初中数学中考总复习

数学教师之家（浙教版） http://blog.cersp.com/userlog24/168151 2008年中考总复习 （ 初中数学 初中数学教师发展规划初中数学教师年度考核初中数学的教学计划初中数学有理数计算题初中几何辅助线秘籍 ） 衢江区峡川镇中心学校 胡荣进 目 录 第一章 实数与代数式 1.1 有理数 …………………………………………………………………………………… 4 1.2 实数 ……………………………………………………………………………………… 6 1.3 整式 ……………………………………………………………………………………… 8 1.4 因式分解………………………………………………………………………………… 10 1.5 分式……………………………………………………………………………………… 12 1.6 二次根式………………………………………………………………………………… 14 ● 单元 初级会计实务单元训练题天津单元检测卷六年级下册数学单元教学设计框架单元教学设计的基本步骤主题单元教学设计 综合 评价 LEC评价法下载LEC评价法下载评价量规免费下载学院评价表文档下载学院评价表文档下载 …………………………………………………………………………… 16 第二章 方程与不等式 2.1 一次方程（组）……………………………………………………………………………20 2.2 分式方程 …………………………………………………………………………………23 2.3 一元二次方程 ……………………………………………………………………………25 2.4 一元一次不等式（组） …………………………………………………………………28 2.5 方程与不等式的应用 ……………………………………………………………………30 ● 单元综合评价………………………………………………………………………………33 第三章 函数 3.1 平面直角坐标系与函数 …………………………………………………………………37 3.2 一次函数 …………………………………………………………………………………39 3.3 反比例函数 ……………………………………………………………………………… 3.4 二次函数 ………………………………………………………………………………… 3.5 函数的综合应用 ………………………………………………………………………… ● 单元综合评价……………………………………………………………………………… 第四章 图形的认识 4.1 简单空间图形的认识 …………………………………………………………………… 4.2 线段、角、相交线与平行线 …………………………………………………………… 4.3 三角形及全等三角形 …………………………………………………………………… 4.4 等腰三角形与直角三角形 ……………………………………………………………… 4.5 平行四边形 ……………………………………………………………………………… 4.6 矩形、菱形、正方形 …………………………………………………………………… 4.7 梯形 ……………………………………………………………………………………… ● 单元综合评价……………………………………………………………………………… 第五章 圆 5.1 圆的有关性质 …………………………………………………………………………… 5.2 与圆有关的位置关系 …………………………………………………………………… 5.3 圆中的有关计算 ………………………………………………………………………… 5.4 几何作图 ………………………………………………………………………………… ● 单元综合评价……………………………………………………………………………… 第六章 图形的变换 6.1 图形的轴对称 …………………………………………………………………………… 6.2 图形的平移与旋转 ……………………………………………………………………… 6.3 图形的相似 ……………………………………………………………………………… 6.4 图形与坐标 ……………………………………………………………………………… 6.5 锐角三角函数 …………………………………………………………………………… 6.6 锐角三角函数的应用 …………………………………………………………………… ● 单元综合评价……………………………………………………………………………… 第七章 统计与概率 7.1 数据的收集、整理与描述 ……………………………………………………………… 7.2 数据的分析 ……………………………………………………………………………… 7.3 概率 ……………………………………………………………………………………… ● 单元综合评价……………………………………………………………………………… 第八章 拓展性专题 8.1 数感与符号感 …………………………………………………………………………… 8.2 空间观念 ………………………………………………………………………………… 8.3 统计观念 ………………………………………………………………………………… 8.4 应用性问题 ……………………………………………………………………………… 8.5 推理与说理 ……………………………………………………………………………… 8.6 分类讨论问题 …………………………………………………………………………… 8.7 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 设计问题 …………………………………………………………………………… 8.8 探索性问题 ……………………………………………………………………………… 8.9 阅读理解问题 …………………………………………………………………………… 1.1 有理数 【教学目标】 1.