2011概率论与数理统计习题解答8

1 《概率论与数理统计》习题解答 8 (假设检验) 1. 请写出下列问题的原假设与备择假设。 (1) 机床厂某日从两台及其所加工的同一种零件中，分别抽取 1 220, 25n n  的两个样本。 设两总体的均值分别为 1 2,  ，方差分别为 2 2 1 2,  。问两台机床的加工精度是否相 同？ (2) 某青年以往的记录是：平均每加工 100 个零件，有 60 件是一等品。今年考核他，在他 加工的零件中随机抽取 100件，发现有 70件是一等品。设 p 表示一等品的概率。问今 年这个成绩是否证明该青年的技术水平有了显著提高？ (3) 某药厂研制出一种新型安眠药，据说在一定剂量下与一般的安眠葯相比，可以延长睡眠 时间。为验证这一说法，现随机抽取 10 个失眠患者，让他们分别服用这种新型安眠葯 和一般的安眠葯，并记录下他们服用相应药物之后的睡眠时间。现将服用新型安眠葯与 一般安眠葯后的睡眠时间分别记为 1 2,  。问这种新型安眠葯是否可以延长睡眠时 间？ 答：(1) 2 2 2 20 1 2 1 1 2: . . :H v s H     . (通常用方差衡量精度) (2) 0 1: 0.60 . . : 0.60H p v s H p  . (3) 0 1 2 1 1 2: . . :H v s H     . 针对实际问题建立原假设与备择假设，需要注意： 1． 原假设与备择假设的地位不同。一般而言，应将需要用充分证据支持的假设作为备择假 设，而将其对立面作为原假设。因为统计学中给出的假设检验方法，将拒绝原假设而犯 第一类错误的概率控制在显著性水平之下，但是，一般不控制、也不指出接受原假设而 犯第二类错误的概率。如果根据样本数据拒绝了原假设，那么往往可以认为有充分的证 据支持备择假设（犯错误的“可能性”不超过显著性水平）；反之，接受原假设只是表 明没有充分证据否定原假设，不说明有充分证据支持原假设（因为此时犯错误的“可能 性”究竟多大不清楚）。 2． 为方便数学处理，等号一般放在原假设中。 2. 设 ~ ( ,1)X N  。 1 10, ,x x 是来自 X 的 10个观察值。要检验 0 1: 0 . . : 0H v s H   。 (1) 以 X 为检验统计量，请写出拒绝域的形式。 (2) 在 0.05  的水平下，检验的临界值应为多少？若已知 1X  ，是否可以据此样本 推断 0  ？ 2 (3) 若在 1 0.05  和 2 0.10  两个显著性水平下均拒绝原假设。那么在哪个显著性水 平下作出该判断的把握更大？ (4) 如果以 {| | 1.15}R X  作为该检验的拒绝域，求犯第 I类错误的概率。 解： (1) 因为 越大 X 大的概率大，越小 X 小的概率大，故拒绝域的形式为： 1 10{( , , ) : | | }x x X c 。 (2) 因为 2~ ( , 10)X N   ，(1)中检验规则的势函数为      ( ) 2 10( ) 10( )g P X c or X c c c           ， 犯第一类错误的概率为 (0) 2 2 ( 10 )g c   ， 犯第二类错误的概率为 1 ( ) ( 10( )) ( 10( )) 1, 0g c c           。 水平为  的检验规则对应的临界值 c 应满足 (0)g  ，即 ( 10 ) 1 2c    。 (1) 要使犯第二类错误的概率最小，还应满足：对 0  ，最小化 ( 10( )) ( 10( ))c c     。 (2) 因为对  ，(2) 式关于 c单调增，故应取使 (1) 成立的最小的 c作为临界值。因此， 1 2 1 10 c z  。 若取 0.05  ，则临界值 0.975 1 0.6198 10 c z  。 若 1X  ，则因 | | 0.6198X  拒绝原假设。即认为 0  。 (3) 在较小显著性水平下作出拒绝原假设的判断，犯第 I 类错误的概率更小，因此在显著性 水平为 1 0.05  时拒绝原假设更可靠。 (4) 若以 {| | 1.15}R X  作为拒绝域，犯第 I类错误的概率为 2 2 ( 10 1.15) 0.000296    。 3 3. 