初中经典几何题型及思想方法

初中经典几何 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 型及思想 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 初中几何经典题 一、解答题(共20小题，满分0分) 1(已知:如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD?AB，EF?AB，EG?CO( 求证:CD=GF((初二) 2(已知:如图，P是正方形ABCD内点，?PAD=?PDA=15?(求证:?PBC是正三角形((初二) 3(如图，已知四边形ABCD、ABCD都是正方形，A、B、C、D分别是AA、BB、1111222211CC、DD的中点( 11 求证:四边形ABCD是正方形((初二) 2222 4(已知:如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F( 求证:?DEN=?F( 5(已知:?ABC中，H为垂心(各边高线的交点)，O为外心，且OM?BC于M( (1)求证:AH=2OM; (2)若?BAC=60?，求证:AH=AO((初二) 6(设MN是圆O外一直线，过O作OA?MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q( 求证:AP=AQ((初二) 7(如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题:设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q( 求证:AP=AQ((初二) 8(如图，分别以?ABC的边AC、BC为一边，在?ABC外作正方形ACDC和CBFG，点P是EF的中点，求证:点P到AB的距离是AB的一半( 9(如图，四边形ABCD为正方形，DE?AC，AE=AC，AE与CD相交于F( 求证:CE=CF( 10(如图，四边形ABCD为正方形，DE?AC，且CE=CA，直线EC交DA延长线于F( 求证:AE=AF((初二) 11(设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF?AP，CF平分?DCE( 求证:PA=PF((初二) 12(如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D(求证:AB=DC，BC=AD( 13(已知:?ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5( 求:?APB的度数((初二) 14(设P是平行四边形ABCD内部的一点，且?PBA=?PDA( 求证:?PAB=?PCB( 15(设ABCD为圆内接凸四边形，求证:AB•CD+AD•BC=AC•BD((初三) 16(平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE=CF(求证:?DPA=?DPC((初二) 17(设P是边长为1的正?ABC内任一点，L=PA+PB+PC，求证:?L,2( 18(已知:P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值( 19(P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长( 20(如图，?ABC中，?ABC=?ACB=80?，D、E分别是AB、AC上的点，?DCA=30?，?EBA=20?，求?BED的度数( 初中几何经典题参考答案与试题解析 一、解答题(共20小题，满分0分) 1(已知:如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD?AB，EF?AB，EG?CO( 求证:CD=GF((初二) 考点:相似三角形的判定与性质;圆周角定理。 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 :首先根据四点共圆的性质得出GOFE四点共圆，进而求出?GHF??OGE，再利用GH?CD，得出==，即可求出答案( 解答:证明:作GH?AB，连接EO( ?EF?AB，EG?CO， ??EFO=?EGO=90?， ?G、O、F、E四点共圆， 所以?GFH=?OEG， 又??GHF=?EGO， ??GHF??OGE， ?CD?AB，GH?AB， ?GH?CD， ?==， 又?CO=EO， ?CD=GF( 点评:此题主要考查了相似三角形的判定以及其性质和四点共圆的性质，根据已知得出GOFE四点共圆是解题关键( 2(已知:如图，P是正方形ABCD内点，?PAD=?PDA=15?(求证:?PBC是正三角形((初二) 考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;等边三角形的判定。 专题:证明题。 分析:在正方形内做?DGC与?ADP全等，根据全等三角形的性质求出?PDG为等边，三角形，根据SAS证出?DGC??PGC，推出DC=PC，推出PB=DC=PC，根据等边三角形的判定求出即可( 解答:证明:在正方形内做?DGC与?ADP全等， ?DP=DG，?ADP=?GDC=?DAP=?DCG=15?， ??PDG=90?,15?,15?=60?，?DGC=180?,15?,15?