112,1,x21 dx,(,1)dx,(2arctanx,x),,1022,,21,x1,x00
,,xx1eeee,1,x,x1dx,(e,e),,1 0,0222
4dx ,01,.x
dx2t1,dt,2(1,)dt,2(t,ln1,t),c,2[x,ln(1,x)],c ,,,1,t1,t1,x
4dx4,2[x,ln(1,x)],4,2ln3 0,01,x
利用定积分求极限
n11n1i1333331. lim(1,2,?,n),lim[(),?,()],,lim(),,4n,,n,,n,,nnnnnn,1i
111133341则有lim(12),,?,n,xdx,x, 0,40n,,44n
2.
n11111111n,,?,,,?,,,,lim[]lim[]lim,222,,,,,,nnnni1nnnnnn,,,(1)(2)()222,1i,,,(1)(1)(1)nnn
11 11111dxd(1x),,,,,,022,,00(1x)(1x)1x2,,,
评语: 该同学对定积分的思想方法及其运算掌握的很好,成绩为A。
附件
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1.44题
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1.45题
dxb0,,ab 用定积分的定义计算: () 2,ax
n,1bdx1 xx,,,,,lim,x,iii,1i22,an,,x,i,0i
取 (in,,0,1,,1),则 ,,xxiii,1
nn,,11bdx11111,,,,,,lim()lim()xx,,ii,12,ann,,,, xxxxxabii,,00iiii,,11
:从定积分的定义出发计算定积分时,尽量选择某种特殊的分割T和特殊的点
n集,,使lim()fx,,形式简单特殊便于求极限,显然,最终用数列极限求,,,iii,0T,1i
出。
22212n,,,,,,n等于( )。 lim111In,,,,,,,,,,n,,nnn,,,,,,
2222(A) (B) (C) (D) Inxdx21Inxdx,2Inxdx,,,,,111
22 Inxdx1,,,,1
2222nn1211nii,,,,,,,,,,n lim111lim1lim21InInIn,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,nnn,,,,,,11iinnnnnnn,,,,,,,,,,,,
2 = 2Inxdx,1
所以(B)为答案。
该题也可以将积分区间定为[0, 1], 此时得到:
2222nn 1211nii,,,,,,,,,,nlim111lim1lim21InInIn,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,nnn,,,,,,11iinnnnnnn,,,,,,,,,,,,
1 = 21Inxdx,,,,0
但是得不到和(A), (B), (C), (D)相关的正确选择。
,,,12,,,n3.利用定积分求极限lim(0),,. ,1,n,,n
n 利用定积分求nn项和的极限时,首先把项和改写为的形fx,,,,,iii,1
式.
1,,,,,,1n1,,1,2,,11?nix,,,lim,lim,,d,,xx,,,,,,,,1 0n,,n,,1,,1,,nnn,,i,1,,0.
4 求极限
1n,,12n,,,,,,lim111,,,,,,,,,,,,n,,nnn,,,,,,,,
命
1nn,,121nk,,,,,,,,a,,,,,,,ln111ln1n,,,,,,,,,,,nnnnnk,,,,,,,,,,,1 易见,是函数在上的一个积分和.由于 可积并Inx(1),fxInx,,(1)0,1a,,,,n
有原函数,故 (1)(1),,,xInxx
n1k1limlimln1ln(1)axdx,,,,,,,nnn,0nn,,,, k,1
1[(1)ln(1)]2ln21,,,,,,,,xxx01n,,124n,,,,,,所以,lim111,,,,, ,,,,,,,,n,,nnne,,,,,,,,
根据可积的充分条件, 只要是上的连续函数, 则在fab,,,yfx,,,
nb上可积.即, 而且该极限与的取法无关, 与ab,,fxdxfx,,lim,,,,,,,,, ,iii,a,0T,1i
的分法无关. 其中. ,,,xxxx,,iii,1i
正因为该极限与的取法无关, 与的分法无关, 经常取使,ab,,,,,xx,,,,iii
baba,,,,,,,,xai区间等分, 取或, 所以或,,x,,xiiiiii,1nnba,,,,ai,(1). in
于是:
nnbbbaba,,baba,,,,,,lim或lim1 faifxdx,,faifxdx,,,,,,,,,,,,,,,,,aa,,,,nnnnnn,,,,11,,ii特别当ab,=0,1时, 得到: ,,,,
nn1b1i11i,,,,,limffxdx,或limffxdx, ,,,,,,,,,,,,0a,,,,nnnnnn,,,,1,,1ii
不一定取端点。 ,,,i
凡是遇到和式的极限, 如能通过
数学
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运算, 凑成上述形式, 就可以利用定
积分计算极限.对于某些较难的问题,