用三线摆测转动惯量
用三线摆测转动惯量 实验介绍:
转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，是表征刚体特性的一个物理量。转动惯量的大小除与物体质量有关外，还与转轴的位置和质量分布(即形状、大小和密度)有关。如果刚体形状简单，且质量分布均匀，可直接计算出它绕特定轴的转动惯量。但在工程实践中，我们常碰到大量形状复杂、且质量分布不均匀刚体，理论计算将极为复杂，通常采用实验
方法
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来测定。
转动惯量的测量，一般都是使刚体以一定的形式运动。
通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量之间的关
系，进行转换测量。测量刚体转动惯量的方法有多种，
三线摆法是具有较好物理思想的实验方法，它具有设备
简单、直观、测试方便等优点。
一 实 验 目 的
(1)学会用三线摆测定物体的转动惯量。
(2)学会用秒表测量周期运动的周期。
(3)验证转动惯量的平行轴定理。
二 实 验 原 理
图1是三线摆实验装置的示意
图。上、下圆盘均处于水平，悬挂在
横梁上。三个对称分布的等长悬线将
两圆盘相连。上圆盘固定，下圆盘可
绕中心轴作扭摆运动。当下盘转动
角度很小，且略去空气阻力时，扭摆
的运动可近似看作简谐运动。根据能
量守恒定律和刚体转动定律均可以导
出物体绕中心轴的转动惯量(推导
过程见本实验附录)。
式中各物理量的意义如下:为下盘的质量;、分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离;为平衡时上下盘间的垂直距离;T为下盘作简谐运动的周期，0
为重力加速度。
的待测物体放在下盘上，并使待测刚体的转轴与轴重合。测将质量为
出此时下盘运动周期和上下圆盘间的垂直距离。同理可求得待测刚体和下圆盘对中心转轴轴的总转动惯量为:
(2)
如不计因重量变化而引起的悬线伸长， 则有。那么，待测物体绕中心轴
的转动惯量为: (3) 因此，通过长度、质量和时间的测量，便可求出刚体绕某轴的转动惯量。
用三线摆法还可以验证平行轴定理。若质量为的物体绕过其质心轴的转动惯量为，当转轴平行移动距离时(如图2所示)，则此物体对新轴的转动惯量为。这一结论称为转动惯量的平行轴定理。
实验时将质量均为m'，形状和质量分布完全相同的两
个圆柱体对称地放置在下圆盘上(下盘有对称的两排小
孔)。按同样的方法，测出两小圆柱体和下盘绕中心轴
的转动周期，则可求出每个柱体对中心转轴的转动惯量:
(4)
如果测出小圆柱中心与下圆盘中心之间的距离以及小圆柱体的半径，则由平行轴定理可求得
(5)
比较与的大小,可验证平行轴定理。
三 实 验 仪 器
三线摆(包含米尺、游标卡尺、物理天平以及待测物体)和秒表。 四 实 验 内 容
1(测定圆环对通过其质心且垂直于环面轴的转动惯量
(1)调整底座水平:调整底座上的三个螺钉旋钮，直至底板上水准仪中的水泡位于正中间。
(2)调整下盘水平:调整上圆盘上的三个旋钮(调整悬线的长度)，改变三悬线的长度，直至下盘水准仪中的水泡位于正中间。
(3)测量空盘绕中心轴转动的运动周期:轻轻转动上盘，带动下盘转动，这样可以避免三线摆在作扭摆运动时发生晃动(注意扭摆的转角控制在以内)。周期的测量常用累积放大法，即用计时工具测量累积多个周期的时间，然后求出其运动周期(想一想，为什么不直接测量一个周期,)。如果采用自动的光电计时装置(光电计时的原理请参阅实验三)，光电门应置于平衡位置，即应在下盘通过平衡位置时作为计时的起止时刻，且使下盘上的挡光杆处于光电探头的中央，且能遮住发射和接收红外线的小孔， 然后开始测量;如用秒表手动计
时，也应以过平衡位置作为计时的起止时刻(想一想，为什么,)，并默读5、4、3、2、1、0，当数到“0”时启动停表， 这样既有一个计数的准备过程， 又不致于少数一个周期。
(4)测出待测圆环与下盘共同转动的周期:将待测圆环置于下盘上，注意使两者中心重合，按同样的方法测出它们一起运动的周期。 2(用三线摆验证平行轴定理
将两小圆柱体对称放置在下盘上，测出其与下盘共同转动的周期T和两小 x圆柱体的间距。改变小圆柱体放置的位置，重复测量5次。 3(其它物理量的测量
(1)用米尺测出上下圆盘三悬点之间的距离和，然后算出悬点到中心的距离和(等边三角形外接圆半径)。
(2) 用米尺测出两圆盘之间的垂直距离;用游标卡尺测出待测圆环的内、
外直径、和小圆柱体的直径。
(3) 记录各刚体的质量。
五 数 据 与 结 果
1. 圆环转动惯量的测量及计算(表1和表2)
表1 累积法测周期数据记录参考表格
下盘 下盘加圆环 摆动
1 1
20次 2 2
3 3 所需
4 4
时间 5 5
平
平均 (s) 均
周 期 s s
表2 有关长度多次测量数据记录参考表
上盘悬 待测圆环下盘悬
孔 项目 孔 小圆柱体直
外直径内直径
间 距 径 次数 间 距
1 2 3 4 5 平均
待测圆环质量 圆柱体质量 下盘质量
根据以上数据，求出待测圆环的转动惯量，将其与理论值计算值比较，求相
对误差，并进行讨论。已知理想圆环绕中心轴转动惯量的计算公式为
。
2. 验证平行轴定理(表3)
表3 平行轴定理验证
项目 相 周期22实验值(kg?m) 理论值(kg?m)
小孔间对次数 (s误距
) 差
1
2
3
4
5
由上表数据，分析实验误差，由得出的数据给出是否验证了平行轴定理的结论。
六 思 考 题
(1)用三线摆测刚体转动惯量时，为什么必须保持下盘水平,
(2)在测量过程中, 如下盘出现晃动,对周期测量有影响吗,如有影响，应如何避免之,
(3)三线摆放上待测物后，其摆动周期是否一定比空盘的转动周期大,为什么,
(4)测量圆环的转动惯量时，若圆环的转轴与下盘转轴不重合，对实验结果有何影响,
(5)如何利用三线摆测定任意形状的物体绕某轴的转动惯量,
(6)三线摆在摆动中受空气阻尼，振幅越来越小，它的周期是否会变化,对测量结果影响大吗,为什么,
七 附 录
转动惯量测量式的推导
当下盘扭转振动，其转角很小时，其扭动是一个简谐振动，其运动方程为:
(6)
当摆离开平衡位置最远时，其重心升高，根据机械能守恒定律有:
(7)
(8) 即
而 (9)
(10)
将(4-10)式代入(4-7)式得
(11)
从图4-3中的几何关系中可得
简化得
略去，且取，则有
代入(11)式得
(12)
即得公式(1)。
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