分离变量法

SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 1 \h \* MERGEFORMAT MACROBUTTON MTEditEquationSection2 方程段 1 节 1（2.1） （2.2） （2.3） 这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的。求解这样的问题，可以运用叠加原理。我们知道，在求解常系数线性齐次微分方程的初值问题时，是先求出足够多个特解（它们能构成通解），再利用叠加原理作这些特解的线性组合，使满足初始条件。这就启发我们，要解问题（2.1）、（2.2）、（2.3），先寻求齐次方程（2.1）的满足齐次边界条件（2.2）的足够多个具有简单形式（变量被分离的形式）的特解，再利用它们作线性组合使满足初始条件（2.3）。 这种思想方法，还可以从物理模型得到启示。从物理学知道乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的单音，每种单音，振动时形成正弦曲线，其振幅依赖于时间 ，即每个单音可表示成 的形式，这种形式的特点是： 中的变量 与 被分离出来了。 根据上面的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，现在我们试求方程（2.1）的变量分离形式 的非零解，并要求它满足齐次边界条件（2.2），式中 分别表示仅与x有关及仅与t有关的待定函数。 由 得 ， ，代入方程（2.1）得 ，或 。 这个式子左端仅是 的函数，右端仅是 的函数，一般情况下二者不可能相等，只有当它们均为常数时才能相等。令此常数为 ，则有 ，这样我们就得到两个常微分方程： （2.4） (2.5) 再利用边界条件(2.2),由于 ，故有 ，但 ，因为如果 ，则 ，这种解显然不是我们所要求的，所以 （2.6） 因此要求方程（2.1）满足条件（2.2）的变量分离形式的解，就先要从下列常微分方程的边值问题 中解出 。 现在我们就来求非零解 ，但要求出 并不是一个简单的问题。因为方程（2.5）中含有一个待定常数 ，所以我们的任务既要确定 取何值时方程（2.5）才有满足条件（2.6）的非零解，又要求出这个非零解 。这样的问题成为常微分方程（2.5）在条件（2.6）下的固有值（特征值）问题，使问题（2.5），（2.6）有非零解的 成为该问题的固有值（特征值），相应的非零解 称为它的固有（特征）函数。下面我们对 分三种情况来讨论。 1. 设 ，此时方程（2.5）的通解为 由条件（2.6）得 解出A，B得 即 ，不符合非零解的一起，因此 不能小于零。 2. 设 ，此时方程（2.5）的通解为 ，由条件（2.6）还是得 ，所以 也不能等于零。 3. 设 ，并令 ， 为非零实数。此时方程（2.5）的通解为 由条件（2.6）得 ， 。 由于B不能为零（否则 ），所以 ，即 （n为负整数可以不必考虑，因为例如 ， 实际上还是 的形式）从而 ，这样，我们就求出了固有值问题（2.5），（2.6）的一系列固有值及相应的固有函数： 确定了 的值后，现在再来求函数 ，以（2.7）式中的 代入方程（2.4）中得 ， 显然，其通解为 于是由（2.8），（2.9）得到满足方程（2.1）及边界条件（2.2）的一组变量被分离的特解 其中 是任意常数。至此，我们的第一步工作已经完成了，求出了既满足方程（2.1）又满足边界条件（2.2）的无穷多个特解。为了求原定解问题的解，还需要满足条件（2.3）.由（2.10）式所确定的一组函数虽然已经满足方程（2.1）及条件（2.2），但不一定满足初始条件（2.3）。为了求出原问题的解，首先我们将（2.10）中所有函数 叠加起来 （2.11） 由叠加原理可知，如果（2.11）右端的无穷级数是收敛的，而且关于 都能逐项微分两次，则它的和 也满足方程（2.1）和条件（2.2）.现在我们要适当选择 ，使函数 也满足初始条件（2.3），为此必须有 因为 是定义在 上的函数，所以只要选取 为 的傅氏正弦级数的展开式的系数，也就是 （2.12） 初始条件（2.3）就能满足。以（2.12）所确定的 代入（2.11）式，即得原定解问题的解。 当然，如上所述，要使（2.12）式所确定的函数 确实是问题（2.1）（2.2）（2.3）的解，除了其中的系数 必须由（2.12）确定以外，还要求这样得到的级数收敛，并且能够对 逐项微分两次。这些要求只要对函数 及 加一些条件就能满足。可以 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 （参阅复旦大学数学系编《数学物理方程》1979年版第一章s3），如果 三次连续可微， 二次连续可微，且 ，则问题（2.1）（2.2）（2.3）的解存在，并且这个解可以用（2.11）给出，其中由 （2.12）式确定。 需要指出的是，当 与 不满足这里所述的条件时，由（2.11），（2.12）所确定的函数 不具备古典解的要求，它只能是原定解问题的一个形式解。由实变函数的理论可知，只要 与 在 上是 可积的，函数列 分别平均收敛于 与 ，其中 由（2.12）确定。 如果将初始条件（2.3）代之以 则相应的定解问题的解为 当 时，它平均收敛于（2.11）所给的形式解 。由于 既满足方程（2.1）及边界条件（2.2），又近似的满足初始条件（2.3），所以，当n很大时，可以把 看成是原问题的近似解。作为近似解平均收敛的极限 ，当然也是很有实际意义的。 此外，从求解偏微分方程的方法来看，在大多数情况下，也都是先求形式解，然后在一定条件下验证这个形式解就是古典解，这个验证的过程常称为综合工作。鉴于本书受到篇幅和讲授课时的限制，在今后的叙述中，都不去做综合工作，也不逐个去讨论所求的形式解就是古典解时需加的条件，只要求得了形式解，就认为定解问题得到了解决。 