理解有理数的有关概念，能用数轴上的点表示有理数，会求倒数、相反数、绝对值. 2.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算，会比较两个有理数的大小. 3.理解近似数和有效数字的概念，会将一个数表示成科学记数法的形式. 4.能运用有理数的运算解决简单的实际问题，会探索有规律性的计算问题. 【重点难点】 重点：有理数的加、减、乘、除、乘方运算及简单的混合运算. 难点：对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断. 【考点例解】 例1 （1）-5的绝对值是（ ） A. -5 B. 5 C. D. （2）2007年3月5日，温总理在《政府工作报告》中，讲述了六大民生新亮点，其中之一就是全部免除了西部地区和部分中部地区农村义务教育阶段约52000000名学生的学杂费. 这个数据保留两个有效数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. （3）2008年2月4日，我国遭受特大雪灾，部分城市的平均气温情况如下表（记温度零上为正，单位：℃），则其中当天平均气温最低的城市是（ ） 城市 杭州 福州 北京 哈尔滨 广州 平均气温 -4 0 -9.5 -17.5 8 A. 广州 B. 福州 C. 北京 D. 哈尔滨 分析：本题主要是考查学生对有理数相关概念的理解. 第（1）小题考查绝对值的意义；第（2）小题考查科学记数法；第（3）小题考查有理数的大小比较. 解答：（1）B； （2）B； （3）D. 例2 计算： . 分析：本题主要是考查有理数的乘方运算及有理数混合运算的顺序. 解答：原式 . 例3 观察表①，寻找规律，表②、表③、表④分别是从表①中截取的一部分，其中 、 、 的值分别是（ ） A. 20，29，30 B. 18，30，26 C. 18，20，26 D. 18，30，28 分析：本题主要考查有理数运算的简单应用. 表①中第一行中的数均为连续的自然数，而下面各行依次是第一行的2倍、3倍、4倍、…；表①中第一列中的数均为连续的自然数，依次从左往右各列的最大公约数分别是2、3、4、…. 解答：D. 【考题选粹】 1.（2007·宜宾）数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对（ ， ）进入其中时，会得到一个新的实数： .如把（3，-2）放入其中，会得到 . 现将实数对（-2，3）放入其中得到实数 ，再将实数对（ ，1）放入其中得到的数是 . 2.（2007·玉溪）小颖中午回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜3分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开7分钟；⑤用烧开的水煮面条和菜3分钟. 以上各道工序，除④外，一次只能进行一道工序，则小颖要将面条煮好，最少用 分钟. 【自我检测】 见《数学中考复习一课一练》. 1.2 实数 【教学目标】 1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会求非负数的算术平方根和实数的立方根. 2.了解无理数与实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应关系，能用有理数估计一个无理数的大致范围. 3.会用算术平方根的性质进行实数的简单四则运算，会用计算器进行近似计算. 【重点难点】 重点：用算术平方根的性质进行实数的简单四则运算. 难点：实数的分类及无理数的值的近似估计. 【考点例解】 例1 （1）下列实数： ， ， ， ，3.14159， ， ， 中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 （2）下列语句：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数. 其中正确的是（ ） A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.②④ 分析：本题主要是考查学生对无理数与实数概念的理解. 解答：（1）C； （2）C. 例2 计算： . 分析：本题主要是考查零指数幂、负指数幂及算术平方根的化简与运算. 解答：原式 . 例3 我国《劳动法》对劳动者的加班工资作出了明确规定：春节长假期间，前3天是法定休假日，用人单位应按照不低于劳动者本人日工资或小时工资的300%支付加班工资;后4天是休息日，用人单位应首先安排劳动者补休，不能安排补休的，按照不低于劳动者本人日工资或小时工资的200%支付加班工资. 小王由于工作需要，今年春节的初一、初二、初三共加班三天（春节长假从十二月卅日开始）. 