小平邦彦谈数学学习

小平邦彦谈数学学习 小平邦彦:数学的印象 什么是数学,不太清楚。但我以为关心数学的某些人会有这样的感觉，认为数学实 际不就是这么回事吗,本文要叙述一个数学家看到数学的印象，即像我这样对数学专业 以外的事情就不太懂的单纯的数学家，在研究数学时，感到数学是什么呢,我是直率而 不加修饰的谈这一问题以提供读者参考。 一般认为数学是按严密的逻辑构成的科学，即使与逻辑不尽相同，却也大致一样。 但是实际上，数学与逻辑没有什么关系。数学当然应该遵循逻辑，但逻辑在数学中的作 用就像文法在文学中的作用那样。书写合乎文法的文章与照著文法去写小说完全是两? 事;同样，进行正确的逻辑推理与堆砌逻辑去构成数学理论是性质完全不同的性质。 通常的逻辑谁都明白，要是数学能归结到逻辑，那么谁都应该懂得数学了。但是初 中高中很多学生理解不了数学却是众所周知的事实。精通语言学但数学成绩不好的学生 不在少数。所以我认为数学在本质上与逻辑不同。 数学 考虑除数学外的自然科学，例如物理学可以说是研究自然现象中物理现象的科学。 在同样的意义上，数学就是研究自然现象中数学现象的科学。因此，理解数学就要‘观 这里说的‘观察’不是用眼睛去看，而是根据某种感觉去体会。这种感 察’数学现象。 觉虽然有些难以言传，但显然是不同于逻辑推理能力之类的纯粹感觉，我认为更接近于 视觉。也可称之为直觉，为了强调是纯粹感觉，以下称此感觉为‘数觉’。直觉包含著 「一瞬领悟真谛’的含义，不太贴切。数学的敏锐，如同听觉的敏锐一样，与头脑好坏 没有关系(指本质上没有关系的意思，而不是统计上没有相关关系)。但是要理解数 学，不靠数学便一事无成。没有数觉的人不懂数学就像五音不全的人不懂音乐一样(这 只要担当数学不行的孩子的家庭教师就马上明白。你眼前看到的事情孩子却怎么也看不 见，说明起来很吃力)。数学家自己并不觉得如在证明定理时主要是具备了数觉，所以 就认为是逻辑上作了严密的证明，实际并非如此，如果把证明全部用形式逻辑记号写下 看看就明白了。那就过份冗长，实际上不可能(当然不是说证明在逻辑上不严密。而是 依照数觉，那些明显的事实就略去逻辑推理而已)。最近每每谈及数学的 sense(感 受)，而作为数学 sense 基础的感觉，可以说就是数觉。数学家因为都有敏锐的数觉， 自己反倒不觉得了。 数学也以自然现象为对象 把数学的对象看作是自然现象的一部份，也许有人说这不讲道理，但是数学现象与 物理现象同样是无可争辩的实际存在的，这明确表现在当数学家证明新定理时，不是说 ‘发明’了定理，而是说‘发现’了定理。我也证明过一些新定理，但绝不是觉得自己 想出来的。只不过感到偶而被我发现了早就存在的定理。 正如大家不断指出的那样，数学对理论物理起着难以想像的作用。简直可以认为物 理现象仿佛全都遵循着数学的法则。而且在许多场合，物理理论所需要的数学在该理论 被发现以前很久就已经由数学家预先准备好了。典型的例子要算爱因斯坦广义相对论中 的黎曼空间了。数学对物理如此起作用，其理由何在呢,过去的说法，归结起来是说数 学是物理的语言。也许可以说，如广义相对论中黎曼几何的作用就是一种语言。但是在 量子力学中，数学却真起了魔术般的神秘作用，在这里无论如何也不能认为数学只是语 言了。 翻开量子力学教科书，首先看到的是光的干涉、电子的散射等实验的说明，然后表 电子等的粒子状态可以用波动函数(即属于某个 Hilbert 空间的向量)来表 明，光子、 示并导出与若干状态的波动函数有关的迭加原理。迭加原理认为，状态 A 若是状态 B 与 C 的迭加，则 A 的波动函数就是 B 的波动函数与 C 的波动函数的线性组合，它是 量子力学的基本原理。 什么叫粒子的状态呢,例如加速器内电子的状态就是由加速器决定的，所以，粒子 状态可认为是该粒子所处的环境。因此在量子力学中就用唯一的波动函数(向量)来表 示复杂至极的环境。这里首先是进行简单化、数学化的处理。状态 A 是状态 B 和 C 的 迭加是怎么一回事呢,对于教科书中光的干涉等情形，其意义可以认为是显然的，而在 一般场合，却很难理解环境 A 是环境 B 与 C 的迭加的意义。虽然根据普通观测的干扰 可以说不确定性原理，例如不能同时观测粒子的位置与速度，但毕竟不能把粒子同时放 在位置观测装置与速度观测装置中。就是说，粒子不能同时存在于二个环境中。那么什 么又是这样二种环境的迭加呢,很难说清楚。另一方面，波动函数的线性组合演算在数 学中却是完全初等的、简单明了的。迭加原理认为，这种简明的数学演算表现了复杂奇 怪状态的迭加。就是说数学的演算支配着量子力学的对象即物理现象。明白了迭加的物 理意义，就知道不是用数式表示它，而是把线性组合表示的状态迭加当作公理，反过来 按数学演算来确定迭加的意义。正如 R. Feynman 所说，迭加原理的说明只能到此为 止。只能认为量子力学是基于数学不可思议的魔力。所以我认为，在物理现象的背后存在 着数学现象是无可争辩的。 数学是实验科学 物理学家研究自然现象，在同样意义上，数学家研究着数学现象。也许有人会说， 物理学家做各种各样的实验，而数学家不就是思考吗,但是，这种情况的‘思考’就是 思考实验的意思，例如与‘思考’考试题的性质不同。我们知道，对考试问题，只要适 当组合某个确定范围内已知的事实，一小时内一定能够解决，思考的对象、思考的方法 都摆在面前。而实验则是为了调查研究原先未知的自然现象，当然其结果就无法猜想， 也许什么结果也得不到。数学也完全一样，它是探究未知的数学现象的思考实验，虽说 是思考，但思考的对象是未知的，思考些什么为好也不知道。数学研究的最大困难就在 于此。 思考实验中最容易理解的形式是调查实例。例如考虑偶数最少可表为几个素数的和 的问题。检查一下实际的偶数，2 是素数不算， 4=2+2,6=3+3,8=3+5,10=5+5,100=47+53,...，总可以表为二个素数的和。由这一实验结 果，可以猜想‘除 2 以外的一切偶数都可表为二个素数的和’的定理成立(这是早就有 名的哥德巴赫猜想，现在还没有解决)。如果这样几次调查实例，能够猜想出定理的形 式，以后就可以考虑证明该定理，那么研究的最初难关就被突破了。当然这是数学，光 堆积几个实例还不是定理的证明，证明还必须另外考虑。 初等数论些定理就是首先从这样的实验结果出发引出猜想，然后才证明的。从上个 世纪末到本世纪初，由 F. Enriques、G. Castelnuovo 等意大利代数几何学家得到的惊 人成果中，依据实验的不在少数。实际上，J.A. Todd 在1930年左右发表的论文中曾明 确断言:‘代数几何是实验科学’。他们的定理全部得以严密的证明还是最近的事。值 得注意的是，尽管他们给出的定理证明还很不完全，但是定理却是正确的。 发现新定理 最近数学的对象一般都非常抽象，实例也还是抽象的，难以想像，因此靠调查实例 来猜想定理的形式，在许多情况下首先就不可能。我不知道在这种状况下，发现新定理 的思考实验的方式是什么样的。即使说只是含含糊糊地想想思考些什么，恐怕还是不行 的。实际就是那样往往是不管怎么去思考都得不到相应的结果。这么说来，数学研究是 不是非常困难的工作呢,倒也未必。有时你什么也没干，但却很自然地接二连三看到那 些值得思考的事情，研究工作轻而易举地得到进展。这时感受充分表现在夏目漱石在 《十夜梦》中描述运庆雕刻金刚力士的话上。引用其中的一部份: 运庆现在横着刻完了一寸高的粗眉毛，凿刀一竖起，就斜着从上一锤打下。他熟练 地凿着硬木，就在厚木屑随着锤声飞扬的时候，鼻翼已完全张开鼻孔的怒鼻的侧面已经 显现出来。看起来他的进刀方法已无所顾忌，没有丝毫犹豫的样子。 ‘原来使用凿子那么容易，就把想像中的眉毛、鼻子作成了’，他颇为得意，自言 自语道。于是，刚才的青年就说:‘什么，那并非用凿子作出眉、鼻的，眉毛、鼻子本 已埋在木材中了，只是靠凿子与锤子的力量挖了出来。就像从土中挖出石头一样，决不 会错的’。 这种时刻，想想这世间没有比数学更容易的学科了。如果遇到有些学生对将来是否 干数学还犹豫不定，就会劝告他‘一定要选数学，因为再没有比数学更容易的了’。 接下去漱石的话的要点如下: 他便觉得雕刻也不过如此，谁都能干的。因此他想自己也雕个金刚力士试试，回到 家，便一个接一个雕刻起后院的那堆木材。不幸的是，一块木头里也没有发现金刚力 士。他终于明白了，原来明治的木头里并没有埋着金刚力士。 数学也一样，普通的木头里没有埋着定理。但从外面却看不出里面究竟埋着什么，只好 雕刻着看。数学中的雕刻就是一边进行繁复的计算，一边调查文献，决不是简单的。