第5章:解析函数的幂级数
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示
教学目标或要求:
掌握 复级数的基本性质
二、教学内容(包括基本内容、重点、难点):
基本内容:复级数的基本性质 解析函数项级数
重点:解析函数项级数的性质
难点: 解析函数项级数的性质
三、教学手段与方法:
讲授、练习
四、思考题、讨论题、作业与练习:1
对于复数项的无穷级数
,
a,a,a,?,a,?, (4.1)nn,12n,1
令(部分和),若 部分和复数列 有有限复数极限,
即,则称收敛于,称为级数的和。记
; 若 无有限极限,则称 发散。
设 ,则
证 记
由 即得。
,存在正整数复级数(4.1) 收敛于的充要条件是:对任给的,,0N,N(,),当且为任何正整数时n,Np
|a(z),?a(z)|,,。 n,1n,p
改变 的有限项并不改变 的敛散性。
判定级数的敛散性。
解: 由 发散,收敛知原级数发散。
,
|a|复级数(4.1) 收敛的一个充分条件是级数收敛。,n,1n
,,
|a|a级数收敛,则称级数为绝对收敛;非绝对收敛的收敛级n,,n,1n,1n
数称为条件收敛。
(1) 一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序,而不改变其绝
对收敛性,亦不致改变其和,(2) 设有两绝对收敛的复数项级数 ,
把它们各项相乘所得的级数
也绝对收敛,且它的和就等于两个级数的和之积 。
,
f(z)设复变函数项级数的各项均在点集上有定义,且在上存DD,n,1n
在一个函数,对于上的每一点,级数均收敛于,则称为级数的和函f(z)f(z)D
数,记为
,
f(z),f(z). ,n,n1
用 方式描述:对于给定的,任意, 使当n>N时,有,其中,。如果N与Z无关,则
称级数在D上一致收敛于。
,
f(z) 对于级数在点集上一致收敛于函数的充要条件是:对任给D,n,1n
的,存在正整数N,N(,),使当时,对一切,均有 ,,0n,Nz,D|f(z),?f(z)|,,。 n,1n,p
如果对于某区域D上所有各点z,复数项级数各项的模,而正的常数 项级数收敛,则复变函数项级数在D上绝对且一致收敛。级数称
为的强级数,即其强级数收敛的复变函数项级数一致且绝对收敛.
以上称为外尔斯特拉斯M一判定法。
,
f(z)f(z)级数在点集上连续,并且一致收敛于函数,则和函数D,n,1n
,
f(z),f(z) 也在上连续。 D,n,n1
如果级数在D上一致收敛于如果 ,
在C上连续,则沿C可逐项积分,且
。
在圆内闭一致收敛 在闭圆上一致收敛。
证 显然。
证明级数 在 时一致收敛。
当时,,由收敛,根据优级数判别法即得。
证明在内内闭一致收敛,但在上不一致收敛。 一 , 又 在 时收敛,则由优级数
判别法即得 在 上一致收敛。从而 在内闭一致收敛。 取,取 , 则 ,
故柯西一致收敛判别法即知在上不一致收敛。
反证法。若 在 上一致收敛,则
。
特别地对 有 在 内取
则 ,于是 但 ,矛盾。 故 在 上不一致收敛。
,
f(z)(n,1,2,?)f(z)在区域内解析,(2)在内内闭一致设(1)DD,nn,1n
,
f(z),f(z)收敛于函数f(z):, 则: ,n,n1
(1)f(z)在区域内解析 D
,(p)(p)f(z),f(z)(2) (z,D,p,1,2,?). n,,n1
证 (1)全含于内,由在内解析知在 连续,又 在内内闭一致收敛于,故在上一致收敛于,从而由和的连续性定理知,在 连续。另一方面,取为
内任一围线,由于在 内解析,故,且 在 上连续,又由在内闭一致收敛于 知 在 上一致收敛于,由逐项可积定理知
, 因此由摩勒拉定理在 内解析,从而在 解析,由的任意性即知在 内解析。
(2) 全含于内,记的边界为,则由、 在 内解析 ,知 、 在 上解析。从
而
又 在内闭一致收敛于,从而在上一致收敛于,
,由于一致收敛级数乘以有界函数后仍是一致收敛
的,故在上一致收敛于,另一方面,由于在内解析,故在上连续,从而在上连续,因此由逐项积分定理
,
从而 。