如果小王的月平均工资为2800元，那么小王加班三天的加班工资应不低于 元. 分析：本题主要考查学生灵活应用实数运算的相关知识解决实际问题的能力.要注意的是今年的法定假期共有11天，因此日工资 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 的计算方法是： . 解答： （元）. 【考题选粹】 1.（2007·内江）若 ， 均为整数，且当 时，代数式 的值为0，则 的算术平方根为 . 2.（2007·嘉兴）计算： . 3.（2007·重庆）将正整数按如右图所示的规律排列 下去. 若用有序实数对（ ， ）表示第 排、 从左到右第 个数，如（4，3）表示实数9，则 （7，2）表示的实数是 . 【自我检测】 见《数学中考复习一课一练》. 1.3 整式 【教学目标】 1.了解整式的有关概念，理解去括号法则，能熟练进行整式的加减运算. 2.掌握正整数指数幂的运算性质，能在运算中灵活运用各种性质. 3.会进行简单的整式乘法运算和简单的多项式除法运算，了解两个乘法公式及其几何背景，能运用乘法公式进行简便. 4.会通过对问题的分析列出代数式，能熟练进行整式的化简与求值. 【重点难点】 重点：列代数式表示数量关系，整式的化简与求值. 难点：乘法公式的灵活运用. 【考点例解】 例1 （1）已知整式 与 是同类项，那么 ， 的值分别是（ ） A. 2，-1 B. 2，1 C. -2，-1 D. -2，1 （2）下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. （3）如果 ， ，那么代数式 的值是 . 分析：本题主要是考查同类项的概念和整式的加法、乘法和正整数指数幂的运算. 解答：（1）A； （2）C； （3）5. 例2 （1）王老板以每枝 元的单价买进玫瑰花100枝. 现以每枝比进价多两成的价格卖出70枝后，再以每枝比进价低 元的价格将余下的30枝玫瑰花全部卖出，则王老板的全部玫瑰花共卖了 元（用含 ， 的代数式表示）. （2）如图3-1所示，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案： ①第4个图案中有白色纸片 张；②第 个图案中有白色纸片 张. 分析：本题主要考查列代数式表示数量关系，第（1）题的关键是弄清前70枝玫瑰花的单价和后30枝的单价分别是多少；第（2）题的关键是要发现图案中的规律：第一个图形有4张白色纸片，以后每个图形都比前一个图形多3张白色纸片. 解答：（1） . （2）①13； ② . 例3 先化简，再求值： ，其中 . 分析：本题主要考查乘法公式的灵活应用及整式的化简求值.解答这一类题目时，一般应先将整式化简，然后再将字母的值代入计算. 解答：原式 . 当 时，原式 . 【考题选粹】 1.（2006·济宁） 能被下列数整除的是( ) A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 2.（2007·淄博）根据以下10个乘积，回答问题： ； ； ； ； ； ； ； ； ； . （1）试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程； （2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来； （3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论（不要求证明）. 【自我检测】 见《数学中考复习一课一练》. 1.4 因式分解 【教学目标】 1.理解因式分解的概念，了解因式分解与整式乘法之间的关系. 2.掌握因式分解的一般思考顺序，会运用提公因式法和公式法进行因式分解，会利用因式分解解决一些简单的实际问题. 【重点难点】 重点：运用提公因式法和公式法进行因式分解. 难点：利用因式分解解决一些简单的实际问题. 【考点例解】 例1 （1）在一次数学课堂练习中，小聪做了以下4道因式分解题，你认为小聪做得不够完整的一道题是（ ） A. B. C. D. . （2）因式分解 的结果是（ ） A. B. C. D. . 分析：本题主要是考查因式分解的概念和因式分解一般思考顺序，强调因式分解一定要分解到结果中的每个因式都不能再分解为止. 解答：（1）A； （2）B. 例2 利用因式分解说明： 能被120整除. 分析：要说明 能被120整除，关键是通过因式分解得到 含有因数120，可将 化为同底数形式，然后利用提公因式法分解因数. 解答：∵ ， ∴ 能被120整除. 例3 在日常生活中经常需要密码，如到银行取款、上网等. 有种用“因式分解”法产生的密码方便记忆，原理是：如对于多项式，因式分解的结果是 ，若取 ， ，则各因式的值分别是： ， ， ，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码. 同理，对于多项式 ，若取 ， ，则产生的密码是： （写出一个即可）. 分析：本题是因式分解的知识在实际生活中的简单应用. 解答时只需要先对多项式进行因式分解，再求各因式的值就可以了. 解答： ，当 ， 时，各因式的值分别是： ， ， ，所以密码可以为101030（也可以为103010或301010）. 【考题选粹】 1.（2006·南通）已知 ， ， ，其中 . （1）求证： ，并指出 与 的大小关系； （2）指出 与 的大小关系，并说明理由. 