在 许多情况下什么结果也没有。因此数学研究非常费时间。可以认为，研究的成败主要取 决于运气的好坏。 定理与应用 现今的数学，由实例猜想定理是很困难的，不仅如此，定理与实例的关系看来也变 了。在大学低年级的数学中;定理之为定理，乃是由于可应用于许多实例，没有应用的 定理就没有意义。好的定理可以说就是应用广泛的定理。在这个意义上，函数论的柯西 积分定理是最好的数学定理之一。但最近的数学中，有广泛应用的定理几乎见不着。岂 止如此，几乎毫无应用的定理却不少。正如某君不客气地说:‘现代数学只有两种，即 有定理而没有应用例子的数学与只有例子而没有定理的数学’。从现代数学的立场出 发，‘不管有没有应用，好的定理就是好的定理’，但我却总觉得，没有应用的定理总 有点美中不足。 数学的唯一理解方法 即使不作研究，只看看书与论文，数学也很费时间。比如只看定理而跳过证明，二 三册书似乎很快就能读完的。但是实际上跳过证明去读，印象就不深，结果一无所知。 要理解数学书，只有一步一止循着证明。数学的证明不只是论证，还有思考实验的意 思。所谓理解证明，也不是确认论证中没有错误，而是自己尝试重新修改思考实验。理 解也可以说是自身的体验。 难以想像的是，此外没有别的理解数学的方法。比如物理学，即使是最新的基本粒 子理论，如果阅读通俗读物，总能大致明白、至少自己认为明白了，尽管很自然地与专 家的理解方法不同。这就存在着老百姓的理解方法，它与专家的理解方法不同。但是， 数学不存在老百姓的理解方法。大概不可能写出关于数学最近成果的通俗读物。 ‘丰富的’理论体系 现在数学的理论体系，一般是从公理体系出发，依次证明定理。公理系仅仅是假 定，只要不包含矛盾，怎么都行。数学家当然具有选取任何公理系的自由。但在实际 上，公理系如果不能以丰富的理论体系为出发点，便毫无用处。公理系不仅是无矛盾 的，而且必须是丰富的。考虑到这点，公理系的选择自由就非常有限。 为了说明这件事，把数学的理论体系比作游戏，那么公理系就相当于游戏规则。所 谓公理系丰富的意思就是游戏有趣。例如在围棋盘上布子的游戏，现在知道的只有围 棋、五子棋和二类朝鲜围棋只 4 种类型。就是说，此刻所知道的公理系只有 4 个。除 这 4 个以外，还有没有有趣的游戏呢,例如四子棋、六子棋、或者更一般的 n 子棋又 如何呢,实际上下 n 子棋，当 n 在 4 以下，先手必胜，即刻分出胜负，所以索然无 味;而当 n 在 6 以上时，则永远分不出胜负，也毫无意思。发现这种新的有趣的游戏 并不容易。要找出跟围棋差不多有意思的游戏大概是不可能的。虽然这只是我的想法。 数学也同样，发现丰富的公理系是极其困难的。公理系的选择自由实际上等于没有。 理论的丰富推广 数学家一般都本能地喜欢推广。例如假设存在以某个公理系 A 为基础的丰富的理论 体系 S。这时谁都会想像到，从 A 中去掉若干个公理得到公理 B，从 B 出发推广 S 得 到理论体系 T，再进行展开。稍加思索就觉得 T 是比 S 更丰富的体系，因为 T 乃是 S 的推广，但如果实际试验一下这种推广，许多场合与期待的相反，T 的内容贫乏得令 人失望。这种时候，可以说 T 不过是 S 的稀疏化而不是推广。当然并非所有的推广都 是稀疏化。数学从来是依据推广而发展起来的。最近推广不断堕入稀疏化，倒不能说是 一种奇怪的现象。 那么，能发展成丰富的理论的推广，其特征是什么呢,进一步，公理系能作为丰富 的理论体系的出发点的特征又是什么呢,现代数学对这种问题不感兴趣。例如，群论显 然是比格论更为丰富的体系，但群的公理系优于格的公理系之点是什么呢,又在拓朴 学、代数几何、多变量函数论等等中，基本层的理论的出发点(看来似乎)是毫无价值 而实际上却是非常丰富 的推广，它不过是用及数替换以前的常数作为上同调群的系数。 的推广，其理由何在呢,与此相反，连续几何被看作是射影几何的令人惊叹的推广，但 却没有什么发展，这又是为什么呢,当把数学作为一种现象直接观察时，所产生的这类 问题不胜枚举。虽然我并不知道，它们是否都是不屑一顾的愚蠢问题，抑或能否建立一 门的回答此类问题为目标、研究数学现象的学科，即数学现象学呢,但是如果能够建 立，那一定是非常有意思的学科。为了研究数学现象，从开始起唯一明显的困难就是， 首先必须对数学的主要领域有个全面的、大概的了解。正如前面说的，为此就得花费大 量的时间。没有能够写出数学的现代史我想也是由于同样的理由。 小平邦彦谈数学学习方法及其启示 已故日本数学家小平邦彦在《数学中没有捷径》一文中，通过自己学习数学的体会，谈了他对数学学习方法的理解，认为在数学学习中没有捷径可走。这似乎和今天我们所一直倡导而且也一直热衷于的学法指导又有相悖。数学的学习究竟有没有捷径可走?有没有规律可循?有没有方法可以指导?这已成为师生的共同关注的焦点。本文拟就小平邦彦的数学学习方法谈谈对我们启示。 小平邦彦回顾了他自小学至大学学习数学的心得体会及其思维历程。笔者认为，其主要学习思想不外乎两点:其一是熟记多练(熟背公式，多做笔记和反复练习);其二是培养对数学的感觉和理解。这两点其实是手段和目的的关系。反复练习正是为了达到悟的结果及培养对数学的理解和感觉。用中国的一句成语来说就是熟能生巧。他认为数学的学习就是先认可已 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 的公理、定义、法则等，然后反复证明练习，在不知不觉中达到对其的理解。譬如他提到对分数的除法三分之二除以五分之四，为什么要用五分之四去除时可以将分子与分母交换而去乘四分之五呢?就需要说明它的理由。但他学习算术时就没有这种说明，只学习这种规则，即用分数去除时可以将分子与分母交换后去乘，然后就在反复的计算练习中不知不觉地明白了它的意思，也就记住了。因此，也就能够非常自如地进行分数的计算及应用。为了理解数学的定理，一般是一步步循着证明的论证走，但对于证明不明白怎么办?他认为只要把不明白的证明抄写在笔记本上背出来，背出来不知不觉也就明白了，至少感觉到是懂了。他认为这种将不明白的证明在笔记本反复抄写，直到背出来为止，不失为学习 数学的一种方法。而正是从这个角度上来说，数学上是没有捷径可走的。 纵观他的学习数学的心得体会及思想方法，笔者认为有如下启示。 一、对数学的感觉和理解 (小平邦彦对数学的理解 1 对于理解一说，小平邦彦颇有自己的见地。他认为在反复的计算练习中不知不觉地明白了它的意思，也就记住了，而所谓明白了它的意思，也并不是能够说明为什么用分数整除时可以将分子与分母交换后做乘法，而是指能够非常自如地进行分数的计算及其应用。可以说，这种理解，并非是百分之百的理解，而是知道应该怎样去做和如何灵活机动地去做，久而久之，也就渐渐地培养出了对数学的感觉。这种感觉，从某种程度上来说，也就是对数学的入门。即长久思考而不得其解的问题突然间豁然开朗，悟出了其道理。这个悟的过程，有的时候是渐进式的，即在半理解状态练习以加强理解，使理解逐渐深化;有的时候是突发式的，这便是顿悟的过程。特级教师马明老师谈到他对代数的学习及其对代数思想的理解便是顿悟的过程。那时他在学习《小代数》时，老师让他们计算长方形周长(已知长为a，宽为b)，马明老师做出2(a+b)，但他并不真懂，就问老师这个长方形究竟多长，老师看看他的书面答案，又看看他，半天说不出话来，马明老师又问:究竟有多长。老师说:你不是已经算出来了吗?马明老师坚持认为没有，老师又说:你不是已经算出来了吗?马明 在他想来，周长应是一个具体的数值，怎么会是一群抽象的符号呢,回家依然认为没有。 后反复思考老师的话，终于悟出一个道理:“用文字代表数，让未知数像已知数一样地参加运算”。原来代数就是这样～从此他的代数成绩直线上升，成为全班第一名。数学的学习本身就需要有悟的过程。有些知识需要老师详细讲解才能达到真正的理解，但有些知识则只可意会不可言传的，即单凭教师讲很难使学生达到理念的升华，这并不是说就完全削弱了教师的作用。而是说，学生真正去掌握知识，达到对某一数学知识的理解，并不是靠老师教出来的，而是靠学生悟出来的，将所理解的知识嵌入已有的知识结构中，也难以忘记。所谓的启发式教学、发现法教学等教学思想，其本质也无非是在教师的指导下，由学生去发现问题、解决问题以达到对问题的理解和对知识的领悟。 2(东西方数学教育家对数学理解的不同观点 东西方数学学者及教育家对于先理解后接受知识，还是先接受知识再理解其意义提出异议。在第十二届国际数学教育心理学会议上，中国学者(丁尔升、张奠宙等)，认为不要强调理解而忽视练习，其实理解了百分之六七十，就可以操作训练，在练习中增强理解。