=150?， ??PDG为等边，三角形， ?DP=DG=PG， ?PGC=360?,150?,60?=150?=?DGC， 在?DGC?PGC中 ， ??DGC??PGC， ?PC=AD=DC，和?DCG=?PCG=15?， 同理PB=AB=DC=PC， ?PCB=90?,15?,15?=60?， ??PBC是正三角形( 点评:本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有一定的难度，对学生提出了较高的要求( 3(如图，已知四边形ABCD、ABCD都是正方形，A、B、C、D分别是AA、BB、1111222211CC、DD的中点( 11 求证:四边形ABCD是正方形((初二) 2222 考点:正方形的判定;全等三角形的判定与性质。 专题:证明题。 分析:连接BC和AB分别找其中点F，E，连接CF与AE并延长相交于Q点，根据三1122角形的中位线定理可得AE=FB，EB=FC，然后证明得到?BFC=?AEB，然后利用边22212222角边定理证明得到?BFC与?AEB全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=BC，22222222再根据角的关系推出得到?AB C=90?，从而得到AB与BC垂直且相等，同理可得其2222222它边也垂直且相等，所以四边形ABCD是正方形( 2222 解答:证明:如图，连接BC和AB分别找其中点F，E(连接CF与AE并延长相交于Q1122点， 连接EB并延长交CQ于H点，连接FB并延长交AQ于G点， 2222 由AE=AB=BC=FB，EB=AB=BC=FC， 21111221 ??GFQ+?Q=90?和?GEB+?Q=90?， 2 ?所以?GEB=?GFQ， 2 ??BFC=?AEB， 2222 可得?BFC??AEB， 2222 所以AB=BC， 2222 又?HBC+?HCB=90?和?BCQ=?EBA， 22222222 从而可得?AB C=90?， 222 同理可得其他边垂直且相等， 从而得出四边形ABCD是正方形( 2222 点评:本题主要考查了正方形的性质与判定，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质， 综合性较强，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键( 4(已知:如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC 的延长线交MN于E、F( 求证:?DEN=?F( 考点:三角形中位线定理。 专题:证明题。 分析:连接AC，作GN?AD交AC于G，连接MG，根据中位线定理证明MG?BC，且 GM=BC，根据AD=BC证明GM=GN，可得?GNM=?GMN，根据平行线性质可得: ?GMF=?F，?GNM=?DEN从而得出?DEN=?F( 解答:证明:连接AC，作GN?AD交AC于G，连接MG( ?N是CD的中点，且NG?AD， ?NG=AD，G是AC的中点， 又?M是AB的中点， ?MG?BC，且MG=BC( ?AD=BC， ?NG=GM， ?GNM为等腰三角形， ??GNM=?GMN， ?GM?BF， ??GMF=?F， ?GN?AD， ??GNM=?DEN， ??DEN=?F( 点评:此题主要考查平行线性质，以及三角形中位线定理，关键是证明?GNM为等腰三角形( 5(已知:?ABC中，H为垂心(各边高线的交点)，O为外心，且OM?BC于M( (1)求证:AH=2OM; (2)若?BAC=60?，求证:AH=AO((初二) 考点:三角形的外接圆与外心;三角形内角和定理;等腰三角形的性质;含30度角的直角三角形;平行四边形的判定与性质;垂径定理;圆周角定理。 专题:证明题。 分析:(1)延长AD到F连BF，做OG?AF，求出平行四边形OGDM，求出OM=GD，根据等腰三角形的性质和判定、垂径定理求出HD=DF，代入求出即可; (2)根据圆周角定理求出?BOM，根据含30度角的直角三角形性质求出OB=2OM即可( 解答:证明:(1)延长AD与?O交于点F，连BF，作OG?AF于G， ?OM?BC，AD?BC，OG?AF， ??OMD=?ADB=?OGD=90?， ?四边形OGDM是平行四边形， ?OM=GD， ??ADC=?BDA=?AEB=90?， ??F=?ACB=?BHD， ?BH=BF， ?AD?BC， ?HD=DF， ?OG?AF，OG过圆心O， ?AG=GF， ?AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM， 即AH=2OM( (2)证明:连接OB，OC， ??BAC=60?， ??BOC=120?， ??BOM=60?， ??OBM=30?， ?OB=2OM=AH=AO， 即AH=AO( 点评:本题考查了等腰三角形的性质和判定、圆周角定理、垂径定理、含30度角的直角三角形性质、平行四边形的性质和判定、三角形的外接圆与外心、三角形的内角和定理等知识点，题目综合性较强，有一定的难度，但题型较好，难点是如何作辅助线( 6(设MN是圆O外一直线，过O作OA?MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q( 求证:AP=AQ((初二) 考点:圆周角定理;垂线;平行线的性质;全等三角形的判定与性质;圆内接四边形的性质;轴对称的性质。 