2.（2007·临安）已知 、 、 是 的三边，且满足 ，判断 的形状. 阅读下面的解题过程： 解：由 得 ， ① 即 ， ② ∴ ， ③ ∴ 是直角三角形. ④ 试问：以上解题过程是否正确？ . 若不正确，请指出错在哪一步？（填代号） ；错误原因是 ；本题的正确结论应该是 . 【自我检测】 见《数学中考复习一课一练》. 1.5 分式 【教学目标】 1.了解分式概念，会求分式有意义、无意义和分式值为0时，分式中所含字母的条件. 2.掌握分式的基本性质和分式的变号法则，能熟练地进行分式的通分和约分. 3.掌握分式的加、减、乘、除四则运算，能灵活地运用分式的四则运算法则进行分式的化简和求值. 【重点难点】 重点：分式的基本性质和分式的化简. 难点：分式的化简和通过分式的运算解决简单的实际问题. 【考点例解】 例1 （1）在函数 中，自变量 的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 . （2）若分式 的值为零，则 的值为 . （3）下列分式的变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 分析：本题主要考查分式的概念与分式的基本性质. 在分式中，要使分式有意义，分式的分母要不为零；要使分式值为0，则要求分子的值为0且分式有意义. 解答：（1）B； （2） ； （3）C. 例2 先化简： ，再选择一个恰当的 的值代入求值. 分析：本题主要考查分式的化简和分式有意义的条件. 在分式化简中，经常可以把分式的除法改为乘法，再利用“分解约分”法进行化简. 在本题中的 不能取0和±1. 解答：原式 ，当 时，原式＝3. 例3 （1）已知一个正分数 ，如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大减小？请证明你的结论；（2）若正分数 中分子和分母同时增加2，3，…， （整数 ＞0），情况如何？（3）请你用上面的结论解释下面的问题：建筑学规定，民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好. 问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由. 分析：本题考查了分式的大小比较，并要求利用有关知识解决实际问题. 解题的关键是理解题意，得到正确的结论. 解答：（1）正分数 中，若分子、分母同时增加1，分数的值增大，证明如下： ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 . （2）正分数 中分子和分母同时增加2，3，…， （整数 ＞0）时，分式的值也增大. （3）住宅的采光条件变好，理由略. 【考题选粹】 1.（2007·东营）小明在考试时看到一道这样的题目：“先化简 ，再求值.”小明代入某个数后求得值为3. 你能确定小明代入的是哪一个数吗?你认为他代入的这个数合适吗?为什么? 2.（2007·嘉兴）解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题. 例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”等等. （1）设 ， ，求 与 的值； （2）提出（1）的一个“逆向”问题，并解答这个问题. 【自我检测】 见《数学中考复习一课一练》. 1.6 二次根式 【教学目标】 1.了解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的条件. 2.了解二次根式的加、减、乘、除运算法则，会对简单的二次根式进行化简，会用二次根式的运算法则进行实数的简单四则运算. 【重点难点】 重点：二次根式的化简和用二次根式的运算法则进行实数的简单四则运算. 难点：二次根式的化简. 【考点例解】 例1 （1）若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. . （2）若 为实数，则下列各式中一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 分析：本题主要考查二次根式的概念，即在二次根式中，被开方数必须是非负数. 解答：（1）B； （2）B. 例2 （1）计算： . （2）比较大小： . 分析：本题主要考查二次根式性质的灵活应用和二次根式的混合运算. 第（1）题中，可先利用二次根式的性质进行化简，然后利用实数的运算法则进行计算；第（2）题要先逆用性质： ，再进行两个数的大小比较. 解答：（1）原式 . （2）∵ ， ，且 ， ∴ . 例3 已知 的三边 ， ， 满足 ，则 为（ ）. A. 等腰三角形 B. 正三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 分析：本题考查了二次根式的非负性，即：在二次根式 中， 且 . 解答：将原式变形，得 . 即 . ∴ ， ， . ∴ . ∴ 为等边三角形，故选B. 【考题选粹】 1.（2006·南充）已知 ，那么化简 的正确结果是（ ） A. B. C. D. 2.（2007·烟台）观察下列各式： ， ， ，…，请将你发现的规律用含自然数 的等式表示出来： . 【自我检测】 见《数学中考复习一课一练》. 