这和小平邦彦对数学学习的理解观点是相同的。而这一观点却受到英国资深学者Harte的反对。她说，对理解的东西进行操练才有意义，不理解的东西加以操练，时间一久就会忘记。这种歧义的产生可能缘于东西方文化背景、考试体制、教育方式以及思维特征的不同。日本和中国一样，也是考试盛行的国家。虽然他们进大学并不难，但进好大学仍有困难。而中国的考试文化导致应试教育更使得中国在教育上多强调反复操练。因此在对学习方法的理解上，东方侧重于从练习中理解，在半理解的基础上进一步练习以深化理解。而西方则更侧重于在完全理解的基础上再去练习、应用。笔者认为，作为东方文化教育背景下的中国教育，没有必要也不可能象西方国家所倡导的方法去学习数学。依据我们的文化背景和思维方式及特征，在操练前要达到对知识的完全理解是极少可能的。譬如口令立正，士兵未 必理解什么是立正，但在强制下教会了，以后一旦听到“立正”口令，便会自动去做。这也恰是从做中理解的例子。目前，一些学生对数学感到难学，难以理解，且又容易钻“牛角”。如为什么要定义这个公理?公理为什么是这样而非那样表达?零为什么不能做分母?等一些在中学阶段难以接受的问题。教师除了要向学生解释这些原因，打开他们的思维结之外，还应让他们了解到在中学阶段要达到对问题的百分之百的理解是不可能的。但只要在练习中渐渐领会到数学的精神、思想和方法以达到灵活运用，那也就是我们所认为的理解了。 二、熟能生巧和题海战术 重新回顾小平邦彦的数学学习历程，无不贯穿着一个思想:反复操练、反复练习。他的这种思想似乎又和中国传统的题海战术如出一辙(即便在今天的数学教学当中，题海战术仍占有很大市场)。我们不否认题海战术有些成功之处，但其与小平邦彦的所说的反复练习还是有本质区别的。小平邦彦所提出的在反复练习中不知不觉理解，究其实质是熟能生巧。熟能生巧中的“巧”是反映了思维的创新性，是多次量变而引起质变的一个飞跃过程。正如灵感机制的发生，长久思考一个问题(包含有反复思考之意，有重复性)，最终会产生灵感，这便是一个质变的过程。熟能生巧又遵循了心理学中的S—R反应理论。前提条件是要反复操练以引起刺激发生反应，这种刺激—反应达到一定程度，就发生突变，即从感性的认识达到理念的升华。熟能生巧与题海战术所不同的是前者有目的性。是为了达到对知识的理解和融汇贯通的程度而暂时进行的操练，而题海战术则是为应付考试去猜题、押题，都是将 制成题让学生套模式去做，学生在根本不了解其解题思一大堆题型归类，总结成解题术， 维的原则下进行大规模操练，只会有弊无利，造成学生学习时间和精力的浪费。而且这种题海战术并不是以达到学生对知识的真正理解为终极目标，而是为了考试需要，可以说是方法不当且操练过度，它使学生的学习活动停留在“重复”、“模仿”，进行“简单再生产”的水平上，从而造成了数学学习的亏缺，“题海”则是对自身造成亏缺的一种补救。如果说“题海”也能训练出“好”的学生，事实并非如此。“好”的学生之所以成为“好”的学生正在于他们冲破禁锢，挣脱出来进行独立自主地思维的结果。对小平邦彦所提倡的反复练习，我们不应将其理解为大捣题海战术，而是为生“巧”而进行的熟练，为培养对数学的感觉而进行的有目的的反复练习。 三、数学的思想、精神和方法 从小平邦彦对数学的理解角度来看，数学的学习是没有捷径可走的，熟能生巧可以说是一条古老而又唯一捷径。然而，从获取知识、通往知识高峰的道路上又是有一些捷径可走的，这便是数学的精神、思想和方法。小平邦彦认为数学学习方法即是反复练习便会不知不觉明白。而由于各人思维风格水平、知识结构和理解能力等的不同，这种不知不觉明白却不是每人都能够体验或经历到的，尤其是一些学困生，他们对数学无论怎样练习，也始终难以找到对数学的感觉。这除了小平邦彦所言及的反复操练以外，还需要把握数学的精神、思想和方法以及一些思维策略上的指导。所谓的数学学法指导意义正在于此。日本数学家米山国藏在《数学的精神、思想和方法》一文中针对许多人感到数学难学的现象，指出数学有两大特征:一是数学逻辑性强，知识系统性强，环环相扣，必须依其道而行。若反其道而行，则无论多么聪明的人都无法理解它;二是为了有助于“人类思想表达的经济化”，数学使用了比其它任何科学都要多得多的术语和记号。数学的这两大特征便决定了数学的学习不仅要依其道而行，使前继知识成为后继知识的生长点之外，还要学会数学交流，能够 尽可能完全地理解数学语言。许多同学感到学习数学困难，一个根本原因在于没有把握到数学的这两个特征，因而不懂得提前预习和及时巩固的作用，不懂得去揭示数学知识之间的内在联系从而把握其本质。其次在数学中还有一些策略、思想和思维方法，诸如抽象、概括、化归、数形结合、数学模型、归纳猜想、演绎、分类、类比、特殊化和一般化、换元法、待定系统法和配方法等等，以及升格、降格(退化)、缩格(质化)、更格和分格策略，这些用以指导学生有效学习数学的思维策略和方法都值得他们熟练掌握(把握各种策略、方法的内在核心，再辅以小平邦彦所提的反复练习以求得对数学的真正理解，我想这便是小平邦彦所谈的数学学习方法所引发的对我们的启示吧。 力学大师钱伟长和大学生谈学习方法 2008-9-8 15:48:27 关于学生的学习方法问题，每个人的认识不尽一样，是教育界长期以来有争论的一个问题。我讲的是自己的一些经验，以及我所熟悉的一些人的经验。 ”。指学习的时候要思考一、不要死记硬背。孔夫子说过一句很有名的话:“学而不思则罔 相关的问题，不边学习边思索，会什么也学不到。这是一句很有名的话，可是常常被很多人忘了。 清朝“扬州八怪”之一，书法、画和诗“三绝”的著名学者郑板桥，在山东潍县做县官时，发现一个十五岁左右的贫穷青年，天资很好，过目不忘，很多东西念过一、两遍，就可以准确背诵出来。可是郑板桥提个相关的问题，这个青年人支支吾吾地回答不清楚。又提出第二个问题，这个青年更是答不上来。他发现这个青年人完全是在靠记忆进行学习。郑板桥就给他讲了“学而不思则罔”的道理，告诉他，学习一定要思考，不能靠背诵，不然是不会有出息的。后来这个青年人完全放弃了过去死记硬背的念书方法，一边读书一边思考，在乾隆中叶，考上了状元。这个故事说明，青年人不但要用功学习，而且要有科学的学习方法，要勤于思考，多想问题，不要靠死记硬背。这样，一辈子才会不断进步，永远向上。 我们现行的高考 制度 关于办公室下班关闭电源制度矿山事故隐患举报和奖励制度制度下载人事管理制度doc盘点制度下载 ，考题都是有范围的，而且还有温书的重点，这实际上就是让你去背，鼓励学生去背书。小学毕业考初中，初中毕业考高中，考的成绩能拿到多少分，就能进重点中学，在这个分数线以下就只能进一般的中学。大家为争取进重点中学，只好死背，中、小学生都是靠背书过日子。这些背下来的东西有什么用呢,我说一点用处也没有～ 在你们这些大学生中，有很多是高分考进大学的。可是进校以后，我们发现其中不少人是高分低能。在中学时靠背书过日子，大学的书太厚了，背不下来了，他的学习必然感到很困难，觉得很不适应大学的学习生活。我听说很多大学里都有那么一批学生神经衰弱，睡不着觉。这就是上大学后，仍然采取中学时死记硬背的学习方法而产生的后果。 下面，我谈谈自己的一些亲身体会。我小时候也很能背书，我背过很多老书。孔老夫子的“学而不思则罔”这句话，我背过不知多少遍，可是我却从来没有去好好想一想这句话到底是什么意思。我进入高中后，可头痛了。特别是数学，歪歪扭扭没法子背。因此，我的数学成绩很差。至于物理，背下来也没用，因为背下来后，做习题还是不会做。有人教我一个办法，说中学物理很容易，一共十三个公式，每个公式有三个变量，两个已知数，求第三个未知数，不是乘就是除，没有别的。但我还是没弄懂，因为我往往搞不清楚该哪个乘，哪个除。后来我发现，这是在用另一种办法死记硬背，把公式背熟后照套。所以背书是没有用的，一定要懂得它的意思。 我改造自己的学习方法，是从进入大学后开始的。我考进清华大学以后，发现教科书确实 我的外文不行，想背也背不下来。没办法，太厚了，而且当时所有的教科书都是外文的， 我就只好想办法弄懂它。开始的确很吃力，非常累，很多地方不懂。加上没有好的学习习惯，因而学起来很困难。当时，吴有训老师(解放后当了中国科学院的副院长)教我们的普通物理课，他讲课很有意思，从来不拿讲义在那儿念照本宣科，而是引导学生动脑筋，不断地跟着他在课堂上思考问题。例如，他讲什么是质量,他先讲质量这个概念，从前人们怎么认识，后来怎么认识，为什么会产生质量这个概念,再进一步讲人们如何根据伽利略的实验，证明了质量是独立存在的一个东西，在概念上有了飞跃，以后就有了牛顿三定律等等。