专题:证明题。 分析:作E点关于GA的对称点F，连FQ、FA，FC，根据轴对称和平行线性质推出?FAP=?EAQ，?EAP=?FAQ，FA=EA，求出?FCQ=?FAQ，推出FCAQ四点共圆，推出?PEA=?QFA，根据ASA推出?PEA和?QFA全等即可( 解答:证明:作E点关于GA的对称点F，连FQ、FA，FC， ?OA?MN，EF?OA， 则有?FAP=?EAQ，?EAP=?FAQ，FA=EA， ??PAF=?AFE=?AEF=180,?FCD， ??PAF=180,?FAQ， ??FCD=?FAQ， ?FCAQ四点共圆， ?AFQ=?ACQ=?BED， 在?EPA和?FQA中 ， ??EPA??FQA， ?AP=AQ( 点评:本题综合考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，轴对称的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂线等知识点，解此题的关键是求出?AEP=?AFQ，题型较好，有一定的难度，通过做题培养了学生分析问题的能力，符合学生的思维规律，证两线段相等，一般考虑证所在的两三角形全等( 7(如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题:设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q( 求证:AP=AQ((初二) 考点:四点共圆;全等三角形的判定与性质。 分析:作OF?CD，OG?BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ，证明?ADF??ABG，所以?AFC=?AGE，再利用圆的内接四边形对角互补，外角等于内对角，证得?AOP=?AOQ，进而得到AP=AQ( 解答:证明:作OF?CD，OG?BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ( 由于， ??ADF??ABG， ??AFC=?AGE， ?四边形PFOA与四边形QGOA四点共圆， ??AFC=?AOP;?AGE=?AOQ， ??AOP=?AOQ， ?AP=AQ( 点评:本题考查了全等三角形的判定和全等三角形的性质，以及圆的内接四边形性质:对角互补，外角等于内对角，解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形( 8(如图，分别以?ABC的边AC、BC为一边，在?ABC外作正方形ACDC和CBFG，点P是EF的中点，求证:点P到AB的距离是AB的一半( 考点:梯形中位线定理;全等三角形的判定与性质。 专题:证明题。 分析:分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则PQ=(ER+FS)，易证Rt?AER?Rt?CAT，则ER=AT，FS=BT，ER+FS=AT+BT=AB，即可得证( 解答:解:分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则ER?PQ?FS， ?P是EF的中点，?Q为RS的中点， ?PQ为梯形EFSR的中位线， ?PQ=(ER+FS)， ?AE=AC(正方形的边长相等)，?AER=?CAT(同角的余角相等)，?R=?ATC=90?， ?Rt?AER?Rt?CAT(AAS)， 同理Rt?BFS?Rt?CBT， ?ER=AT，FS=BT， ?ER+FS=AT+BT=AB， ?PQ=AB( 点评:此题综合考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定以及正方形的性质等知识点，辅助线的作法很关键( 9(如图，四边形ABCD为正方形，DE?AC，AE=AC，AE与CD相交于F( 求证:CE=CF( 考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定;等边三角形的判定与性质。 专题:证明题。 分析:把?ADE顺时针旋转90?得到?ABG，从而可得B、G、D三点在同一条直线上，然后可以证明?AGB与?CGB全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，所以?AGC为等边三角形，根据等边三角形的性质可以推出?CEF=?CFE=75?，从而得解( 解答:证明:如图所示，顺时针旋转?ADE90?得到?ABG，连接CG( ??ABG=?ADE=90?+45?=135?， ?B，G，D在一条直线上， ??ABG=?CBG=180?,45?=135?， 在?AGB与?CGB中，， ??AGB??CGB(SAS)， ?AG=AC=GC=AE， ??AGC为等边三角形， ?AC?BD(正方形的对角线互相垂直)， ??AGB=30?， ??EAC=30?， ??AEC=30?+45?=75?， 又??EFC=?DFA=45?+30?=75?， ?CE=CF( 点评:本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定，以及旋转变换的性质，根据旋转变换构造出图形是解题的关键( 10(如图，四边形ABCD为正方形，DE?AC，且CE=CA，直线EC交DA延长线于F( 求证:AE=AF((初二) 考点:正方形的性质;三角形内角和定理;三角形的外角性质;等腰三角形的判定与性质;正方形的判定。 