第一单元综合测试（数与式） 班级 学号 姓名 得分 . 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 如果水库的水位高于标准水位3m时，记作+3m，那么低于标准水位2m时，应记作（ ） A. -2m B. -1m C. +1m D. +2m 2. 2007年我国某省国税系统完成税收收入为3.45065×1011元，也就是收入了（ ） A. 345.065亿元 B. 3450.65亿元 C. 34506.5亿元 D. 345065亿元 3. 若整式 是一个完全平方式，那么 的值是（ ） A. -5 B. 7 C. -1 D. 7或 -1 4. 估计 的大小应在( ) A. 9.1～9.2之间 B. 9.2～9.3之间 C. 9.3～9.4之间 D. 9.4～9.5 5. 如图1，点 ， 在数轴上对应的实数分别是 ， ，那么 ， 两点间的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算中，错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，5小时后细胞存活的个数是（ ） A. 31个 B. 33个 C.35个 D.37个 8. 如果代数式 的值为9，则代数式 的值为（ ） A. 7 B. 9 C. 12 D. 18 9. 如图2，图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10.已知 ， 是两个连续自然数（ ＜ ），且 ，设 ，那么 的值是（ ） A.奇数 B.偶数 C.奇数或偶数 D.有理数或无理数 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11.写出一个小于2的无理数： . 12.列代数式表示：“数 的2倍与10的和的二分之一”应为 . 13.已知 ，且 ，则当 时，代数式 的值为 . 14.一个矩形的面积是 米2，它的一条边为 米，那么它的另一边为 米. 15.数学家发现一个魔术盒，当任意实数对 进入时，会得到一个新的实数： .例如把（3，-2）放入其中后，就会得到32+（-2）+1=8. 现将实数对（-2，3）放入其中得到实数 ，再将实数对 放入其中后，得到的实数是 . 16.如果2007个整数 , ,…, 满足下列条件： , ， ，…， ，则 . 三、解答题（本题有7小题，共80分） 17.（10分）计算： . 18.（10分）先化简代数式： ，然后选择一个使原式有意义的 ， 值代入求值. 19.（10分）观察下面一列数，探求其中的规律： ， ， ， ， ， ， ， ， ，… （1）请在上面的横线上填出第7，8，9个数； （2）第2008个数是什么？第 个数是什么？如果这一列数无限地排列下去，那么与哪个数越来越接近？ 20.（10分）分解因式： （1） （2） 21.（12分）2007年4月18日是全国铁路第六次大提速的第一天. 这一天，小明爸爸因要出差，于是他到火车站查询列车的开行时间，下表是他从火车站带回家的最新时刻表： 2007年4月18日起××次列车时刻表 始发站 发车时间 终点站 到站时间 A站 上午8:20 B站 次日12:20 小明爸爸找出了以前同一车次的时刻表如下： 2006年3月20日××次列车时刻表 始发站 发车时间 终点站 到站时间 A站 下午14:30 B站 第三日8:30 比较了两张时刻表后，小明爸爸提出了下面两个问题，请你帮小明解答： （1）现在该次列车的运行时间比以前缩短了多少小时？ （2）如果该次列车提速后的平均时速为200千米/小时，那么该次列车原来的平均时速为多少？（结果精确到个位） 22.（14分）下面的图(1)是由边长为 的正方形剪去一个边长为 的小正方形后余下的图形.把图(1)剪开后,再拼成一个四边形,可以用来验证公式： . （1）请你通过对图(1)的剪拼,画出三种不同拼法的示意图. 要求：①拼成的图形是四边形； ②在图(1)上画出剪裁线(用虚线表示)； ③在拼出的图形上标出已知的边长. （2）选择其中的一种拼法写出验证上述公式的过程. 23.（14分）设 ， ,…, （ ≥ 0的自然数）. （1）探究： 是8的倍数吗？请说明理由，并用文字语言表述你所获得的结论； （2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”. 试找出 ， ，…， ，…，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并求：当 满足什么条件时， 为完全平方数？ 2.1 一次方程（组） 【教学目标】 1.理解方程、方程组，以及方程和方程组的解的概念. 2.掌握解一元一次方程和二元一次方程组的一般步骤与方法，体会“消元”的数学思想，会求二元一次方程的正整数解. 3.能根据实际问题中的数量关系，列出一元一次方程或二元一次方程组来解决简单的实际问题，并能检验解的合理性. 【重点难点】 重点：解一元一次方程和二元一次方程组的一般步骤与方法. 难点：根据实际问题中的数量关系，列出一元一次方程或二元一次方程组. 【考点例解】 例1 （1）若关于 的一元一次方程 的解是 ，则 的值是（ ） A. B. 1 C. D. 0. （2）若二元一次方程组 的解为 ，则 的值为（ ） A. 1 B. 3 C. -1 D. -3 分析：本题主要考查方程和方程组的概念，以及一元一次方程和二元一次方程组的解法. 