最后，再讲现在质量怎么量，它在国民经济中占怎样一个地位，量的时候用什么单位等等。一堂课讲下来，从头到尾，清清楚楚。他讲的这些，教科书上都没有，教科书上有个定义，但定义他却讲得很少。他给他的课指定了三、四本书，讲完以后，他叫你去看哪本书，从第几页到第几页，这一段看这一本，那一段又看那一本，都让你自己去看。还有很多东西，他根本不讲，要你自己去看，照样纳入考试范围。我开始很不习惯，但后来我慢慢习惯了，觉得这是我一辈子听到的讲课中最精彩的一门课，他对我学会用思考的方法而不是死记硬背的方法去学习，起了很大的作用。直到现在，大学的普通物理课的基本内容、基本观点和基本方法，我还记得非常清楚，一点也不混乱。 二、怎样记好笔记。我常见到不少大学生，特别是一些刚考进大学的新同学，在课堂上一个劲地记笔记，教师讲什么他就记什么，老师在黑板上写什么他也写什么，一堂课下来笔记记得很多，人也很累。我还发现这些学生的笔记，下课后一般都无法进一步整理。他们 中间虽然不少人很用功，但学习效果往往很差，因为他们在课堂上光忙着记笔记去了，没有注意听讲，没有积极地去思考问题，弄懂问题。他们的学习方法，就叫做上课记笔记、下课看笔记、考试背笔记。我刚上大学也这样干过，效果很不好。后来，我向一位学得好的同学请教，那位同学说，你上课不要光忙着记笔记，要坐在那里仔细地听，教师问什么问题，你就动什么脑筋，真正听懂了，你就记，如果没听懂，你就不要忙着记。我照这个同学讲的办法去试了一试，开头还好，后来觉得还是不行。我又再去问这位同学记笔记还 下课后，有什么决窍,他说还有一条，下课时你不要跟一般同学一样，站起身来就跑了。你要坐在座位上好好地想一想，这堂课教师讲了些什么问题,它有几层意思,每层意思的中心思想是什么,这样静静地用不到一分钟的时间去思考一下，可以巩固你一堂课听的内容。当然，这样还不够，每天晚上，你还要根据课堂上听到的和下课后想到的，写出一个摘要来，大概一堂课不超过一页吧。这一步很重要。以后，我就照他讲的去做，确实效果不错。 我有个同学叫林家翘，现在是美国麻省理工学院教授，美国科学院的院士，他的课堂笔记除每天晚上整理一次，写出一个摘要外，每个月他还要重新再整理一次，把其中的废话全删掉，把所有的内容综合起来，整理出一个阶段的学习成果。每学期结束复习时，一门课的笔记经过综合整理后，只有薄薄的一本，大概十八页左右吧。一个学期所学习的知识，就完全消化成了他自己的东西了，他温书就看这个，边看、边回忆、边思考，每次考试都 这种记笔记的方法，就是要把教师和别人的东西，经过自己的思考、消化，变名列前茅。 成自己的东西。要不断消化，不断地加深理解。林家翘分三个阶段记笔记的过程，就是一个不断消化的过程。我只分了两个阶段，我现在很后悔，我要早分三个阶段，学习效果一定会更好。 三、大学生一定要学会自学。一个人到大学毕业时，除了已经具有一定的基本理论知识外，还应该有这样的把握，即没有学过的东西，通过自学，查一查，看一看，也能弄懂，就是说能够“无师自通”，大学生就应该达到这个水平。假如大学毕业后，你还要通过去学校进修、要听教师讲课，才能学到新的知识，则说明你还没有达到真正大学毕业的水平。 每个大学生都要在大学里培养一个习惯——自学，这个本领一定要学会。学习不能光依靠教师，当然，开始时要依靠一下，但这主要是依靠教师对你进行学习方法的指点，而不是依靠教师把嚼过、消化后的东西喂给你。一个人在大学的三、四年里，能不能养成自学的习惯，学会自学的本领，不但在很大程度上决定了他能否学好大学的课程，把知识真正学通、学活，而且影响到大学毕业以后，能否不断地吸收新的知识，进行创造性的工作。尤其是现在，知识发展得很快，有人统计过，我们上大学那个时候，全世界的科学技术杂志只有两千八百多种，人类的知识面大概要用三十年时间才能使它增加一倍。而现在全世界的科学技术杂志，不算文化和社会科学方面的，仅自然科学和技术科学方面的杂志，就有八万八千多种。因此，现在不是三十年，而是三年左右的时间人类的知识量就会翻一倍。换句话说，过去，你大学毕业了，可以吃老本，可以长期地使用你已有的知识，甚至可以 用一辈子，因为经过三十几年后，你就快退休了，或者进入老年阶段了。但现在，你大学毕业以后，如果不学习，或者说在大学时没有养成自学的习惯，学会自学的本领，光靠卖你的那一点老本，你卖了三年以后，你就有一半的东西不懂了。再卖三年，你懂得的只有四分之一了。到那时候，你还能做工作吗,因此，你必须在毕业以后继续学习。怎么学,首先就要在大学里培养自己自学的习惯，学会自学的本领。 一个人在中学时，必须要教师帮忙，教师管着你，你才能学。但好的中学教师，也很注意培养学生积极思考问题的能力。而差的中学教师，只会教你背书，指出这门课有多少重点题目，标准答案是什么等等，只要你照他讲的背下来应付考试，或者进行题海战术。进了大学以后，再这样就不行了，一定要培养自己独立自学的能力。现在，有许多中学、大学都在进行教改试验。比如，我上课时，有些课的章节，我就不讲，让学生自己看，可是一样要考试。总之，想方设法培养学生自学的习惯。实践早已证明，大学生通过自学，不但能学得好，而且能学得快，对这点我是深有体会的。有些人就是不相信大学生可以通过自学掌握知识，他们总是认为，不教是不会的，不背是不懂的，这就是他们的逻辑。去年，我在上海工业大学做了个试验，在机械系上物理课时，我跟教师商量好了，从全班六十个学生中，抽出十二个人来，其中六个人是全班功课最好的，还有六个是差的。我让这十二个人都不听课，只把讲义发给他们，让他们自学，只参加做实验。自学以后，和其他学生一样参加小考、大考。第一次考试时，这十二个人都考得很不好。 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 其原因，关键是没有掌 又鼓励他们一握好自学的方法。我把这十二个学生找来，和他们一起分析了失败原因，番。为了改变他们的学习方法，我又找一个年轻教师帮助他们，教他们怎样自学，如怎样整理每个章节的框架，怎样弄懂每个概念的来龙去脉，怎么运用学到的知识等等。这样反复讲好几次，这几个学生都慢慢会自学了。到学年考试时，这十二个人都成了全班成绩最好的学生。《文汇报》头版头条报道了这件事，说这是一大发明。其实，这并不是什么发明，因为很多人早已用自己的亲身实践证明，大学生是可以通过自学学好的。 自学过程中遇到一些不懂的问题怎么办,根据我的经验，任何不懂的问题，你先拿个练习本把它记下来，一条一条地记。有时你会发现，你在第一章中看不懂的问题，等你自学到第三章时，这个问题就解决了。这时，你就把这个原来不懂的问题从练习本上划掉。当然，还有些不懂的问题，你也可以找机会向教师或其他同学请教。一学年完后，你会发现原来记了很多不懂的东西，后来又懂了。如果还剩下几条不懂的问题，你可以另用一个练习本重新把它记下来，以后再说。你在 一年级 小学一年级数学20以内加减练习题小学一年级数学20以内练习题小学一年级上册语文教学计划人教版一年级上册语文教学计划新人教版一年级上册语文教学计划 有些不懂的问题，也许到二年级就解决了，你就再把它划掉。人一辈子的学习，就要靠这样不断进步。学习就是把不懂的东西变成懂的东西，而不是把背不下来的东西变成背下来的东西，一定要记着这点。自学，就是促使你动脑筋，而只有动脑筋，才能促使你真正学懂、学深。 四、研究生会要看论文。那么，到了研究生怎么办呢,研究生和大学生在学习内容和学习方法上有哪些不同呢,大学生学的每门课程的教材，一般都是七、八年以前的知识，因为最新的知识，先要经过科研人员或者教师的消化，发表了许多相关的论文，条件成熟了， 再经过理论化、系统化，编写成教材，有时还要在某些大学课堂里试讲几遍，再补充、完善、重新改写，报上级审批，才成为全国通用的教科书，还要联系出版社，要送到工厂排印，这都需要一个较长的时间。而研究生学的是正在发展中的东西，还没有人消化过，其中不少问题还没有定论，还在争论。这种正在发展中的东西，都是以发表在各种学术杂志上的论文的形式表现出来。研究生就要会从这些论文里吸取你所需要的材料。如果你不会看科学论文，还是只会看教材的话，你就接受不到最新的知识。 正因为多数新的知识都是以论文形式发表的，作为一个研究生，就一定要学会看论文的本领。有的论文写得又臭又长，看起来很费劲。那么，怎么看论文呢,怎么提高看论文的效率呢,我的研究主要就是看论文，通过看论文，不继改造、充实我自己的知识结构。我觉得要学会看论文，就必须知道论文是怎么写的，怎么组成的。一般情况下，一篇完整的论文，都包括这样几部分: 第一段是论文的摘要。