课题 数列通项公式的求法(专题)
一、考纲要求：掌握求数列通项公式的常见方法及基本技巧.
二、学习目标： 1、掌握等差,等比数列通项的求法。
2、掌握通过数列递推关系求通项的常见方法。
三、学法指导：化归与转化的思想
四、学习过程
求数列通项的常见方法
(一)公式法：
1、等差数列的通项公式: ;等比数列的通项公式 .
2、利用an与Sn的关系：
例1:已知在正项数列{an}中,其前n项和为Sn,且满足:,求an
练习: (1).设数列{an}是首项为2的正项数列且前n项和为Sn满足nan+1=Sn+n(n+1) (n≥2)
求数列{an}的通项公式.
(2). 已知数列{an}的其前n项和Sn,满足Sn=n2an(n≥2)且a1=1,求数列{an}的通项公式.
(二)利用递推关系求通项
1、累加法: 形如 an+1=an+f(n) 的递推关系
（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.
（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.
方法如下： 由 得：
时，，
，
所以各式相加得
即：.
为了书写方便，也可用横式来写：
时，，
=.
例2:已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+3n-1 (n≥2). (1)求a2, a3 (2)求数列{an}的通项公式
练习: (3).已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式.
(4).已知数列满足，，求此数列的通项公式.
2、累乘法: 形如 an+1=f(n)an 的递推关系
（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=.
（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.
由得 时，，=f(n)f(n-1).
例3 已知数列{an}满足a1=1,2n-1an=an-1 (n≥2)
(1)求数列{an}的通项公式. (2)这个数列从第几项起及其后面的项均小于?
练习: (5). 已知,求数列{an}的通项公式.
(6).设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…），求的通项公式.
3、待定系数法(构造新数列)：
(1) 形如,其中)型
（1）若c=1时，数列{}为等差数列;
（2）若d=0时，数列{}为等比数列;
（3）若时，数列{an}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
方法如下：设,
得,与题设比较系数得
,所以,所以有：
因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，
所以
即：.
规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式
例4已知数列满足a1=1, an+1=2an+1, 求数列{an}的通项公式
练习 (7) 已知数列中，.求数列{an}的通项公式
(8) 已知数列满足a1=2 , an+1=3an+2, 求数列{an}的通项公式
(2) 形如型
①若 则等式两边同除以pn转化为(1)形 再求解.
②若f(n)非指数形式,则可通过待定系数构造新数列,方法如下:
设存在实数 s,t,使得 an+1+sf(n+1)+t=p[an+sf(n)+t] 通过比较,求出s,t,转化为等比数列再求通项
例5已知数列{an}满足,a1=1,an+1=2an+3n, 求数列{an}的通项公式(用两种方法求解)
练习 (9) 已知数列{an}中,a1=0.5,点(n,2an+1-an)在直线y=x上,n∈N*,求数列{an}的通项公式.
4、取倒数法形如型
（1）即取倒数转化为an+1=pan+q的形式再求解.
例6. 已知数列中，，，求通项公式
(2)形如型 (同学们自己研究)
方法：不动点法:
我们设,由方程求得二根x,y,由有
同理
,两式相除有,从而得,再解出即可.
例7. 设数列｛an｝满足,求｛an｝的通项公式.
解：(此类问题常用参数法化等比数列求解)对等式两端同时加参数t,得：
,
令, 解之得t=1,-2 代入得
,,
相除得,即{}是首项为，
公比为的等比数列, =, 解得.
方法2：，
两边取倒数得
，
令b，则b,转化为类型3来求.
5、特征根法：形如an+2=pan+1+qan (其中p,q为常数)的递推关系
方法:
对于递推公式an+2=pan+1+qan , a1=α,a2=β给出的数列{an},方程x2-px-q=0,叫做数列{an}的特征方程. 若x1,x2 是特征方程方程的两个根(叫做特征根)
Ⅰ.若x1≠x2时,数列{an}的通项为,其中A,B由a1=α,a2=β决定(即把a1,a2,x1,x2和n=1,2,代入得到关于A,B的方程组解出A,B的值)
Ⅱ.若x1=x2时,数列{an}的通项为其中A,B由a1=α,a2=β决定(即把a1,a2,x1,x2和n=1,2,代入得到关于A,B的方程组解出A,B的值)
例8.数列中，若,且满足,求.
练习 (10) 已知数列满足，且,求
6、取对数法：形如(其中p,r为常数,且p>0，)型
（1）p>0，用对数法.
例9. 设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.
（2）p<0时 用迭代法
例10.已知数列，
求数列的通项公式an.
本文档为【数列通项公式的求法(高三专题复习)】，请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑，
图片更改请在作品中右键图片并更换，文字修改请直接点击文字进行修改，也可以新增和删除文档中的内容。
该文档来自用户分享，如有侵权行为请发邮件ishare@vip.sina.com联系网站客服，我们会及时删除。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生，若发现您的权利被侵害，请联系客服邮件isharekefu@iask.cn，我们尽快处理。
本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权，请谨慎使用。
网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传，仅限个人学习分享使用，禁止用于任何广告和商用目的。
浙公网安备 33021202002483