平面弧长的计算
?3. 平面曲线的弧长与曲率 (一) 教学目的:掌握平面曲线的弧长与曲率
(二) 教学
内容
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:平面曲线的弧长与曲率的计算公式(
(1) 基本要求:掌握平面曲线的弧长计算公式(
(2) 较高要求:掌握平面曲线的曲率计算公式( (三) 教学建议:
(1) 要求学生必须熟记平面曲线的弧长计算公式(
(2) 对较好学生可要求他们掌握平面曲线的曲率计算公式(
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1 直角坐标情形
设曲线弧由直角坐标方程
在 上具有一阶连续导数。 给出,其中
现在用元素法来计算这曲线弧的长度.
取横坐标 为积分变量,它的变化区间为 . 曲线上对应于 上任一小y,f(x)区间的一段弧的长度 可以用该曲现在点出的切线上相应的一小段的[x,x,dx](x,f(x))长度来近似代替(图3.8.4). 而这相应切线段的长度为
以此作为弧长元素 ,即
2,ds,1,ydx
2,1,ydx以为被积
表
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达式,在区间 上做定积分,变得所求得弧长. [a,b]
曲线段弧 的长度为
b2,s,1,ydx ,a
2. 参数方程情形
设曲线弧由参数方程
给出,其中 , 在 上具有一阶连续导数。
现在来计算这曲线弧的长度.
取参数 为积分变量,它的变化区间为 .相应 上任一小区间 的小
弧段的长度的近似值及弧长元素为
于是,曲线段弧 的长度为
3. 极坐标情形
设曲线弧由极坐标方程
给出,其中 在 上具有连续导数。
现在来计算这曲线弧的长度. 由直角坐标与极坐标的关系可得
这就是以极角为参数的曲线弧的参数方程. 于是,弧长元素为
从而,曲线段弧 的长度为