包括作者做了哪些方面主要的工作，得到了什么成就。一般我看论文，就先要看这个摘要。看完摘要，这篇论文有多大的份量，我就清楚了，因我有较多的经验，就可以决定往不往下看了。而你们光看这个还不够，还得往下看。下面接着是引论，主要包括三方面的内容。第一，讲这个问题是从哪儿提出来的,是从生产过程中提出来的，还是从科学技术发展的过程中提出来的,讲清这一点是很重要的。第二，要讲这个 总问题以前已经有多少人干过了、处理过了，他们取得了什么结果，达到了什么水平。之，对前人在这个问题的的重要贡献都得提，他们的文章发表在哪儿，也应该写在文献参考里。第三，要指出作者自己是在什么样的不同观点下面，重新处理这个问题的，自己的观点跟前人不同在那儿，这句话一定要有。或者是用讨论的口气提出，前人有的观点我不同意，为什么不同意，并提出自己的新观点，以及用这个新观点如何处理问题，这是文章的主要目的。有时还得提一句，我得到了什么结果。这样一个引论，最长两页，短则一页，很精炼，而且很重要。你看完引论后，对这个问题的来龙去脉就清楚了。 第二段，是搞实验的，就要讲一下实验的安排，包括实验仪器的安装和布置等等;是讲理论的，就要讲一下处理这个问题前所用的数学方法和它的程式，指出在什么条件下，使这个问题量化了。 第三段，做实验的要讲整个实验分几个步骤，分多少份，每份又是怎样分配的等等。搞理论的应该说明白，我这个方程是用什么方法求解的。假如这个方法是从前没有人用过的，你就详细写出来，假如已经有人用过了，你就说一句，自己用的是某某人处理某某问题的方法。 再下面一段，就是你的实验结果，要有图有表。理论计算的结果，也要有图有表。 紧接下面一段是结论，讲清这项研究工作有什么结论。 最后一段是感谢。感谢什么呢,谁给你出的题目,是老师出的，还是你自己找的,谁帮助过你,在哪个问题上帮助过你,研究过程中你跟谁讨论过,讨论时哪个人提出了新的想法，我用上了，都要说明白。我用的仪器是从哪儿借的，你也得写明白。最后，可能这个研究工作是要某一方面的资助下进行的，也得说明。现在我们有不少人的论文对感谢这部分不重视，换句话就是侵吞了人家的成果。例如，有的人不提自己的研究题目是谁帮助确定的，他们应该知道，题目并不是很容易出的，很多人是没有题目的，能出题目的人一定是高水平的。他能看见问题在哪儿，本身是一个很大的创造。尤其是对自己的导师非提不行。可是，现在很多文章不提自己的指导教师，都是天上掉下来的题目，这就是侵吞人家成果的行为。 我们知道了论文的一般写法和结构，那么，你怎样去看论文呢,我是一般只看摘要。摘要 ，因看完了，如果我发现这里面有新见解，或者这个题目是没有见到过的，我就再看引论为引论告诉了这个问题是哪儿来的，过去研究的过程怎样，看后对这个问题大体上就有个轮廓了，最后再看一下结论就行了。我看文章就这么看。当然，假如这个问题对我来说是全新的，那我当然要再看看这个方程式是什么，仪器怎样安排。至于这个方程式是怎样求解的，只要它不是新方法，我绝对不看，何必再费这个功夫呢,我们要懂得，在学习上应该节省自己的时间，要学的东西太多了，所以一般只要看摘要就够了。也有不少这样的文章，一看摘要，这里没有太大、太多的东西，就算了，以便节省时间。但是如果他提出了关键性问题，并且解决了，那我得再看引论、结论。 假如看完引论、结论，我觉得这个问题太重要了，我就再看里面的东西，看看那个图是什么样的、曲线是怎样的等等。总之，看文章时，一定要根据自己的情况来衡量。有导师时，导师会告诉你，哪篇文章应该精读，哪篇文章应该略读，这样可以节省时间。在一般情况下，如果你能一天看一篇文章，就算不错了，一年可看三百多篇文章，这样坚持一辈子那可不得了，那有多少知识到你这儿来,这是你积累知识的过程，引导你往前走的过程。象这样学习的人，他绝不会知识老化。 五、博士研究生要有满脑子的问题。博士研究生和硕士研究生在学习方法上有些什么不同呢,在培养目标上，二者有何区别呢,我们知道，硕士生一般是跟导师做同一个研究课题，在导师的具体指导下看文献、搞研究。这就是说，在一般情况下，他不用自己找研究题目。而作为博士生就不是那么回事了，博士生的导师只告诉你一个大的研究范围，你大 概做哪一方面的问题，或者再给你略微讲一下，历史上这个问题在哪儿出现的，现在哪几个人正在做。下面就是你自己去找文献来看，边看边思考，你会发现每看一篇文章，就有不少问题。这样看上半年或一年的文献后，你就会知道这个学问当前发展的情况了。你再根据自己的选题，整理出一批问题的目录。在国外，博士生就是拿这个目录去找导师，说我现在有这么多问题，我想做哪一个或哪几个，请导师指导。导师会估计你的能力、在学校现有设备可能的条件下，帮助你挑一个具有一定的重要性的问题。因为往往在你提的一 导师会跟你说明白，哪些题目不重要，为什么不重要;大堆题目中，有很多是不重要的， 哪些题目虽然重要，可是你没有条件做出来。最后会帮助你确定其中的一个题目，这个题目既有一定的重要性，你也能够做好。所以，博士生的研究题材目是你自己找的，不是导师给的，导师只在你的选题里面挑，挑你力所能及的。 林家翘在《科学探索》杂志上写过一篇文章，他说，现在有的中国留学生来美国以后，往往不善于自己提问题，因为他在学习过程中没有问题，凡是教师说的都是对的，凡是书上讲的都是天经地义的。因此，这种人一般是没有科研题目的。林家翘还举例说，美国麻省理工学院电机系来了个中国留学生，他的博士预备考试通过了，而且是全班成绩最好的，在全系三十五人里考了个第一名。他考完以后很高兴，在家里等着导师来找他。可是，导师两个月没找他，他憋不住了，就去找导师，说他现在想写论文了，请导师给他出个题目，导师问他有什么题目，有没有想做的题目。他说一时想不出来，导师就让他回去好好 你还是给想。他回去想了两个星期，还是没想出什么好题目。他又去找导师，对导师说，个题目，你给个题目很容易，我实在想不出什么题目。导师说，你回国去吧，你没有题目需要进行科研。所以，我可以给硕士生找个题目，可是对博士生，就不能给他题目，而要训练他自己发现问题和解决问题的本领，使他能不断的成长。什么叫成长,自己有很多东西是不会的，而要对这些问题进攻，弄懂它，这就是科研，这就是成长。如果没有这个能力，这样的博士生是没有用的。我们还看见不少这样的博士生，他们在国外拿了个博士头衔，回来以后就没有题目了。几年不做还可以，五年、十年以后，知识就老化了。可是，另外也有一些人，他们一直不断地在做新的题目，象华罗庚教授一直做到死，因为他心里有很多问题没有解决，急着要解决，总觉得时间不够用。所以，我们培养博士生的目标，就是要让他在所从事的科技领域里，要有满脑子的问题。这样，他离开导师以后，就可以带领一批人去工作，这就叫具有独立从事科学研究工作的能力。 综上所述，博士生、硕士生、大学生的区别就在于，一个是懂得自学书本，一个是懂得自学文章，一个是能寻找问题。而硕士生跟博士生的主要区别是，博士生应该有满脑子的问题，有独立工作的能力。 《在思考中学习》游宏教授谈大学数学学习 2008-9-8 15:53:21 在思考中学习——游宏教授谈大学数学学习 哈工大报讯(学生记者 关成志 张宽/文)“学数学要学会‘反刍’，就是要经常温习以前学过的知识，这样才会对数学有更深刻的认知。”近日，全国教学名师游宏教授为新生讲解了大学数学的学习方法。 摆脱题海战术 “大学数学中概念多，需要记的东西多，但是大学里没有那么多习题课用于巩固知识，这就要求同学们要首先掌握好概念，做到概念明晰。”游宏教授认为在大学数学的学习中，一定要读透教材，在清楚地记住并理解了教材中的概念、领会了书中的精髓之后，再去做习题。同时，做习题不能像高中那样采用题海战术，要做到少而精，能够把握住最基本的方法和思路。游宏教授说:“但这并不等于说一遇到难题就去翻答案，数学学习需要苦思冥想，即使没有真正把一道难题做出来，但在思考的过程中，你已经体会到了数学的乐趣。” 好钢用在刀刃上 谈到课堂效率和效果时，游宏教授告诉同学们要注重课前预习和课后复习。他说:“一个人不可能在一堂课100分钟内都保持精力集中，这就需要你在最不明白的地方集中精力，把它学会。”因此课前预习是掌握课堂主动权的一个至关重要的环节，只有预习到位，你才能知道自己什么地方不明白，有欠缺，从而在上课时更好地分配精力，做到更有效率地听课。 游宏教授告诉大家:“数学是一个体系，前后关联，所以学数学需要经常温习。”他说:“经常回顾前面学过的东西，可以加深对知识的认知，不仅可以用后面学到的知识印证前面的所学，也可以用前面的知识解释后面的问题，这就是‘温故而知新’的道理。” 