专题:计算题。 分析:连接BD，作CH?DE于H，根据正方形的性质求出正方形DGCH，求出2CH=CE，求出?CEH=30?，根据等腰三角形性质和三角形的外角性质求出?AEC=?CAE=15?，求出?F的度数即可( 解答:证明:连接BD，作CH?DE于H， ?正方形ABCD， ??DGC=90?，GC=DG， ?AC?DF，CH?DF， ??DHC=?GCH=?DGC=90?， ?四边形CGDH是正方形( 由AC=CE=2GC=2CH， ??CEH=30?， ??CAE=?CEA=?AED=15?， 又?FAE=90?+45?+15?=150?， ??F=180?,150?,15?=15?， ??F=?AEF， ?AE=AF( 点评:本题综合考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，三角形的外角性质，正方形的性质和判定等知识点，此题综合性较强，但难度适中( 11(设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF?AP，CF平分?DCE( 求证:PA=PF((初二) 考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质。 专题:证明题。 分析:根据已知作FG?CD，FE?BE，可以得出GFEC为正方形(再利用全等三角形的判定得出?ABP??PEF，进而求出PA=PF即可( 解答:证明:作FG?CD，FE?BE，可以得出GFEC为正方形( 令AB=Y，BP=X，CE=Z，可得PC=Y,X( 2BAP=tan?EPF==，可得YZ=XY,X+XZ， tan? 即Z(Y,X)=X(Y,X)，即得X=Z，得出?ABP??PEF， ?PA=PF( 点评:此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知得出?ABP??PEF是解题关键( 12(如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D(求证:AB=DC，BC=AD( 考点:切线的性质;全等三角形的判定与性质。 分析:作出辅助线，利用射影定理以及四点共圆的性质得出EFOQ四点共圆，BECQ四点共圆，进而得出四边形ABCD是平行四边形，从而得出答案即可( 解答:证明:作CQ?PD于Q，连接EO，EQ，EC，OF，QF，CF， 2所以PC=PQ•PO(射影定理)， 2又PC=PE•PF， 所以EFOQ四点共圆， ?EQF=?EOF=2?BAD， 又?PQE=?OFE=?OEF=?OQF， 而CQ?PD，所以?EQC=?FQC，因为?AEC=?PQC=90?， 故B、E、C、Q四点共圆， 所以?EBC=?EQC=?EQF=?EOF=?BAD， ?CB?AD， 所以BO=DO，即四边形ABCD是平行四边形， ?AB=DC，BC=AD( 点评:此题主要考查了四点共圆的性质以及射影定理，根据已知得出EFOQ四点共圆，BECQ四点共圆是解题关键( 13(已知:?ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5( 求:?APB的度数((初二) 考点:等边三角形的性质;直角三角形的性质;勾股定理的逆定理;旋转的性质。 专题:计算题。 分析:先把?ABP旋转60?得到?BCQ，连接PQ，根据旋转性质可知?BCQ??BAP，由于?PBQ=60?，BP=BQ，易知?BPQ是等边三角形，从而有PQ=PB=4，而PC=5，PQ=3，根据勾股定理逆定理易证?PQC是直角三角形，即?PQC=90?，进而可求?APB( 解答:解:顺时针旋转?ABP60?得到?BCQ，连接PQ， ??PBQ=60?，BP=BQ， ??BPQ是等边三角形， ?PQ=PB=4， 而PC=5，PQ=4， 222在?PQC中，PQ+QC=PC， ??PQC是直角三角形， ??BQC=60?+90?=150?， ??APB=150?( 点评:本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理的逆定理、旋转的性质，解题的关键是考虑把PA、PB、PC放在一个三角形中，而旋转恰好能实现这一目标( 14(设P是平行四边形ABCD内部的一点，且?PBA=?PDA( 求证:?PAB=?PCB( 考点:四点共圆;平行四边形的性质。 专题:证明题。 分析:根据已知作出P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE?DP，BE?PC，进而得出AEBP共圆，即可得出答案( 解答:证明:作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE?DP，BE?PC( ?AE?DP，BE?PC， ??ABP=?ADP=?AEP， 可得:AEBP共圆(一边所对两角相等)( 可得?BAP=?BEP=?BCP， ??PAB=?PCB( 点评:此题主要考查了四点共圆的性质以及平行四边形的性质，熟练利用四点共圆的性质得出是解题关键( 15(设ABCD为圆内接凸四边形，求证:AB•CD+AD•BC=AC•BD((初三) 考点:相似三角形的判定与性质;圆周角定理。 