设 1, , nX X i.i.d. ( ,1)N  ，考虑如下假设检验问题 0 1: 2 . . : 3H v s H   。 取检验的拒绝域为{ 2.6}X  。 (1) 当 20n  时，求犯第二类错误的概率； (2) 如果要使犯第二类错误的概率 0.01  ，n 最小应取多少？ (3) 证明：当 n时， 0, 0   。 解： (1) 犯第二类错误的概率为  3( 2.6) 20(2.6 3) ( 1.7889) 0.03682P X       。 (2) 要使犯第二类错误的概率 0.01  ，即  3( 2.6) (2.6 3) ( 0.4 ) 0.01P X n n       ， 则 2 2 0.01 2.3264 33.83 0.4 0.4 z n             。故 n最小应取 34。 (3) 2 3 ( 2.6) 1 ( (2.6 2)) 1 (0.6 ) 0 ( ) ( 2.6) ( 0.4 ) 0 ( ) P X n n n P X n n                      4. 假定总体服从 2( , )N   ，其中 2 已知。X 是容量为 n 的简单随机样本的样本均值， 取显著性水平为 ，检验 0 0 1 1 0: . . : ( )H v s H       。检验规则为： 当 0X k  时拒绝 0H 。 (1) 证明：该检验法犯第 II 类错误的概率为： 1 1 0 0( ) / P X k U n                  ， 也即 2 2 2 1 0 ( ) ( ) n U U        ； (2) 若 n 固定，当  减小时  怎样变化？ (3) 若 n 固定，当  减小时  怎样变化？并写出 1 00.12, 0.02, 0.05, 0.025          时，样本容量 n至少等于多少？ 解： 4 (1) 因为 2~ ( , )X N n  ，为使该规则的显著性水平为 ，则 k 应满足 0 0 ( ) 1 ( ) / k P X k n          ， 即 k U n    。再根据定义就可证得犯第 II类错误的概率、及 n 的公式。 (2) 若 n 固定，当  减小时，U 增大，故  增大。 (3) 若 n 固定，当  减小时，U 减小，故  增大。参数如题中所定时，   22 2 2 2 1 0 0.12 (1.64 1.96) 467 ( ) 0.02 n U U                。 5. 设 1 2, , , nX X X 是来自 Poi( )， 0  的简单随机样本。现欲检验 0 0 1 0: . . :H v s H     ， 其中 0 是给定的正数。 (1) 请以样本均值 X 为检验统计量，构造出水平为 的检验规则，并尽量最小化犯第 II 类错误的概率。 (2) 设 012, 0.5n   。若以 12 1 12 1 {( , , ) : 2}iix x x  为拒绝域，犯第 I 类错误的概率 是多少？当 1 3  时，犯第 II类错误的概率是多少？ 解： (1) 直观地，检验规则应为：当 X c 时拒绝 0H 。由 ~ Poi( )T nX n 可知，该规则 的势函数为 0 ( ) ( ) ( ) ! tnc n c t n g P T nc e t          。 要使该规则的水平为  ，则 c应满足 000 0 ( ) ( ) ! tnc n c t n g e t      ，若同时还要最小 化犯第 II类错误的概率，则 nc应为满足上式的最大整数。 (2) 0 0 2 120 0 (12 ) ( 2) 0.06197 ! t t P T e t           ， 2 12 3 1 3 0 (12 3) 1 ( 2) 1 0.7619 ! t t P T e t           。 5 8. (第 6题同理.) 设 1 2, , , nX X X 是来自均匀分布{ (0, ) : 0}U    的简单随机样本。对 于假设检验问题 0 1: 3 . . : 3H v s H   ，采用形为 ( ){ }nX c 的拒绝域，其中 ( )nX 为最 大次序统计量。 (1) 要使该检验规则的水平为  ，上述拒绝域中的临界值 c应取什么值？ (2) 若要使 ( ){ 2.99}nX  成为水平为 的拒绝域，那么 n 至少应多大？ 解： (1) 以 ( ){ }nX c 为拒绝域，势函数为 ( ) ( )( ) ( ) 1 ( ) 1 n c n n c g P X c P X c               ， 要使该规则的水平为  ，则 c 应满足 3 max ( ) ( )c cg g        ，易得 1 3(1 )nc   。 若同时还要使犯第 II类错误的概率尽量小，则取 1 3(1 )nc   。 (2) ( ){ 2.99}nX  要成为水平为 0.05  的拒绝域，则应有 3 ( ) 2.99 ( 2.99) 1 3 n nP X           ， 即 log(1 ) 15.36 log(2.99 / 3) n    。 7. 解： 因为 1 ~ ( , ) n ii X B n p  ，故该规则犯第 I类错误的概率为 1 0 ( ) ( ) 1 (1 ) , 0.01 n c k n k p i i k n g p P X c p p p k                 ， 由提示即可知， ( )g p 关于 p 单调增。因此，当 0.01p  时犯第 I 类错误的概率达到 最大。 9. 正确命题为 (3), (5), (7)。 6 10. 某厂生产的钢筋断裂强度 2 2~ ( , ), 35 ( / )X N kg cm    。今从现在生产的一批钢 筋中抽测 9个样品，测得的平均值 X 较以往的均值 0 大了 217 ( / )kg cm 。设总体方差不 变，问能否认为这批钢筋的强度有明显提高？取 0.05  。 解： 该问题可以通过检验 0 0 1 0: . . :H v s H     来回答。总体分布为正态，方差已 知，故应该采用 Z 检验法。水平为  检验规则为：当 0 1 / X Z z n        时，拒绝 0H 。 由样本观测数据算得 17 1.457 35/ 9 Z   ， 0.95 1.64z  。因 0.95Z z ，故当水平为 0.05时不能拒绝原假设，即没有充分证据表明这批钢筋的强度有明显提高。 11. 解： 可以从均值、方差两个角度来考察该仪器的测量结果是否符合要求。先检验均值是否符 合要求，检验问题为 0 0 1 0: . . :H v s H     。 显然，该仪器测量值的方差未知。假定其测量值的总体服从正态分布，那么应该用 t检验法。 检验统计量为 0 / X T S n   ，水平为  检验规则为：当 1 2| | ( 1)T t n  时，拒绝 0H 。 由样本观测数据算得 61.1 56 1.63 20 / 41 T    ， 0.975 (40) 2.021t  。因 0.975| | (40)T t ， 故当水平为 0.05时不能拒绝原假设，可认为该仪器的均值符合要求。 再检验方差是否符合要求，检验问题为 2 2 2 2 0 0 1 0: . . :H v s H     。 应该用 2 检验法。检验统计量为 2 2 20( 1)n S   ，水平为  检验规则为：当 2 2 2 2 1 2 2( 1) ( 1)n or n        时，拒绝 0H 。 由样本观测数据算得 2 2 2 2 20.025 0.97540 20 / 20 40 ( (40), (40))      ，故当水平为 0.05时不能拒绝原假设，可认为该仪器的方差也符合要求。 7 12. 某化工厂生产的一种产品的含硫量在正常情形时服从 2(4.55, )N  。为了解设备维修后 产品含硫量的均值 是否改变，测试了 5个产品，测得它们的含硫量为 4.28, 4.40, 4.42, 4.35, 4.37。在下列两种情形下分别检验 0 1: 4.55 . . : 4.55H v s H   。假定方差不变。 取 0.05  。 (1) 2 0.01  ； (2) 2 未知。 解： (1) 方差已知时应采用 Z检验法，检验统计量为 4.55 / X Z n   。显著性水平为  的检验 规则为：当 1 2| |Z z  时，拒绝 0H 。