解答：（1）B； （2）C. 例2 已知方程组 的解是 ，则方程组 的解是 . 分析：本题主要考查一元一次方程或二元一次方程组的解法和整体代换的思想. 在解答时，既可以直接求方程组的解，也可以利用整体思想，分别把 和 “看作” 和 ，通过解一元一次方程来解决. 解答： . 例3 陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向总务处王老师交帐时说：“我买了两种书，共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还剩余418元.…”王老师算了一下说：“你肯定搞错了”. （1）王老师为什么说陈老师搞错了呢？请你用方程的知识给予解释. （2）陈老师连忙拿出购物发票进行核对，发现自己的确是弄错了，因为他还买了一个笔记本. 但笔记本的单价已经模糊不清了，只能辨认出应该是小于10元的整数. 问：笔记本的单价可能是多少元？ 分析：本题考查了列一元一次方程解应用题. 列方程（组）解应用题的一般步骤是：审题、设元、列方程、解方程、检验和作答. 在检验时，不仅要检验所求得的结果是否是所列方程的解，而且还要检验方程的解是否符合实际问题. 解答：（1）设单价为8元的书买了 本，则单价为12元的书买了 本.由题意得 . 解这个方程，得 . 因为书的本数一定是正整数，所以 （本）不合题意，因此陈老师错了. （2）设笔记本的单价为 元，则由题意得 . 解这个关于 的方程，得 . ∵ ， ∴ ， 解得 . 又∵ 为正整数， ∴ 可以取45、46. 当 时， （元）； 当 时， （元）. 答：笔记本的单价可能是2元或6元. 例4 新星学校的一间阶梯教室内，第1排的座位数为 ，从第2排开始，每一排都比前一排增加 个座位. （1）请你在下表的空格内填写一个适当的代数式： 第1排的座位数 第2排的座位数 第3排的座位数 第4排的座位数 … … （2）已知第4排有18个座位，第15排的座位数是第5排的座位数的2倍，则第21排有多少个座位？ 分析：本题考查了列二元一次方程组解应用题. 解答本题的关键是会从表中数据的变化中寻找出一定的规律，再利用规律求出 和 的值. 解答：（1） . （2）根据题意，得 ，解得 . ∴ . 答：第21排有52个座位. 【考题选粹】 1.（2007·济宁）甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后立即下山，在山脚和山顶之间不断往返运动，已知山坡长为360m，甲、乙两人上山的速度比是6:4，并且甲、乙两人下山的速度都是各自上山速度的1.5倍，当甲第三次到达山顶时，则此时乙所在的位置是 . 2.（2007·北京）某地区为了改善生态环境，增加农民收入，自2004年起就鼓励农民在荒山上广泛种植某种果树，并且出台了一项激励措施：即在开荒种树的过程中，每一年新增果树达到100棵的农户，当年都可得到生活补贴1200元，且每超出一棵，政府还给予每棵 元的奖励. 另外，种植的果树，从下一年起，每年每棵平均将有 元的果实收入. 下表是某农户在头两年通过开荒种树每年获得的总收入情况： 年份 新增果树的棵数 年总收入 2004年 130棵 1500元 2005年 150棵 4300元 （注：年总收入＝生活补贴费＋政府奖励费＋果实收入） 【自我检测】 见《数学中考复习一课一练》. 2.2 分式方程 【教学目标】 1.了解分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示出来. 2.会解可化为一元一次方程（或一元二次方程）的分式方程，体验转化的数学思想；了解增根的概念，会进行分式方程的验根. 3.能根据实际问题中的数量关系，列出分式方程来解决简单的实际问题，并能检验解的合理性. 【重点难点】 重点：解可化为一元一次方程（或一元二次方程）的分式方程的一般步骤与方法. 难点：根据实际问题中的数量关系，列出分式方程，并检验解的合理性. 【考点例解】 例1 如果关于 的分式方程 无解，那么 的值是（ ） A. 1 B. -1 C. 3 D. -3. 分析：本题主要考查分式方程的增根概念. 需要注意的是：分式方程的增根应该满足变形后的整式方程，但不满足原分式方程. 解答：A. 例2 解分式方程： . 分析：本题主要考查分式方程的解法. 在解答时，应按照解分式方程的一般步骤进行，并注意验根. 解答：去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 方程两边同时除以2，得 经检验， 是原方程的解. 例3 某公司投资某个项目，现有甲、乙两个工程队有能力承包这个项目. 公司经调查发现：乙工程队单独完成工程所需的时间是甲工程队单独完成工程所需时间的2倍，；甲、乙两队合作完成工程需要20天，甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为550元. 根据以上信息，从节约资金的角度考虑，该公司应选择哪个工程队来承包这个项目？公司应付出的费用为多少元？ 分析：本题考查了列分式方程解应用题. 解答本题的关键是根据题意求出甲、乙两队单独完成工程所需的时间，进而求出各自的总费用. 解答：设甲队单独完成工程需要 天，则乙队单独完成工程需要 天. 