组! !()#*$&1$$&#($&)$$*1 #()*$&()1$&($*1$)$*1 ##()*$&($*1$$#)$*1&()1$$ #(*#)*&(1$$)1#)*&(1$ ##(*$)1$#)*&(1$! 从这个例子可以看出!错误的分组还不如不分组!聪明的人并不是不犯 错误的人!而是善于改正错误的人! 小!!结 如果"一提#二代$都不能奏效!就应当采用分组分解!分组分解应依 照前面所说的三步进行!这三步是密切联系的!不仅要看到第二步!而且 要看到第三步!在第二步与第三步都是提取公因式时!各组的项数相等 %平均分配&!否则!应当瞄准公式来进行分组!应当注意!分组需要尝试! 失败了!从零开始!只要反复实践!就能掌握分组的技巧!运用自如! ? ? ? ? ? www.0319jiajiao.com !"(!!! $!分组分解 " !!! !习 题 # 将以下各式分解因式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www.0319jiajiao.com 拆项与添项 !")!!! "!!因式分解技巧 为便于进行分组分解!常常将一项#或若干项$拆为两项#或几项$的和! $!!!拆开中项 前面已经说过!在分组分解时!常常将项数平均分配!但是!像%"& "%$!这样的式子!只有三项!怎么能平均分成两组呢.方法是先将一项拆 为两项!如果这个整式是按某一字母的升幂或降幂排列的!那么以拆开中 项为宜! 例!!分解因式"%"&"%$!! 解!!!!!!!%"&"%$! #%"&%&!%$! ##%"&%$&#!%&!$ #%#%&#$#%$$%$#$&!#%&#$ ##%&#$#%!$%$$%&!$! 例"!分解因式"#$#)&($$%$&()%!! 解! !#$#)&($$%$&()%! ###&($%$$$#)%$&()%!$ ###$(%$##&(%$$)%$##&(%$ ###&(%$##$(%$)%$$! 在这两个例子中!都有一个因式是%的一次多项式!第,单元将讨论求一 次因式的一般方法! $!"!皆大欢喜 拆项的目的无非是在适当分组后使得每一组都可以&提'或&代'#同时! 组与组之间也可以&提'或&代'$!因此!有时也不一定都是拆开中项! ? ? ? ? ? www.0319jiajiao.com 《数学奥林匹克小丛书》    以专家讲座的形式展开  由浅入深、夹叙夹议、讲练结合  在知识学习中实现能力培养  薄薄的小册子助你透析每一个专题  从奥委会委员到国家队教练  从大学教授到金牌教练员  聚集了国内最顶尖的奥数辅导专家  为你打造了一套最经典奥数专题辅导丛书  数学奥林匹克小丛书（第二版）初中卷    初中卷 1 单墫  著因式分解技巧 初中卷 2 葛军  编著方程与方程组 初中卷 3 一次函数与二次函数  李惟峰  编著 初中卷 4 三角形与四边形  沈文选  编著 初中卷 5 柯新立  编著圆 初中卷 6 冯志刚  著整除、同余与不定方程 初中卷 7 周建新  编著组合趣题 初中卷 8 冯志刚  顾滨  主编初中数学竞赛中的解题方法与策略   数学奥林匹克小丛书（第二版）·高中卷  高中卷1 刘诗雄  编著集合 高中卷2 熊斌  朱臻  苏勇  编著函数与函数方程 高中卷3 曹瑞彬  周益忠  编著三角函数 高中卷4 李胜宏  边红平  编著平均值不等式与柯西不等式 高中卷5 苏勇  熊斌  编著不等式的解题方法与技巧 高中卷6 冯志刚  著数列与数学归纳法 高中卷7 范端喜  邓博文  编著平面几何 高中卷8 张思汇  编著复数与向量 高中卷9 冷岗松  著几何不等式 高中卷10 余红兵  著数论 高中卷11 张垚  编著组合数学 高中卷12 熊斌  郑仲义  编著图论 高中卷13 冯跃峰  编著组合极值 高中卷14 熊斌  何忆捷  编著高中数学竞赛中的解题方法与策略       ? ? ? ? ? www.0319jiajiao.com       学奥数，这里总有一本适合你    自从 2000 年《奥数教程》中首次在图书中使用“奥数”一词以来，华东师范 大学出版社已陆续出版近 200种“奥数”图书,  形成多品种、多册层次全系列。  “奥数”入门篇——《从课本到奥数》（1‐9年级）Ａ、B版  “奥数”智优篇——《优等生数学》（1‐9年级）  “奥数”辅导篇——《奥数教程》、《学习手册》、《能力测试》（一至高三年级）  “奥数”小学顶级篇——《高思学校竞赛数学课本》、《高思学校竞赛数学导引》  “奥数”专题篇——《数学奥林匹克小丛书》（小学、初中、高中共 30种）  “奥数” 题库 doc摄影基础题库高中语文题库及参考答案安全生产模拟考试平台题库选择大学英语b统考题库消防知识竞赛题库 篇——《多功能题典  数学竞赛》（小学、初中、高中共 3种）  “奥数”高中预赛篇——《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》  “奥数”联赛冲刺篇——《高（初）中数学联赛考前辅导》  “奥数”IMO  终极篇——《走向IMO：数学奥林匹克试题集锦》  “奥数”域外篇——《日本小学数学奥林匹克》、《全俄中学生数学奥林匹克》                                 ? ? ? ? ? www.0319jiajiao.com