因 4.364 4.55 4.16 0.01 5 Z     ， 0.975 1.96z  ， 0.975| |Z z ，故当水平为 0.05时拒绝 0H ，认为维修后产品含硫量的均值有显著变化。 (2) 2 未知时应采用 t检验法，检验统计量为 4.55 / X T S n   。显著性水平为  的检验规 则为：当 1 2| | ( 1)T t n  时，拒绝 0H 。因 4.364 4.55 7.68 0.00293 5 T     ， 0.975 (5 1) 2.776t   ， 0.975| | (4)T t ，故当水平为 0.05时拒绝 0H ，认为维修后产品含 硫量的均值有显著变化。 13. 欲确定是否可以通过某种特殊的训练增加智商，对 25 名儿童进行调查，记录了他们参 加训练前后的智商，并计算它们的差。发现 25 名儿童的智商平均增加了 3 点，标准差是 9 点。设智商差服从正态分布。在 0.05  水平下检验“智商无增加”这个假设。 解：假定儿童在参加训练前后的智商差服从 2( , )N   ，参加训练的 25名儿童相当于一个 随机样本。需检验的是 0 1: 0 . . : 0H v s H   。因总体方法未知，应采用 t 检验 法，显著性水平为  的检验规则为： 当 0 ( 1) / X T t n S n      时拒绝 0H 。 由样本数据算得 3 0 1.667 9 / 25 T    < 0.95 (24) 1.711t  。故在 0.05水平下不能拒绝 原假设。这表明，没有充分证据说明智商在训练后增加了。 8 14．在显著性水平 0.05  下对 0 1: 80 . . : 80H v s H   进行 t-检验。 (1) 要求在 1H 中 1 80     时，犯第二类错误的概率 0.01  。所需样本容量 n 是多少？ (2) 若样本容量 33n  。问在 1H 中 1 80     时，犯第二类错误的概率是多少？ 解： 对该问题水平为 0.05 的 t-检验规则是：当 0.95 80 ( 1) / X T t n S n     时，拒绝 0H 。 当 1  时，犯第二类错误的概率为 1 0 . 9 5 80 ( ( 1)) / X P t n S n     . 该概率的计算涉及到非中心 t分布，超出课程要求。 15. 假定香烟中焦油的含量(单位：毫克)服从 (10,2.4)N 。现开发了一种新的香烟制造技术 以减少焦油的含量。随机抽取 16 根利用新技术生产的香烟，得平均焦油含量为 8.8mg。给 定 0.05  。 (1) 试利用以下要点，制定一假设检验以检验新技术是否明显地减少了焦油含量。 原假设 备择假设 拒绝域 检验统计量和计算 用统计语言给出结论 用简单直观 的语言给出结论 (2) 基于你的结论，你是可能犯第一类错误？还是可能犯第二类错误？还是两类错误都 没犯？还是同时可能犯两类错误？ 解： (1) 假定新技术生产的香烟中焦油的含量服从 ( ,2.4)N  。 原假设 0 : 10H   备择假设 1 : 10H   检验统计量 10 2.4 /16 X Z   显著性水平为  时的拒绝域 { }Z z 根据样本数据算得： 8.8 10 3.098 2.4 /16 Z     。又 0.05 1.64z Z   。 用统计语言给出的结论：在水平 0.05时拒绝原假设。 对实际问题的结论：新技术明显地减少了香烟中焦油的含量。 (2) 上述结论可能会犯第一类错误，但不可能犯第二类错误。 9 16. 过去几年，都市的某大医院对孕妇预产期进行预测，效果相当差。医生参加了一项在 职培训 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 以提高技术，以改进她们的预测效果。在最近一次调查中，随机选取了 100 名母亲，他们都是在培训计划之后在这家医院分娩的。由样本数据得，超过预测的预产 期的平均天数为 9.2 天，标准差为 12.4 天。如果在培训前，超过预产期的平均天数是 13 天，那么在显著性水平为 0.05时，是否有充分的证据表明平均天数减少了？ 解： 假定医生培训后对预产期的预测误差(实际分娩日－预测分娩日) 服从 2( , )N   ， 对 100名孕妇的预测误差相当于来自该总体的一个随机样本。