从前面的运算过程可以看出，用分离变量法求解定解问题的关键步骤是确定固有函数与运用叠加原理，这些运算之所以能够进行，就是因为偏微分方程与边界条件都是齐次的，这一点希望读者一定要注意。 例1 设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。 解 设位移函数为 ，它是下列定解问题 的解。这是 ，并给定 （这个数字与弦的材料、张力有关）。 显然，这个问题的傅氏级数形式解可由（2.11）给出，其系数按（2.12）式为 =0，当n为偶数， ，当n为奇数。 因此，所求的解为 积分 的推导过程： 注意上式中 （余弦函数 的周期为 ，当n=1时，这个积分为从0到其半个周期的积分，为零，当n>=2时，这个积分为从0到其n个周期的积分，也为零；因此这个积分总为零。） 积分于是简化为 例2 解下列定解问题 解 这里所考虑的方程仍是（2.1），所不同的只是在 这一端的边界条件不是第一类齐次边界条件，而是第二类齐次边界条件。因此，通过分离变量的步骤后，仍得到方程 _1418466761.unknown _1418750406.unknown _1418750853.unknown _1418754503.unknown _1418754987.unknown _1418756569.unknown _1418844800.unknown _1418793678.unknown _1418755003.unknown _1418754841.unknown _1418751087.unknown _1418754435.unknown _1418750892.unknown _1418750526.unknown _1418750621.unknown _1418750506.unknown _1418466848.unknown _1418750154.unknown _1418750278.unknown _1418468305.unknown _1418466778.unknown _1418466789.unknown _1418466776.unknown _1418222106.unknown _1418388476.unknown _1418388563.unknown _1418389557.unknown _1418390403.unknown _1418390603.unknown _1418391091.unknown _1418391759.unknown _1418466025.unknown _1418466336.unknown _1418466751.unknown _1418466346.unknown _1418466182.unknown _1418391953.unknown _1418464102.unknown _1418391952.unknown _1418391510.unknown _1418391727.unknown _1418391153.unknown _1418391152.unknown _1418390812.unknown _1418390602.unknown _1418390459.unknown _1418390499.unknown _1418390180.unknown _1418389641.unknown _1418389685.unknown _1418389599.unknown _1418389555.unknown _1418389556.unknown _1418389126.unknown _1418389234.unknown _1418388623.unknown _1418388561.unknown _1418388562.unknown _1418388485.unknown _1418388560.unknown _1418387366.unknown _1418387765.unknown _1418388007.unknown _1418388453.unknown _1418388466.unknown _1418388288.unknown _1418388442.unknown _1418388367.unknown _1418388180.unknown _1418387836.unknown _1418387981.unknown _1418387821.unknown _1418387488.unknown _1418387645.unknown _1418387746.unknown _1418387622.unknown _1418387391.unknown _1418387424.unknown _1418382738.unknown _1418387032.unknown _1418387364.unknown _1418387365.unknown _1418387057.unknown _1418383108.unknown _1418222526.unknown _1418222560.unknown _1418222192.unknown _1418208246.unknown _1418221920.unknown _1418222031.unknown _1418222049.unknown _1418221970.unknown _1418208571.unknown _1418209949.unknown _1418208339.unknown _1418208397.unknown _1418200416.unknown _1418200552.unknown _1418200278.unknown