根据题意，得 解得 经检验， 是原方程的解，且 和 都符合题意. ∴ 应付甲工程队的费用为： （元）， 应付乙工程队的费用为： （元）. ∵ ， ∴ 该公司应选择甲工程队，需付出的总费用为30000元. 答：该公司应选择甲工程队，需付出的总费用为30000元. 【考题选粹】 1.（2007·青岛）某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400米的道路. 为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务. 若设原计划每小时修路 米，则根据题意可得方程 . 2.（2007·怀化）解方程： . 【自我检测】 见《数学中考复习一课一练》. 2.3 一元二次方程 【教学目标】 1.理解一元二次方程的概念和一般形式，能把一个一元二次方程化为一般形式. 2.理解配方法，会用因式分解法、直接开平方法和公式法解简单的一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式. 3.能用一元二次方程解决实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性. 【重点难点】 重点：用因式分解法、直接开平方法和公式法解简单的一元二次方程. 难点：配方法，列一元二次方程解决实际问题，并检验解的合理性. 【考点例解】 例1 （1）下列方程中，肯定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. （2）已知 是一元二次方程 的一个解，则 的值是（ ） A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 0或-1. （3）一元二次方程 的根的情况是（ ） A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 分析：本题主要考查一元二次方程的有关概念和性质，其中第（1）小题考查一元二次方程的概念，第（2）小题考查一元二次方程的解的意义，第（3）小题考查一元二次方程的根的判别式. 在一元二次方程 中，当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根. 解答：（1）D； （2）A； （3）A. 例2 解下列方程： （1） ； （2） . 分析：本题主要考查一元二次方程的解法，其中第（1）小题可选用因式分解法，第（2）小题应该选用公式法. 解答：（1）原方程可化为： 将方程左边因式分解，得 ∴ 或 由 得 ∴ 原方程的解是 ， . （2）这里 ， ， ∴ ∴ ∴ ， . 例3 某商场将进价为30元的台灯以40元的价格出售，平均每月能销售600个. 调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10台. 如果该商场想实现每月10000元的销售利润，那么这种台灯的售价应定为多少元？这时商场应进台灯多少台？ 分析：本题考查了列一元二次方程解应用题. 在降价销售问题中，利润＝（现售价－进价）×[原销量＋（原售价－现售价）/单位涨价×变化销量]. 解答：设这种台灯的售价为 元，则现在的销量为（ ）台. 根据题意，得 整理，得 解得 ， . 答：这种台灯的售价应定为50元或80元. 当售价定为50元时，应进500台；当售价定为80元时，应进200台. 【考题选粹】 1.（2007·巴中）三角形的一边长为10，另两边长是方程 的两个实数根，那么这个三角形是 三角形. 2.（2007·绵阳）已知 ， 是关于 的方程 的两实根. （1）试求 ， 的值（用含 ， 的代数式表示）； （2）若 ， 是某直角三角形的两直角边的长，问：当实数 ， 满足什么条件时，这个直角三角形的面积最大？并求出其最大值. 【自我检测】 见《数学中考复习一课一练》. 2.4 一元一次不等式（组） 【教学目标】 1.了解不等式和一元一次不等式（组）的概念，掌握不等式的基本性质. 2.了解一元一次不等式（组）的解和解集的概念，理解它们与方程的解的区别，会在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集. 3.掌握解一元一次不等式（组）的一般方法和步骤，能熟练地解一元一次不等式（组），会用口诀或数轴确定一元一次不等式组的解集. 4.能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式或一元一次不等式组解决简单的实际问题，能确定一元一次不等式（组）的整数解. 【重点难点】 重点：一元一次不等式（组）的解法，列一元一次不等式（组）解应用题. 难点：列一元一次不等式（组）解应用题，确定一元一次不等式（组）的整数解. 【考点例解】 例1 解下列不等式（组），并将其解集表示在数轴上： （1） ； （2） 分析：本题主要考查一元一次不等式（组）的解法及解集在数轴上的表示. 一元一次不等式的解法类似于一元一次方程的解法；解一元一次不等式组时，应先求出不等式组中每个不等式的解，再利用口诀或数轴来确定不等式组的解集. 口诀为“大大取大，小小取小，大小小大连起写，大大小小题无解”. 解答：（1）略解： ，其解集在数轴上表示如下图①所示. （2）解不等式 ，得 ； 解不等式 ，得 . ∴ 原不等式的解集是 ，其在数轴上表示如下图②所示. 