分析:在BD取一点E，使?BCE=?ACD，即得?BEC??ADC，于是可得AD•BC=BE•AC，又??ACB=?DCE，可得?ABC??DEC，既得=，即AB•CD=DE•AC，两式结合即可得到AB•CD+AD•BC=AC•BD( 解答:证明:在BD取一点E，使?BCE=?ACD，即得?BEC??ADC， 可得:=，即AD•BC=BE•AC，? 又??ACB=?DCE，可得?ABC??DEC， 即得=，即AB•CD=DE•AC，? 由?+?可得:AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)=AC•BD，得证( 点评:本题主要考查相似三角形的判定与性质和圆周角的知识点，解答本题的关键是在BD上取一点E，使?BCE=?ACD，此题难度一般( 16(平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE=CF(求证:?DPA=?DPC((初二) 考点:平行四边形的性质;角平分线的性质。 专题:证明题。 分析:过D作DQ?AE，DG?CF，由S==S，可得:=，?ADE?DFC又?AE=FC，可得DQ=DG，可得?DPA=?DPC(角平分线逆定理)( 解答:证明:过D作DQ?AE，DG?CF，并连接DF和DE，如右图所示: 则S==S， ?ADE?DFC ?=， 又?AE=FC， ?DQ=DG， ?PD为?APC的角平分线， ??DPA=?DPC(角平分线逆定理)( 点评:本题考查平行四边形和角平分线的性质，有一定难度，解题关键是准确作出辅助线，利用角平分线的性质进行证明( 17(设P是边长为1的正?ABC内任一点，L=PA+PB+PC，求证:?L,2( 考点:等边三角形的性质;三角形三边关系;旋转的性质。 专题:证明题。 分析:只要AP，PE，EF在一条直线上，可得最小L=;过P点作BC的平行线交AB，AC于点D，F，可得AD,AP?，BP+DP,BP?，PF+FC,PC?，DF=AF?，从而得出结论( 解答:证明:(1)顺时针旋转?BPC60?，可得?PBE为等边三角形( 即得要使PA+PB+PC=AP++PE+EF最小，只要AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图:可得最小L=; (2)过P点作BC的平行线交AB，AC于点D，F( 由于?APD,?AFP=?ADP， 推出AD,AP ? 又?BP+DP,BP ? 和PF+FC,PC ? 又?DF=AF ? 由????可得:最大L,2; 由(1)和(2)即得:?L,2( 点评:综合考查了旋转的性质，等边三角形的性质和三角形三边关系，分别找到最小和最大L的求法是解题的关键( 18(已知:P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值( 考点:轴对称-最短路线问题;正方形的性质。 分析:顺时针旋转?BPC60度，可得?PBE为等边三角形，若PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，求出AF的值即可( 解答:解:顺时针旋转?BPC60度，可得?PBE为等边三角形( 既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图:可得最小PA+PB+PC=AF( 既得AF== =( 点评:本题主要考查轴对称,路线最短问题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握旋转的知识，此题难度一般( 19(P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长( 考点:正方形的性质;勾股定理;等腰直角三角形;旋转的性质。 专题:综合题。 分析:把?ABP顺时针旋转90?得到?BEC，根据勾股定理得到PE=2a，再根据勾股定理逆定理证明?PEC是直角三角形，从而得到?BEC=135?，过点C作CF?BE于点F，?CEF是等腰直角三角形，然后再根据勾股定理求出BC的长度，即可得到正方形的边长( 解答:解:如图所示，把?ABP顺时针旋转90?得到?BEC， ??APB??CEB， ?BE=PB=2a， ?PE==2a， 2222在?PEC中，PC=PE+CE=9a， ??PEC是直角三角形， ??PEC=90?， ??BEC=45?+90?=135?， 过点C作CF?BE于点F， 则?CEF是等腰直角三角形， ?CF=EF=CE=a， 在Rt?BFC中，BC===a， 即正方形的边长为a( 点评:本题考查了正方形的性质，旋转变化的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及逆定理的应用，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键( 20(如图，?ABC中，?ABC=?ACB=80?，D、E分别是AB、AC上的点，?DCA=30?，?EBA=20?，求?BED的度数( 考点:全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质。 专题:几何综合题。 分析:作?BCF=60?，分别交AC、BE于点F、G，构造出等边三角形?BCG，可以求出?DCF与?FCE的度数，并利用角边角证明?ABE与?ACF全等，根据全等三角形对应边相等得到BE=CF，然后求出?FGE也是等边三角形，再根据等边三角形的角的度数证明EF?BC，推出?AFE=80?，根据平角等于180?推出?DFG=40?