等价无穷小代换在极限运算中的应用

等价无穷小代换在极限运算中的应用 簿?赦学研究?固国 画 摘要:等价无穷小代换方法是极限运算过程中最常用的方法之一,同时也是高等数 学的重要知识点之一.在极限运算中,对 无穷小的四则运算和幂指运算应用等价无穷小代换,可以简化计算,本文给出了代 换定理和应用. 关键词:极限等价无穷小代换 等价无穷小代换方法是求极限过程中最常用的方法之一, 同时也是高等数学的重要知识点之一.在求极限时,正确使用 等价无穷小代换可以简化计算.本文对等价无穷小代换定理作 了相应的推广,给出四则运算和幂指运算中等价无穷小代换的 代换定理及应用实例,这对学生掌握等价无穷小代换方法有着 晕要意义. 应用等价无穷小代换.必须记住记住一些基本的等价无穷 小量,如当x—o时,1一c.sxx2, ln(1+x)~ex一1,弋俪"--Ix等.11 下面给出代换定理及应用: 足理1,设f(X),g(X)为一过程中的无刃小量,且f(X),g (x), 则,limg(x)h(x)=limf(x)h(x). 证因为g(x)h(x)(x)h(x), 所以limg(x)h(x)=limlimf(x)h(x)=limf(x)h(x). 【lXJ 定理2,设f(x),(X),g(X),g(x)为同一过程中的无穷小量, 且f(x)(x),g(X)~g(x),则1im器:1im. m 器im..器im器nmm 鬻gimg(x(x)) 例1.求1im(苎_二n e一1 解:因为当x—o时,+x2—sin—x一11---x2sinX,e一1, 所以1im(兰.二1) -1im 互1:--:1im x0xJx_.0Xx_.0 -- sl — nxc — osx :一 1 x2 定理3,设f(x),(X),g(x),g(x)为同一过程中的无穷小量, 且f(x)(x),g(x),(x),若1imA?L1,则f(x)+g(x)(x)+ 蜀(X1. 证…imm, 'f(x) 且f(x)(x),g(x),(x),若1im器A?1,则f(X)一g(x)(x)一 例2.,~limTe-1-sin~x一 解:因为x—o时,e一1—一X2,sinZx,-.x2,且n坚一=lim 故孕sin乒一.x.'x_..【x厂 证1h(X)?:1im?呐?=e??e'=limf(x)~. 例3.~1im(arctanx)圻一 _. 解:因为"m—x/-f~;-x-Vl-x=1im x一0Xx一0' 一:一= x(,/1+x+,/1一X 所以一,/丁~x(x—O'), 故1im(arcta眦)百一=1im=1 定理6,设f(x),'(x),g(X),g(x)为同一过程中的无穷小量, 且)(x),g(x)(x),则1im(1+'(x))x)lim(1十f.(x)) 证1im(1+:.?m: 1 :1(1+f(x))证im(+ft(X)i.(+(x) j— g(x) 一 61— ? 教学研究? ???蠢 口刘玉英 作者简介:刘玉~(1958-),女,河北人,浙江万里学院计算机系副教授,主要从事计算 机应用的教学与研究. 摘要:本文从研究学生,研究教材,研究教学的角度,以《c++语言程序设计》的教学 为例,谈对学生的因材施教. 关键词:高等教育教学研究c++教学 一 ,概述 《c++语言程序设计》是一门非常重要的程序设计语言 课程,目前国内高校计算机专业都开设了这门课程.对于计算 机专业的学生来说,一般都是先开设《c语言程序设计》,而后 开设《c++语言程序设计》.但随着计算机教育的发展,有的 学校已将《c++语言程序设计》课程作为计算机专业学生的 第一门语言课程.我校的《c++语言程序设计》课程教学也是 这样一种变化过程. c十+不仅仅是面向对象的程序设计语言,具有很强的功 能,而且这门课程学得如何直接影响到后续课程的学习,如 《数据结构》,《面向对象的高级语言编程》,《人机交.》和 《JAVA程序设计》等都需要c++作为基础知识前面几届学 生如99级,OO级(本与专),O1级(本与专)都是在2年级 (专科)或3年级(本科)的时候学习《c+十语言程序设计》, 之前曾经学习过《c语言程序设计》,有了一门程序设计语言 做基础,学生学习起来,一般容易接受.但是,根据计算机专业 课程体系的设置情况,从O2级开始,将《c++语言程序设计》 调整为计算机专业学生的第一门与专业相关的课程,在第一学 期学习过《计算机导论》后开始学习,将贯穿3或4年的始终, 期望一直到毕业设计都能用到c++的知识,真正建立一个完 整的c++的体系.要做到这一点,《c++语言程序设计》这门 课必须开一个好头,让学生过好这第一关.任务非常艰巨因 此,承担这门课教学的教师压力很大,在工作中主要从以下,L 方面着手,取得了较好的效果. 二,研究学生 几年来学生的情况在不断地发生着变化.开始是高年级学 生,在学习过《c语言程序设计》后学习《c++语言程序设 计》,有了一定的语言基础,对算法也有了一定的训练,而且 c++兼容C,C语言由 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数构成,c++也由函数构成,编写函 数的基本思路,所用的控制语句等也一样.一个C的程序在 c++环境下也可以运行,不相同的是c++中增加了类,所以在 c++刚问世时有人将它称为带类的c.因为增加了类,也增加 了封装性,继承性和多态性.那么类及其相关的 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 才是高年 级学生《c++语言程序设计》课程的主要内容. 从02级学牛开始在第一学期学习了《计算机导论》之后. 学习《c++语言程序设计》,将用26周左右的时间,完成全部 教学计划.计算机导论在这里承担的任务是将计算机学科的主 要科目都做一个概括的介绍,让学生一入校门就对计算机的科 目有一个整体的印象.由于《计算机导论》用时仅半学期,所以 只能说对计算机的知识有了一点感性的认识,根本谈不上为 《c++语言程序设计》打基础.对于这些学生来说,《c十+语言 程序设计》课程中前面的内容更为重要,c++的数据类型,运 算符与表达式,控制语句,数组,函数的定义和应用等是后面类 及其相关内容的基础,前面的内容没有掌握,后面的内容无从 谈起,更不用说为后续课程打基础所以这里有两个重点,基础 内容和类及其相关内容. 根据我对02级和O3级学生的调查了解发现,约三分之一 的学生在上大学之前学习过计算机信息技术的课程,对操作系 统, 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 数据的处理,计算机网络,程序设计基础等计算机的知 识有一些感性了解,有的学生因为经常上网也对计算机有一定 的了解.其中有个别学生可以称得上是计算机玩家,曾经参加过 游戏大赛;约三分之一的学生以前从未接触过计算机,也未学习 过计算机的知识,对计算机一无所知;其余学生接触过计算机, 但对计算机了解不多.由此可见,同年级的学生对计算机的了解 相差悬殊对于这样基础知识参差不齐的学生,教师既要保护和引导有基础的学生的积极性,主动自觉地学习,又要激发对计算 ※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ 例4?求l — im(11卜钮nB,(.,B是常数)x-.0sln【IX lim(1+tanBX)击(1+BX)去e丁. 参考文献 [1]同济大学应用数学系.高等数学(第五版上册).北京:高等教 一 62一 育出版社,2002 【2j四川大学数学系高等数学教研室,高等数学.北京:高等教育 出版社,1988 【3]华东师范大学数学系.数学分析(第二版上册).北京:高等教 育出版社.1991 [4】张芳.无穷小量在1型极限中的应用.高等数学研究,2005.5 (作者单位:1,河北省石家庄学院数学系;2,河北银行学校;) ##}