把书先读厚、再读薄 谈及整个大学学习时，游宏教授认为要做到“先把书读厚，再把书读薄”。把书读厚，就是要把书中每一个细节都搞清楚，这就需要不断地演算、理解书中的定理公式，把整本书弄懂;然后经过总结概括，把一本书的核心内容与思想用一页纸或者一句话来表述，这就是把书读薄。 游宏教授还结合《线性代数与空间几何》的课程特点和知识点对同学们进行了指点。他告诉大家，《线性代数与空间几何》是为专业课(如力学和电学等)打基础的，虽然全书的知识点很多，但贯穿全书的主线是线性方程组，向量、矩阵、空间解析几何等知识都建立在线性方程组相关知识的基础之上。 最后，游宏教授勉励同学们要对学习数学有信心。学好数学不需要超常的智商，只要勤于思考，广泛涉猎，就能把数学学好。 丘成桐谈数学家的志气与操守 2008-9-8 15:47:32 丘成桐: 谈数学家的志气与操守 谈数学家的志气与操守:丘成桐院士演讲全文 今日想跟各位同学谈谈我三十多年来做学问和培养学生的经验。 我大学毕业以后，到柏克莱跟随当代几何大师陈省身先生，也师从近代徧微分方程的奠基者Morrey教授，体验最深刻的是他们做学问的态度。 以后我任教过的学校有普林斯顿的高等研究所、纽约石溪分校、史丹福大学、加州圣 三十多年来踪迹满天下，几乎与数学界所有的大师和理论物理学地牙哥分校和哈佛大学， 界一部份大师都有过从。我希望将这些经验供给年青的学者参考。 我教导和已毕业的博士生已经超过五十名，他们很多已成为有成就的学者，最可惜的却是有刚毕业时很用功，以后却因为名利所误，而终究不能成材的学生。 这些经验与我国近十年来浮夸的学风有密切的关系，希望今天的演讲能改正这种看法。 无论是个人、学校或研究所，必需要有一个崇高的心愿。我们固然需要一技之长，既要养活自己和家庭，也需要替社会服务，然而作为一个有智慧的现代人，作为一个有远见的学术领导者，我们不能不考虑整个大环境的基本问题。 在考虑基本问题时，我们或许会寻求大自然的奥秘，或许会寻求工程学的基本原理，或许会寻求社会经济学的共同规律。而数学家和文学家更可以寻求或制造他们心目中的美境。 司马迁说的“究天人之际”正可以来描述一个读书人应有的志向。 一个人的成长就像鱼在水中游泳，鸟在空中飞翔，树在林中长大一样，受到周边环境的影。历史上未曾出现过一个大科学家在没有文化的背景里，能够创造伟大发明的例子。一个成功的学者需要吸收历史上累积下来的成果，并且与当代的学者切磋产生共鸣。 人生苦短，无论一个人多聪明，多有天份，也不可能漠视几千年来伟大学者共同努力得来的成果，这是人类了解大自然，了解人生，了解人际关系累积下来的经验，不是一朝一夕所能够成就的。 这些经验透过不同的途径在当代学者的行为和著作中表现出来，不同文化背景的学者在接受先人的文化，在接受同侪的交流时会有不同的反应。有深厚的文化背景，有胸襟的学者比较容易汲取多元化的知识，在思想自由的环境里，这种知识很快就会萌芽，成为创新的工具和能力。 古代希腊汲取了埃及、巴比伦的文明，学者又能尽量发展个人的意志思维，因此孕育了影响西方文明二千多年的哲学和科学，他们在一、两百年间集中了一群学者，谈天论地，求真求美，当时积聚的知识有系统的整理出来，他们的精神和他们所用的方法影响到以后文艺复兴的科学发展，直至今日。 在同一个时期，中国春秋战国时代百家争鸣，由于战乱，向西、向南、向东拓地的结果，夏商周三代的文化与各地的地方文化融合，学者受到各种文化的冲击，拓展出中华民 族原创作能力的高峰。 近二百年来中华民族受到外国的冲击可说是前古所未有的。而这廿年来国家经济的稳定发展终于使我们民族能够安定下来，我们年青人对祖国开始有信心，也开始想一些重要的民生以外的问题，希望在这个时候，中华民族和西方文化，能够得到自然的融合，而并发出一个求善、求、求美的新文化 司马迁自传说:“先人有言，自周公卒，五百岁而有孔子，有能绍明世，正易传，继春秋，本诗书礼乐之际，意在斯乎，意在斯乎，小子何敢让焉。”由于时代的发展，能够承先启后、融合东西的事业，恐非一人一时之力所能完成。 然而诸位都知道，在具有天时、地利、人和的环境里，事情会来得顺利。回想当年量子力学研究刚开始时，不能不感叹一时多少豪杰。纵观今日科技的发展，只要找到好的方向， 在好的气氛栽培熏陶下，人人都可能成为豪杰。 故大学问必需有高尚的情操，以下五点最为重要: 一、求不朽之业: 左传 《叔孙豹论三不朽》 太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此之谓不朽。 曹丕 《典论 论文》 盖文章，经国之大业，不朽之盛事。年寿有时而尽。荣乐止乎其身。二者必至之常期，未若文章之无穷。是以古之作者，寄身于翰墨，见意于篇籍，不假良史之辞，不托飞驰之势，而声名自传于后。 史记 《孔子世家传》 天下君王至于贤人，众矣。当时则荣，孔子布衣，传十余世，学者宗之，自天子王侯。中国言六艺者，皆折中于夫子。 二、承先启后的使命感: 《文心雕龙》 诸子篇 身与时舛，志共道申。标心于万古之上，而送怀与千载之下。 史记 《太史公自传》 春秋之作:夫春秋，上明三王之道，下辨人事之纪„„ 史记之作:„„余尝掌其官，废明圣盛德不载，灭功臣世家，贤大夫之业，堕先人所言，罪莫大焉。 西方伟大的巨著如Euclid和Newton 都是承先启后的作品。 三、有所见，有所思，而欲示诸众人，传诸后世。 孔子:孔子知言之不用，道之不行„„世而无闻焉。 司马迁《报任安书》:此人皆意有郁结，不得通其道也，故述往事，思来者。„„仆诚已着此书，藏之名山，传之其人，通邑大都。 脂批《红楼梦》:字字看来皆是血，十年辛苦非寻常。 曹雪芹:满纸荒唐言，一把辛酸泪。 四、由于浓厚的好奇心驱使，希望凭观察、推理，来了解大自然的结构，寻找宇宙的真谛。伟大的科学家都有这种好奇心，爱因斯坦说他的好奇心比其它人更浓厚些，才做得更好一点。相对论和量子力学就是人类因为好奇而产生的。科技上的创新也跟好奇心有关，例如飞机的发明、太空的探险等。数学上很多领域的探索也是基于数学家浓厚的好奇心而引发。 可能穷毕生的精力。近代的统一场论， 五、科学家和文学家为了寻找一个美的结构， 某些晶体结构、数论或几何上种种雅致的命题，都引起热烈的研究，而追寻纯美则是这种研究的主要动力。黎曼几何的创始即为一例。 学者并不见得一开始学习就想做大学问，往往由以下两点作为引子而进入做大学问的通路: 甲、为了国家和社会的需要，例如电话的发明可以服务人类，第二次世界大战时雷达和各种通讯方法的研究都因为军事的需要而大有进步。美国的Wiener、Von Neumann、英国的Turing在当时的工作成为二十世纪应用科学的基础，就是很好的例子。 乙、很多学者以追寻荣誉为主要的原动力，诺贝尔奖金确实使很多年青科学家拼力去做科学研究。这种荣誉不见得单是个人的荣誉，也可以是民族的荣耀。当年李杨得奖，全国兴奋，影响了两代人。 大致上来说很少学者能够很单纯的只有一个学习的原动力，往往有很多原因和背景使他们成长。但是传世不朽之作，必定有包含第一到第五点的考量才能够完成，上述Turing和Wiener等大师在纯科学上有深入的研究才能在应用科学做出不朽的工作。 我们很容易看得出，以名利、权力为主要原动力的学习，当目的逹到后，很难再持续下去。不幸的是，大部份的中国学者都以此为目标。 学习的方向受到我们立志的影响，得到师友的熏陶后，择善而固执之，始可成大器。 事实上，社会的文化对我们有深刻的影响。三百年以前，中国士大夫看不起外国蛮夷 之邦，以为他们不读圣贤书，整个民族自傲而不实事求是地去观摩别人的长处。等到兵败割地后才开始反省，影响到五四运动的全盘西化。这是大时代的变迁，在这个时代长大的学者很难不随波逐，跟着大方向走。在今日科学研究的领域中，我们亦能够看到不同文化背景的科学家有不同的气质和做学问的方法。 例如美国东北方有很多学者仍然有着浓厚的清教徒作风，有如中国人所说的狷介之 有归与之叹:“归与，归与，吾党之小子狂简，斐然成章„„”就是士。从前孔子在陈， 因为狷介之士有可取的地方。很多清教徒愿意为了自己坚信的理念来牺牲生活上的舒适，为学问而做学问，自强不息。 苏联的学者就比较粗犷;德国和日本学者则心细谨慎;而美国这一百年来的成就在于兼收并蓄，集思广益。这是自古以来，一个国家推动学问成功的最重要因素，希腊的雅典、德国的柏、法国的巴黎、英国的伦敦、苏联的莫斯科、中国古代的长安、洛阳等，都聚集了大量的人材。孔子出于鲁国，到司马迁时仍然见到“诸生以时习礼其家”，人材的汇聚确可以移风易俗。 在学校里，往往见到教授在发展富有原创性的发明，屡次尝试都不成功，最后成功时他的喜悦会使学生们觉得兴奋，也想自己来一点类似的经验。