，再根据角的度数可以得到BD=BC=BG，然后推出?DGF=40?，根据等角对等边的性质可得DG=DF，从而利用边边边证明?DFE与?DGE全等，根据全等三角形对应角相等可得?DEF=?BED，即可得解( 解答:解:作?BCF=60?，分别交AC、BE于点F、G，连接EF，DG， ??ABC=80?，?EBA=20?， ??GBC=80?,20?=60?， ??BGC为等边三角形， ??DCA=30?，?ACB=80?， ??DCF=?BCF,(?ACB,?DCA)=60?,(80?,30?)=10?，?FCE=?DCA,?DCF=30?,10?=20?， ??EBA=?FCE， 又??ABC=?ACB=80?， ?AB=AC， 在?ABE与?ACF中， ， ??ABE??ACF(ASA)， ?BE=CF， ?BG=CG(等边三角形的三边相等) ?FG=GE， ??FGE为等边三角形， ??EFG=?CBG=60?， ?EF?BC， ??AFE=?ABC=80?， ??DFG=180?,80?,60?=40??， 在?BCD中，?BDC=180?,?ABC,?BCD=180?,80?,(80?,30?)=50?， ?BD=BC=BG， 在?BGD中，?BGD=(180?,20?)=80?， ??DGF=180?,?BGD,?EGF=180?,80?,60?=40??， ??DFG=?DGF， ?DF=DG， 在?DFE与?DGE中， ， ??DFE??DGE(SSS)， ??FED=?BED， ??GEF=60?(等边三角形的每一个角都等于60?)， ??BED=?GEF=30?( 故答案为:30?( 点评:本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，巧妙运用题中的角 的度数的关系并作出辅助线是解题的关键，难度较大，对同学们的能力要求较高( 初中几何常用方法 全等三角形辅助线 找全等三角形的方法: ,1,可以从结论出发，看要证明相等的两条线段,或角,分别在哪两个可能全等的三角形中, ,2,可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等, ,3,从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等, ,4,若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法: ?延长中线构造全等三角形, ?利用翻折，构造全等三角形, ?引平行线构造全等三角形, ?作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种: 1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”, 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”, 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的 思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定 理或逆定理, 4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是 全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相 等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质 加以说明,这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目, 特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶 点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答, 常见辅助线写法: ?过点A作BC的平行线AF交DE于F ?过点A作BC的垂线，垂足为D ?延长AB至C，使BC,AC ?在AB上截取AC，使AC,DE ?作?ABC的平分线，交AC于D ?取AB中点C，连接CD交EF于G点 例1 如图，AB,CD,1，?AOC,60?，证明:AC，BD?1。 A C O B D 例2 (2007年北京中考)如图，已知?ABC ?请你在BC边上分别取两点D、E(BC的中点除外)，连接AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相 等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形; ?请你根据使?成立的相应条件，证明AB，AC,AD，AE。 例3 已知线段OA、OB、OC、OD、OE、OF。 ?AOB,?BOC,?COD,?DOE,?EOF,60?。且AD,BE,CF,2。 3 ，S,。 求证:S，S?OAB?OCD?OEF 例4 如图1，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，如果?1,?2，那么?3,?4。 仔细阅读以上材料，完成下面的问题。 如图2，设P为?ABCD内一点，?PAB,?PCB，求证:?PBA,?PDA。 图1 图2 ?