6.3向量的线性相关性

6.3向量的线性相关性 6.3向量的线性相关性 一、教学思考 1、向量的线性相关性在研究向量空间的结构时极为重要～并且学生在学习时感到困难的多是由于逻辑思维混乱以及推理不严谨造成的。 、本节重要的在于讲清诸概念～理清它们之间的关系～介绍一般MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1715943400731_2和特2 殊方法～补充一些容易混淆的问题及一些错误做法或判断。 二、 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 要求 内容:向量的线性相关性定义、性质,替换定理,极大无关组。 要求:正确理解和掌握向量组的线性相关性的概念及性质～掌握判断向量组 线性关系的一般方法和特殊方法。 三、教学过程 1、线性相关与线性无关 ,1,线性组合、线性表示及其性质 r,,,,？,,a,a,？,a:设是向量空间的个向量～是数域中任定义1FV12r12rra,，a,，？a,,,,,？,,意个数～我们把和叫做向量的一个线性组合。 1122rr12r ,,,,,？,,定义2:若中向量可以表示成的线性组合～即V12r ,a,a,？,a,F,,a,，a,，？a,,,,,？,,使得～则称可以由线性，12r1122rr12r表示。 ,例略, ,,,,,？,,注:1,讨论能否由线性表示～通常转化为线性方程组是否有解的12r 问题。 ,,,,,？,,2,向量可能由线性表示～也可不能～能时表示法可能不唯12r 一。 ,,,,？,,性质:命题6.3.1向量组中每一向量都可以由这一组向量线性表示。 12r ,,,,？,,,命题6.3.2若向量可以由线性表示～而每个可由,i12r ,,,,？,,,,,,？,,线性表示～则可以由线性表示。 ,12s12s ,由定义易证,命题2告知线性表示具有传递性。, ,2,线性相关、线性无关及有关性质 rr,,,,？,,定义3:设是向量空间的个向量～若存在数域中个不全FV12r a,a,？,aa,，a,，？a,,;,,,,？,,为0的数使得～则称线性相关～12r1122rr12r ,,,,？,,否则称线性无关。 12r 注:1,定义包含的情形～即单个向量时显然有:单独一个零向量线性相关,r,1 ,,;单独一个非零向量线性无关。,由或, a,,;,a,0 2,由定义可知～任给中一组向量～它们要么线性相关～要么线性无关V ,称为线性相关性,。 r,,,,？,,3,由定义判断上向量空间中个向量的线性相关性～即FV12r讨论a,，a,，？a,,;在中是否仅有零解,一般转化为一个齐次线性方F1122rr 程组求解问题,。 ,,,,？,,,,,,？,,例1:若中有一个零向量～则一定线性相关。 12r12r3,,(1,,2,3),,,(2,1,0),,,(1,,7,9)F例2:判断中向量是否线性相关 123 2nn1,x,x,？,xF[x]例3:在中对任意非负整数～证明线性无关。,解略, ,,,,？,,性质:命题6.3.3:若向量组{}线性无关～则它的任一部分向12r ,,,,？,,量组也线性无关,等价地:若{}有一部分组线性相关～则整个向量12r ,,,,？,,组{}也线性相关。,证略, 12r ,,,,？,,,,,,？,,,,命题6.3.4:设{}线性无关～而{}线性相关～则12r12r ,,,,？,,一定可以由线性表示～且表示法唯一。,证略, ,12r 线性相关与线性组合的关系: ,,,,？,,命题6.3.5:向量,,线性相关的充要条件是其中某个向r,212r 量是其余向量的线性组合。,证略, 2、向量组的等价、替换定理 ,,,,,,,,？,,,,,,？,,定义4:设和是中的两个向量组～若每个V12s12r ,(j,1,2？,s),(i,1,2？,r),,,,？,,都可以由线性表示～而每个也可以由ji12s ,,,,？,,线性表示～则称这两个向量组等价。 12r ,示例略, 注:“等价”是向量组之间的一种关系～由命题1知其具有反身性～由命题2知其具有传递性。 ,,,,,,？,,定理6.3.6,替换定理,设向量组,1,线性无关～且每个12r ,,,,,,？,,,(i,1,2？,r)都可以由,2,线性表示。则 12si A,, r,s ,,,,？,,,,,,？,,B,必要时对,2,中向量重新编号～使得用替换后12r12r ,,,,,,？,,,,,？,,得向量组,3,与,2,等价。 12rr，1s 注:1,定理的证明用数学归纳法～注意“等价”的概念。 2,定理的含义:条件:有两组向量,1,和,2,～,1,线性无关且,1,中每个向量可由,2,线性表示。结论A,,1,中所含向量个数不比,2,中所含向量个数多,B,适当调整,2,中向量次序后,1,代替,2,中的前r个向量后所得向量组,3,与,2,等价。 3,结论B,中不是,1,代替,2,的前r个～而是代替,2,中某r个。在证明过程中有这样的结论“替换,2,中那些能由其余向量线性表示的r个”。 推论6.3.7两个等价的线性无关向量组含有相同个数的向量。 ,由定理易得, 3、极大无关组,讨论一个非零向量组的一种部分组, ,,,,,,？,,,,,,？,,定义5:向量组{}是向量组的一个部分组iii12n12r ,,,,？,,,(j,1,？,n),,～若满足:1,线性无关,2,每个都可由r,niiij12r ,,,,,,？,,,,,,？,,,,,,？,,线性表示。则称是向量组的一个极大线iiiiii12n12r12r 性无关部分组,简称极大无关组,。 ,例略, 注:每个不全为零的向量组都有极大无关组～且极大无关组不唯一。但有: 推论6.3.8等价的向量组的极大无关组含有相同个数的向量。特别地～一个向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量。 ,由替换定理易得, 极大无关组的求法: ,,,,,,？,,1,一般方法:逐步添加法——设给定～求其一个极大无关组。12n ,,;,,,,先从考虑～若～保留,考虑看其是否线性无关。无关～保留,相1112 ,,,,,关舍去～考虑看其是否线性无关。依次类推直至～便得。,由于考虑13n2 次序不同可得不同的极大无关组, 2,,1,x,x，2,x，2x，3例:求向量组的一个极大无关组。,解略, n,,,,,,？,,2,特殊方法——对中向量组～求极大无关组。 F12n M(F)首先:可以证明“命题”:“设的矩阵经过行的初等变换得到An，m M(F)的矩阵～则与的列向量有相同的线性关系。”,证略, BABn，m n,,,,？,,,,,,？,,,F这样可得:A,求的线性关系～可以以列作矩1212mm 阵～通过对作行初等变换化为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形～由的列向量的线 AABB性关系可得的列向量的线性关系。进而 A n,,,,,,？,,B,用上述方法可求中向量组的极大无关组。 F12n 3,,(1,2,1),,,(2,1,3),,,(3,0,4),,,(5,1,6)中向量组的一个极大例:求R1234无关组。 ,,,,,,,解:以为列作矩阵 1234 12351001,,,,,,,,A,2101,,,010,1,B,,,,,,,。设的列向量为～这样B,,,,1234 ,,,,13460012,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,与有相同的线性关系。容易看出线性无关～且12341234123 ,,,，2,,,,，2,,,,,,,,,,,,,,,,因此线性无关且。于是12312312312344 ,,,,,,,是的一个极大无关组。 1234