有时会看到两个教授持不同的意见互相批评对方学说的缺点，学生会受到这种气氛的感染，认识真理的重要性，了解创造的趣味。 我们又可以看到一群年青的学生和教授肆无忌惮的去走前人未走过的路。当一群有热情、有能力的人都在做研究的时候，大部份人都会受到感染而跟着去闯。 除了与当地的学者交往外，我们也可以从阅读中与古人和远方的人交心，“吾私淑诸人也”就是这个意思。学问既然是累积的，我们需要知道它的源流，了解伟大学者的思路和经验，来帮助自己的进步。 初学时总有困难，即使饱学之士亦然: 陶渊明:好读书，不求甚解，每有会意，便欣然忘食。 这一点很重要:即使有困难，也要自强不息，读书能够欣然忘食是成功的一大步。对学问的感情能够专一浓厚自然会有成就。 从前屈原、司马迁、李煜等人的作品都极富感情，王国维说他们的作品出于赤子之心，以血书成，千载以后，仍然为他们的作品感动不已。当爱因斯坦创立相对论时，满腔热情的来找寻引力场的最自然 架构 酒店人事架构图下载公司架构图下载企业应用架构模式pdf监理组织架构图免费下载银行管理与it架构pdf 。Watson在他的自传里提到他和Crick在找寻DNA的结构时的疯狂投入，终于完成划时代的贡献。值得注意的是爱因斯坦对于引力场所需要的几何结构、Watson对所需要的X-ray折射理论都并非专家，都是凭一股热情，而摸索成功的。 现举屈原的著作来描述他的专诚: 亦余心之所善兮， 虽九死其犹未悔。 当我们找到喜爱的方向时，絶不轻言放弃。 民生各有所乐兮，余独好修以为常，虽体解吾犹未变兮，岂余心之可惩。 我记得从前为了解决一个很重要的问题时，朝思暮想，有如词赋所说: 宋徽宗:天遥地远，万水千山，知他故宫何处，怎不思量，除梦里有时曾去。 抽思:惟郢路之辽远兮，魂一夕而九逝。 当感情丰富时，即使开始时不求甚解，经过不断的浸淫，真理亦会逐渐明朗。但是感情丰富，必需有师友的激励。 师者传习授业解惑者也。 三人行，必有我师焉。 学而时习之，不亦乐乎。 通过学习，或与师友切磋，或与古人神交，视野才会广阔，才会放弃自己以前一些琐碎的想法，去找寻学问的重要方向。 晏殊:昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。 能够放弃不重要的研究，而去思考自己的路向，需要有踏实的基础，有好的文化修养、气质，同时不怕别人讥笑。 涉江:苟余心其端真兮，虽僻远之何伤。 韩愈 答李翊书 始者非三代两汉之书不敢观，非圣人之志不敢存，处若忘，行若遗，俨乎其若思，茫乎其若迷。当其取于心而注于手也，惟陈言之务去，戛戛乎其难哉～其观于人，不知其非笑之为非笑也。如是者亦有年，犹不改。然后识古书之正伪，与虽正而不至焉者，昭昭然白黑分矣，而务去之，乃徐有得也。当其取于心而注于手也，汨汨然来矣。其观于人也，笑之则以为喜，誉之则以为懮，以其犹有人之说者存也。如是者亦有年，然后浩乎其沛然矣。吾又惧其杂也，迎而距之，平心而察之。其皆醇也，然后肆焉。虽然，不可以不养也。行之乎仁义之途，游之乎《诗》、《书》之源，无迷其途，无绝其源，终吾身而己矣～ 找寻自己学问的路向，必需要保持浓厚的好奇心，要不停的发问。中国古代最有名的发问的文章是: 屈原天问 遂古之物，谁传道之，上下未形，何由考之„„ 日月安属，列星安陈, 但是以后中国学者读圣贤书，不敢质问圣人的言行和天地间的物象了。 即使做学问的大方向决定后，中间不可能没有很多疑难的地方，此时有老师“传道授业解惑”是很有帮忙的，而更应当的向师友切磋发问: 善问者如叩钟，问之大者则大鸣，问之小者则小鸣。 上面两个不同的发问，一个是“思考”，一个是“学习”，实在应当并重才能够成功。 论语 学而不思则罔，思而不学则殆。 我们对每个学说需要“求因”、“明变”和“批判”，才能够将整个学说吸收到自己思想的系统里面，再通过发问和思考的过程，向前推进，创造新的学说。 一个好的学者，需要不断的观察大自然的现象，从人类累积得来的经验中寻找天同的定律，加以验证、归纳和演绎，循环不息，才能成就大学问，真和美是整个过程的最客观的导师。 无论是那位大文学家或大科学家，都离不开勤苦学习的阶段。 屈原:路曼曼其修远兮，吾将上下而求索。 柳永:衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 苦学而能持久，并非易事，最忌的是“一鼓作气，再而衰，三而竭。”中国小孩读书往往小学时就尽力，到大学时已经力竭了。 为学另一件忌怕的是基本修养不久，而好议论别人长短来掩饰自己的弱点。 在苦学和思考之后，可能发觉以前所走的方向完全错误，或是所要做的问题已经给他人完成。在这个时候，如何自处，就如同出征、或打败仗或遇伏，都是一个考验我们的修养的时候。 司马迁评管仲:其为政也，善因祸而为福，转败而为功。贵轻重，慎权衡。恒公实怒少姬，南袭蔡， 管仲因而伐楚，责包茅不入贡于周室„„诸侯由是归齐。 从失败的经验中找到成功的路子，是做研究的不二法门。因为尝试各种途径时，往往失败的多，成功的时候少，但是我们做研究时走过的路很少是浪费的，有时做的研究给人抢先做去，可以从对方的文章中得到启发，做一篇更有意义的文章，或者可以看出这些研究不值得去做。取舍的问题，不单是关乎经验，亦关乎学者的气质。 关于气质，我们先看: 曹丕 《典论 论文》 譬诸音乐，曲度虽均，节奏同检， 至于引气不齐，巧拙有素，虽在父兄， 不能以移子弟。 表面上，做大学问必需要天才才能成功。其实并不尽然: 《琴苑要录》 伯牙学琴于成连，三年而成，至于精神寂寞，情之专一，未能得也。成连曰:吾学不能移人之情，吾师有方子春，在东海中。乃赍粮从之，至蓬莱山。留伯牙曰:“吾将迎吾师”，刺船而去，旬时不返。伯牙心悲，延颈四望，但闻海水汨?#093;，山林窅冥，群鸟悲号，仰天叹曰:“先生将移我情。”乃授琴作歌。 从这里可以看出气质亦可以培养，在吸收多元的文化后，在高雅的环境影响下，气质可能会有突变。就如在长期的思考后，我们可能有突然而来的灵感一样。 气质的培养最好是从小就开始。司马迁的文章气吞江河，就是因为他父亲从小就让他“西至空洞，北过涿鹿，东渐于海，南浮江淮。”又送他到齐鲁之地学古文并跟董仲舒念书，所以太史公的早熟是有原因的。 学者面临大问题时，往往有自信心的考验，孟子说:“我知言，我善养，浩然之气”，如果学者有这种浩然之气，又博览群书，就昂昂然无所惧怕了。 在一个学者成长的阶段里，假如操守不良，或志向不纯，学业就很容易枯萎。 离骚 何昔日之芳草兮，今直为此萧艾也。 岂其有他故兮，莫好修之害也。 曹丕 贫贱则慑于饥寒，富贵则流于逸乐。 有些学者早熟而工作很好，但得不到赏识而自怨自艾，终至不能继续。 一个很著名的例子是汉朝的贾谊: 王勃 屈贾谊于长沙，非无圣主，岂乏明时。 苏轼评语 王者之佐，„„非汉文之不能用生，生之不能用汉文也。 其后以自伤哭泣，至于夭絶，是亦不善处穷者也。夫谋之一不见用，则安知终不伤用也,不知默默以待其变，而自残至此。鸣呼～贾生志大而量少，才有余而识不足也。 有人学识不足，而妄求上位;有人才学过人，竟妄自菲薄，或自伤不遇，这都是其文化修养未逮，胸襟不阔之故。 以天为师:可以明天理，通造化。 以人为师:可以致良知，知进退。 我的学生中，单纯向学的往往大有成就。反过来说，有其它学生，初学时尚属用功，以后回国访问时受到大力表扬，自以为学问已臻一流，急功近利，以致错误连连，竟然凭借错误的文章选为院士，长此以往，恐怕科学界的丑闻将面临中国了。 中国十年来学术浮夸之风实在由高等大学和国家过度重视院士而起。名教授或院士同时间在多个高校领取大量薪水，招收过量研究生，置研究水平于不顾。名校又大量引入外国教授兼职，假报全职引进，做违反国外大学规则的事情，这种虚报成就的做法并不可取。 孟子:我能为君辟土地，充府库。今之所谓良臣，古之所谓民贼也。 高校以争取虚名和经费为办校目标，不再顾及学术研究的崇高目标，往往吹嘘一些极为普通的成果，而评审这些成果的又往往是一小撮第二流的学者。高层领导被这些学者误导以后，大量拨给经费，到头来都浪费在非学术的活动上。 最后，仅以数语相赠: 行乎名利之途，入乎公卿之门，虽荣受赏，吾不谋也。 得乎造物之贞，乐乎自然之趣，虽穷有道，文其兴乎。 大学数学学习方法 2008-9-8 20:24:01 【来源:学习频道】 一提起“数学”课，大家都会觉得再熟悉不过了，从小学一直到高中，它几乎就是一门陪伴着我们成长的学科。然而即使有着大学之前近12年的数学学习生涯，我想仍会有很多同学和我一样在初学大学数学时遇到了很多困惑与疑问，尤其是作为数学系的学生，在面对着“数学分析”之类的课程时，更可能会有一种摸不着头脑的感觉。