集散思想:有些几何题，条件与结论比较分散，通过添加适当的辅助线， 将图形中分散，远离了的元素聚集到有关的图形上，使它们相对集中，便于比较，建立关系，从而找出问题的解决途径。 ?平移只能用来作为作辅助线的思路，具体做辅助线的时候不能直接说将 ?ABC平移至?DEF 。 1(在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的点，且EG?FH，求 证:EG,FH。 HDA G E CBF 2(如图所示，P为平行四边形ABCD内一点，求证:以AP、BP、CP、DP为边可以构成一个 四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB和BC。 3(如图，已知?ABC的面积为16，BC,8，现将?ABC沿直线BC向右平移a个单位到?DEF的位置。 ?当a,4时，求?ABC所扫过的面积; ?连接AE、AD，设AB,5，当?ADE是以DE为一腰的等腰三角形时，求a的值。 4(如图，AA′=BB′=CC′=1，?AOB′=?BOC′=?COA′=60?，求证: 3 SSS，，,AOBBOCCOA,,,。 4 例1 如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且?EAF,45?，AH?EF，H为垂 足，求证:AH,AB。 例2 ?ABC中，?ACB,90?，AC,BC，P是?ABC内的一点，且AP,3，CP,2，BP,1，求 ?BPC的度数。 例3 已知在?ABC中，AB,AC，P为三角形内一点，且?APB,?APC，求证:PB,PC。 有边相等或者有角度拼起来为特殊角的时候可以用旋转 ?边相等时常见图形为正方形，等腰三角形和等边三角形等等 ?角度能拼成的特殊角指的是180?，90?等等 例4 已知?ABC，?1,?2，AB,2AC，AD,BD。求证:DC?AC。 例5 ?ABC为等腰直角三角形，?ABC,90?，AB,AE，?BAE,30?，求证:BE,CE。 例6 在?ABC中，E、F为BC边上的点，已知?CAE,?BAF，CE,BF，求证:AC,AB。 出现轴对称的时候可以考虑翻折，尤其注意有角平分线，有角相等或者出现特殊角的一半的时候，翻折是常用添加辅助线的思想。 强调: 旋转和翻折只能是一种作辅助线的思路，具体做辅助线的时候不能直接说将 ABC旋转或翻折至?DEF。 ? 1(如图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形 纸板的圆心方在O点处，并将纸板绕O点旋转，其半径分别交AB、AD于点M、N，求 证:正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a。 NDA MO BC 2((2008山东)在梯形ABCD中，AB?CD，?A,90?，AB,2，BC,3，CD,1，E是 AD中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程。 DC E BA 3(如图，P是等边?ABC内一点，若AP,3，PB,4，PC,5，求?APB的度数。 A 3 P34 CB 4(已知:在Rt?ABC中，?BAC=90?，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点， ?DAE=45?。 ?猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明; ?当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，其它条件不变，?中探究 的结论是否发生改变,请说明你的猜想并给予证明。 AA E' CCEDBBED AA F DCDEBCEB 5(如图，已知等腰直角三角线ABC，BD平分?ABC，CE?BD，垂足为E，求证:BD,2CE。 A DE CB 6(如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB,8，BC,10，求EC的长。 AD E BCF(D) 中点的妙用 一、倍长中线法 例1 (北京文汇中学2009-2010期中测试题)，AD是?ABC中BC边上的中线，若AB2，AC4，则,, AD的取值范围是___________。 A BCD 例2 已知在?ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AFEF，求, 证:ACBE。 , A F E BDC 例3 ?如图1，?ABC与?BDE均为等腰直角三角形，BA?AC，ED?BD，点D在AB边上。连接EC，取EC中点F，连接AF，DF，猜测AF，DF的数量关系和位置关系，并加以证明。 A E F D BC 图1 ?如图2，将?BDE旋转至如图位置，使E在AB延长线上，D在CB延长线上，其他条件不变，则?中AF，DF的数量关系和位置关系是否发生变化，并加以证明。 A DB C F E 图2 例4 已知四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，求证EFGH为平行四边形。 AH D EG BCF 例5 如图，已知四边形ABCD中，ABCD，M、N分别为BC、AD中点，延长MN与AB、CD延, 长线交于E、F，求证?BEM?CFM , E F AD BCM 例6 已知?ABD和?ACE都是直角三角形，且?ABD?ACE=90?，连接DE，设M为DE的中点。 , ?