例2 “全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨. 现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装运4吨枇杷和1吨桃子，一辆乙种货车可装运枇杷和桃子各2吨. （1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地将全部水果运往销售地？有几种方案？ （2）若甲种货车每辆要付运费300元，乙种货车每辆要付运费240元，则王灿应选择哪种运输方案，才能使运费最省？最少运费是多少？ 分析：本题主要考查根据题中的数量关系列不等式组和不等式组的整数解，解答的关键是确定甲种货车的数量，然后进行分类讨论，最后可利用函数性质求最值. 解答：（1）设王灿安排甲种货车 辆，则安排了乙种货车（8－ ）辆，根据题意，得 解这个不等式组，得 . ∵ 是整数， ∴ 可以取2，3，4. ∴ 王灿有以下三种安排货车的方案：①甲种货车2辆，乙种货车6辆；②甲种货车3辆，乙种货车5辆；③甲种货车4辆，乙种货车4辆. （2）设安排 辆甲种货车时，需运费 元，根据题意，得 即 . 因为 是 的一次函数，且 随着 的增大而增大，所以当 （辆）时， 取到最小值，且 （元）. 【考题选粹】 1.（2007·德州）不等式组 的整数解是 . 2.（2006·青岛）“五一”期间，某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金为每辆320元，60座客车的租金为每辆460元. （1）若学校单独租用这两种车辆，各需要多少租金？ （2）若学校同时租用这两种客车共8辆，且租金比单独租用一种车辆要省，请你帮助设计一种最节省租金的租车方案. 【自我检测】 见《数学中考复习一课一练》. 2.5 方程与不等式的应用 【教学目标】 1.掌握一些基本问题中的数量关系和等量关系，能借助图表寻找数量关系和等量关系. 2.了解列不等式解应用师的特征，能准确列出不等式，会用不等式的整数解解决简单的实际问题. 3.能解决与方程（组）、不等式（组）和一次函数有关的实际问题. 【重点难点】 重点：列方程（组）或不等式（组）解决实际问题. 难点：综合运用方程、不等式和一次函数的有关知识解决实际问题. 【考点例解】 例1 某地区原有可退耕还林面积63.68万亩，从2000年开始执行国家退耕还林政策，当年就退耕还林8万亩，此后退耕还林的面积逐年增加，到2002年底共退耕还林29.12万亩. （1）求2001年、2002年退耕还林面积的平均增长率； （2）该地区从2003年起加大退耕还林的力度. 设2003年退耕还林的面积为 万亩，退耕还林面积的增长率为 ，试写出 与 的函数关系式，并求出当 不小于14.4万亩时 的取值范围. 分析：本题主要考查列一元二次方程解应用题、根据数量关系写函数关系式及一元一次不等式组的解法. 解答的结果一定要符合问题的实际意义. 解答：（1）设平均增长率为 ，根据题意，得 整理，得 解得 ， （不合题意，舍去） ∴ 答：2001年、2002年退耕还林面积的平均增长率为20%. （2）根据题意，得 ，即 . 当 （万亩）时，有 ， 解这个不等式组，得 . 例2 2007年某县筹备20周年庆典，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A，B两种园艺造型共50个. 已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆；搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆. （1）某校九年级（1）班的课外数学兴趣小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计工作，问：符合题意的搭配方案有哪几种？请你帮助设计出来； （2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明第（1）小题中哪种方案的成本最低？最低成本是多少元？ 分析：本题综合考查了不等式（组）和一次函数的有关知识. 解题时要先利用不等式组的整数解确定两种造型的数量，再利用一次函数的增减性得出最佳方案. 解答：（1）设搭配A种造型 个，则搭配了B种造型（50－ ）个，根据题意，得 解这个不等式组，得 . ∵ 是整数， ∴ 可以取31，32，33. ∴ 可设计三种搭配方案：①A种造型31个，B种造型19个；②A种造型32个，B种造型18个；③A种造型33个，B种造型17个. （2）设搭配A种造型 个时，需成本 元，根据题意，得 即 . 因为 是 的一次函数，且 随着 的增大而减小，所以当 （个）时，造型的总成本最低，且 （元）. 【考题选粹】 1.（2007·福州）李晖到“宇泉牌”服装专卖店做社会调查. 了解到商店为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资＋计件奖金”的方法，并获得如下信息： 营业员 小俐 小花 月销售件数（件） 200 150 月总收入（元） 1400 1250 假设月销售件数为 件，月总收入为 元，销售每件奖励 元，营业员月基本工资为 元. （1）求 ， 的值； （2）若营业员小俐的月总收入不低于1800元，那么小俐当月至少要卖服装多少件？