因此我在读大一的时候，也经常向别人请教一些关于“如何学好数学”之类的问题，我就把自己问到的结果并结合自己的经验教训，讲一点有关大学数学学习的方法，希望对各位师弟师妹能有帮助。 知难而进，迂回式学习 学习数学首先就要不怕挫折，有勇气面对遇到的困难，有毅力坚持继续学习，这一点在刚开始进入大学学习数学时尤为重要。 在中学的时候，可能许多同学都比较喜欢学习数学，而且数学成绩也很优秀，因而这时 是处于一种良性循环的状态，不会有太多的挫败感，因而也就不会太在意勇于面对的重要性。而刚一进入大学，由于理论体系的截然不同，使得我们会在学习开始阶段遇到不小的麻烦，甚至会有不如意的结果出现(比如考试不及格)，这时就一定得坚持住，能够知难而进，继续跟随老师学习。 我在刚入学不久，就是一直感觉很晕。对于上课老师所讲的知识，虽然表面上能听懂，但却不明白知识背后的真正原因，所以总是感觉学到的东西不实在。至于做题就更差劲了，“吉米多维奇”上的习题根本不敢去看，因为书上的课后习题都没几个会做的。这确实与高中的情形相差太大了，当时我也几乎快被打击得失去信心了。不过恰巧那时碰上了来我们学校作讲座的香港浸会大学的汤涛教授，于是我就在讲座完后上前讲了我当时数学学习的困难状态并请教他应该如何解决这种问题。汤教授看到我是才入学一个多月的数学系新生，就立刻回答道:“感觉晕是很正常的，而且还得再晕几个月可能就会好了”。初听起这句话，我还有些不太敢相信，但毕竟是牛人说的，也就先照着做了。 后来，我就一直硬着头皮跟着老师学了下来。虽然感觉还是不太懂，虽然做作业仍然感觉很费劲，但始终没有放弃，到现在才真正感觉到那句话确实是对的。可能这种状态是学习数学的一个必经之路，因此必须克服这个困难才能学好大学数学理论知识。 除了要坚持外，还要注意不要在某些问题的解决上花费过多的时间。因为大学数学理论十分严谨，教科书在讲解初步知识时，有时会不可避免地用到一些以后才能学到的理论思想，因而在初步学习时就对着这种问题不放是十分不划算的。 比如说，在“数学分析”一开始学习实数系的确界存在基本定理时，我就花了很多时间在想引入这个定理的目的是什么。由于当时根本没什么基础，所以对于这个问题怎么想也想不通，甚至觉得这个定理没有什么实质的意义。直到后来学到了多元部‎‎分的数学分析，以及专业课“实变函数”时，才开始慢慢理解它的真正目的。这里之所以要说明是实数系有确界存在的性质，即相当于有一种连续的性质，目的就是为了后面的极限和连续做铺垫的，因为只有在自变量能够连续变化的时候，考虑因变量的相应变化才有意义，进而才能研究函数的性质。但是如果没有学到后面，只了解区间而不知其它一些怪异的点集时是很难想通这个问题的。 所以，在开始学习数学时，可以考虑采取迂回的学习方式。先把那些一时难以想通的问题记下，转而继续学习后续知识，然后不时地回头复习，在复习时由于后面知识的积累就可能会想通以前遗留的问题，进而又能促进后面知识的深刻理解。这种迂回式的学习方法，使得温故不但能知新，而且还能更好地知故。 但是，也并不是说在初学时就不去思考任何问题。相反，勤于思考是学好数学必备的好习惯，“数学是思维的体操”，只有坚持思考才能掌握它的理论体系和逻辑关系。因此，应该在学习时掌握尺度，既要保证有充分的思考，但同时又不能过于钻牛角尖。 了解背景，理论式学习 大学数学与中学数学明显的一个差异就在于大学数学强调数学的基础理论体系，而中学数学则是注重计算与解题。直接反应就是大学数学系的考试几乎全是关于数学定理或定义的证明题，而中学则有很多技巧性强的计算或证明题。所以，针对这个特点，学习大学数学就应该注重建立自己的数学理论知识框架。 要学习理论体系，首先就应该知道为什么要建立这种理论，它的作用是什么，这就要了解数学的历史背景知识。因此，我想向各位推荐两本数学史方面的书:《古今数学思想》(克莱因)和《20世纪数学经纬》(张奠宙)。前一本书是从古希腊一直写到了19世纪的数学发展，而后一本书则全是在讲上个世纪数学理论的发展情况，因此这两本书基本上恰好记录了整个数学理论的发展历史。 我是在大一第二学期“非典”停课时借阅的《20》。在读完之后，感觉对自己的数学学习起到了很大的帮助作用。在那之后，对于许多理论知识都觉得十分自然也容易接受了。 比如 “数学分析”在一开始就强调对语言的掌握，而它的产生则是由于数学史上的“第二次数学危机”引起的。众所周知，Newton创立的微积分，虽然在其应用方面取得了巨大的成就，但微积分在那时的理论基础是相当混乱的。Newton在求导数时先将无穷小量看成非零数作为分母，后来又将其视做零而舍去，因此这就导致了逻辑上的错误。为了给微积分奠定正确而坚实的基础，大数学家Cauchy提出了用语言的方法来推出极限和导数的概念。借助语言，可以十分清晰地展示出函数取极限的过程，而且在逻辑上也非常清楚严谨。这样，当了解了这些历史背景知识之后，就觉得学习语言是很必要的，学起来也就自然得多了。《20》一书中，还写了许多有关数学家的有趣故事，尤其其中有一篇是其书作者采访数学大师陈省身的记录稿。在那篇文章中，陈省身大师就谈了他自己许多学习数学的方法和态度，尤其是关于心态的问题，这对于我们学数学的学生有很大的启发意义。因此，建议大家如果有时间就一定要读一读这本数学史书。 除了了解背景帮助我们学习理论知识外，还要下苦功夫去学习。在接触了这些陌生的数学理论一段时间后，可能觉得看起来已经懂了，但其实自己不一定能真正掌握，尤其是那些证明中内含的逻辑关系最容易出错。所以在学习时，应该适当地记忆理论知识，有时还应该默写定理，只有通过默写才能发现自己在理论上的漏洞，才能培养出自己严密的理论、逻辑能力，这对以后的学习都是很有帮助的。 自然人文，全面式学习 以上全是有关学习数学知识的，但是要学好数学，并不能只单单学习数学知识，还要多了解其他学科的知识，拥有广泛的知识基础。著名应用数学家林家翘教授就曾说过，在MIT每位大学生在第一年都要全面学习数、理、化、生的课程，而这也是它们学校一直保持的优良传统。 自然科学当中的许多问题都是数学理论的创造源泉或应用基地。比如著名数学家Riemann创造的“黎曼几何”一开始并没有发挥威力，但直到大物理学家Einstein提出相对论后才使得该理论有了用武之地。因此多了解一些其它自然科学知识，有助于我们更好地理解数学理论，发现它的价值。 人文知识的学习同样必不可少，有许多数学家都有着深厚的人文知识素养。比如华裔菲尔兹奖获得者丘成桐教授就对我们的古代文学很精通，他写东西经常会引用《左传》等古文或者写古诗句来反应他的一些研究。其实，在学到很基础的数学理论知识如数理逻辑时，就必须借助人文知识来从哲学角度理解数学。著名的数理逻辑学家歌德尔在证明出了“不完备定理”之后，另一位数学家外尔就说:“上帝是存在的，因为数学无疑是相容的;魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。”这句颇有哲理的话，就是从哲学的角度反应了该数学定理的意义。 以上，就是我在经过了这几年的数学课学习之后，总结出的一些学习方法，其中大部分都是由我自己的亲身教训而来的。我虽然不能保证用这些方法就一定能学好数学，但相信只要做了就一定会有帮助，一定会有收获的。 华罗庚 “我以为，方法中最主要的一个问题，就是‘熟能生巧’，苦练活练，不放过任何一个机会。” 3、由薄到厚、由厚到薄 “对于一些基本的知识，要学深学透„„什么叫学深学透,这就是要经过‘由薄到厚’、‘由厚到薄’的过程。” “当我们对书的内容真正有了透彻的了解，抓住了全书的要点，掌握了全书的精神实质之后，就会感到书本变薄了。” 4、独立思考，其乐无穷 “独立思考是获取正确认识的必要方法，也是科学中克服困难的不二法门。” 因“克服困难后的乐趣，那是信心和胜利的交响曲。有了兴趣就会乐此不疲，好之不倦，之也就会挤时间来学习了。” 5、学习使人聪明 “我始终认为，天才是‘努力’的充分发挥，唯有学习，不断地学习，才能使人聪明。”“聪明在于学习，天才由于积累。” 6、数形结合，能“进”善“退” “数与形，本是柏倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，割裂分家万事非。 切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离～”“善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。”(