求证:MBMC; , ?设?BAD?CAE，固定Rt?ABD，让Rt?ACE移至图示位置，此时MBMC是否成立,请证,,明你的结论。 AA C E MEDDCM BB 出现中点的时候一般有以下作辅助线的方法 ?倍长中线法 ?构造中位线 ?如果是直角三角形，经常还会构造斜边上的中线 例7 如图，已知?ABC和?ADE都是等腰直角三角形，点M为EC中点，求证?BMD为等腰直角三角形。 B D ME C A 1(在?ABC中，AB12，AC30，求BC边上的中线AD的范围。 ,, A B C D 2(在?ABC中，D为BC边上的点，已知?BAD?CAD，BDCD，求证:ABAC。 ,,, A BCD 13(如图，在?ABC中，AD?BC，M是BC中点，?B2?C，如图，求证:DMAB ,,2 A C B D 14(已知?ABC中，AC=7，BC4，D为AB中点，E为边AC上一点，且，,，,:，，AEDC902求CE的长。 B D ACE 5(在任意五边形ABCDE中，M,N,P,Q分别为AB、CD、BC、DE的中点，K、L、分别为MN、 1KLPQ的中点，求证:平行且等于。 AE4 6(如图，已知?ABC中，ABAC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BDAB， ,, 那么CE是CD的几分之几, A E B C D 7(四边形ABCD四边中点分别为E、F、G、H，当四边形ABCD满足 时，EFGH为 菱形;当四边形ABCD满足 时，EFGH为矩形;当四边形ABCD满足 时， EFGH为正方形。 截长补短法 例1 在?ABC中，?B=2?C，?BAC的平分线AD交BC与D。求证:ABBDAC。 ,， A CBD 例2 ABCD是正方形，P为BC上任意一点，?PAD的平分线交CD于Q，求证:DQAPBP。 ,, AD Q CBP 例3 已知?ABC，?ABC=90?，以AB、AC为边向外做正方形ABDE和ACFG，延长BA交EG于H，则BC2AH。 , G H F EA DCB 补形法 例4 AD是?ABC的角平分线，BE?AD交AD的延长线于E，EF//AC交AB于F。求证:AFFB。 , A CF D BE 例5 如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，已知BCCD11，DEAB3，求DCEF的值。 ,,,，， FA EB CD 例6 如图所示:BC>AB，ADAC，BD平分?ABC，求证:?A?C180?。 ,,， A D BC 1(如图，在?ABC中，ABBDAC，?BAC的平分线AD交BC与D，求证:?B2?C,,， A B C D 已知?ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABGF、ACDE，M是BC中点，连接AM 求证:EF,2AM且AM?EF。 3(在?ABC中，ABAC，?A100?，BE评分?B交AC与E，如图，求证:AEBEBC ,,,， A E BC 4(在?ABC中，D、E为AB、AC中点，DE与?B的平分线交与F，如图所示。 求证:AF?BF A EDF BC 5(在?ABC中，MB、NC分别是三角形的外角?ABE、?ACF的角平分线，AM?BM， 1AN?CN，垂足分别是M，N。求证:MN?BC，MN (ABACBC) ,，，2 A MN B CEF 6(在?ABC中，MB、NC分别是三角形的内角?ABC、?ACB的角平分线，AM?BM， 1AN?CN，垂足分别是M，N。求证:MN?BC，MN(ABACBC) ,,，2 A MM BC 巧构等边 例1 在四边形ABCD中，已知ABBCCD，?ABC70?，?BCD170?，求?BAD的度数。 ,,,, B C D A 例2 如图，?ABC中，ABAC，ADBC，?A20?，求?DCA的度数。 ,,, A D BC 例3 任意?ABC，试在?ABC内找一点P，使得PAPBPC的值最小 ，， A BC 例4 (2000 北京初二数学竞赛)，在等腰?ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连接DE， 恰有ADBCCEDE。求证:?BAC100?。 ,,,, E A CB D 例5 如图所示，在?ABC中，?B60??A100?，E为AC的中点，?DEC80?，D是BC边上的,,, 点，BC1，求?ABC的面积与?CDE的面积的两倍的和。 , A E BCD 例6 如图所示，在?ABC中，?ACB2?ABC，P为三角形内一点，APAC，PBPC， ,,,求证:?BAC3?BAP。 , A P BC ABCDBCCD,，,，,:BCAACD60ADCDAB，,1(如图所示，在四边形中，，，求证:。 ,ABCABAC,60120:,，,:A,ABCPCAC,2(在中，，，为内部一点，， P ，,:,，PCAA120，CBP，求的度数。 A P BC 23、3(在等边?ABC内有一点P，它到三个顶点A、B、C的距离分别为1、，求?APB的度数。 4(在凸四边形ABCD中，?DAC30?，?CAB20?，?ADB50?，?BDC30?，四,,,,边形的对角线交于点P，求证:PB=PC DA P C B 5(在等腰?ABC中，?B?C40?，延长AB至点D，使ADBC，求?BCD的度数。 ,,, A B CD 6(如图，D是?ABC外一点，ABACBDCD，?ABD60?。求?ACD的度数。 ,,,， A D BC