题中实际问题可通过检验 0 1: 13 . . : 13H v s H   来回答。方差未知，应采用 t 检验法，水平为 0.05 的规 则是： 当 0.05 13 ( 1) / X T t n S n     时，拒绝 0H 。 由样本数据知， 100, 9.2, 12.4n X S   ，故 3.065T   ，而 0.05(99) 1.66t   ， 因此在显著性水平为 0.05时拒绝 0H ，即认为有充分证据表明平均预测误差减少了。 18. 解： 设经常锻炼的男生身高服从 21( , )xN   ，不经常锻炼的男生身高服从 2 2( , )yN   。 该实际问题可由检验 0 1: . . :x y x yH v s H     回答。检验统计量为 2 2 1 2 1 2 X Y Z n n      ， 显著性水平为  时的检验规则为：当 1Z z  时拒绝 0H 。 由样本数据知， 2 2 174.34 172.42 1.67 5.35 50 6.11 50 Z     ，而 0.95 1.64z  ，故在 0.05水 平下拒绝原假设，认为经常锻炼的男生平均身高显著地高于不常锻炼的男生。 19．下表分别给出马克·吐温的 8篇小品文以及斯诺特格拉斯的 10篇小品文中由 3个字母组 成的词的比例。 马克·吐温 0.225 0.262 0.217 0.240 0.230 0.229 0.235 0.217 斯诺特格拉斯 0.209 0.205 0.196 0.210 0.202 0.207 0.224 0.223 0.220 0.201 设两组数据分别来自正态总体，且两总体方差相等。两样本相互独立。问两个作家所写的小 品文中包含由 3个字母组成的词的比例是否有显著的差异。取 0.05  。 10 解： 设马克·吐温各篇文章中由 3个字母组成的词的比例服从 21( , )N   ，斯诺特格拉斯各 篇文章中由 3个字母组成的词的比例服从 22( , )N   。欲检验 0 1 2 0 1 2: . . :H v s H     。 应采用两样本 t检验法，检验统计量为 1 1 X Y T S m n    ， 其中 X 表示马克·吐温 8m  篇文章中 3 字母词比例的均值，Y 表示斯诺特格拉斯 10n  篇文章中 3字母词比例的均值， 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 2 m n i i i i S X X Y Y m n               。 显 著 性 水 平 为  的 拒 绝 域 为 ： 1 2{ | | ( 2)}T t m n   。 当 0.05  时 , 0.975 (16) 2.120t  。 根据样本数据算得 0.2319 0.2097 0.0222 3.88 0.00574 0.0121 1/8 1/10 T      。 因为 0.975| | (16)T t ，所以在 0.05 水平下拒绝原假设。可认为两作家文章中 3 字母词 的比例有显著差异。 20. 据现在的推测，矮个子的人比高个子的人寿命要长一些。下表给出了美国 31 个自然死 亡的总统的寿命。他们分别归属于矮个子(身高小于 5’8”)和高个子(身高大于 5’8”)两个类型。 设两个寿命总体均为正态且方差相等，试问这些数据是否符合上述推测？( 0.05  ) 解： 设矮个子总体寿命服从  2,AN   ，高个子总体寿命服从  2,BN   。将美国 31 位自然死亡的总统视为来自两个总体的容量为 5, 26m n  的两个样本。题中的推测 可由检验 0 1: . . :A B A BH v s H     来回答。检验统计量为： 1 1 A BX XT S m n    ， 11 其中 ,A BX X 分别是两个样本的方差， 2 2 2 ( 1) ( 1) 2 A Bm S n SS m n       ， 2 2,A BS S 分别是 两个样本的方差。显著性水平为  时的检验规则为： 当 1 ( 2)T t m n   时拒绝 0H 。 取 0.05  时 , 0.95 (29) 1.699t  。由样本数据算得 80.2, 68.88A BX X  ， 9.3614S  ， 2.48T  。因 0.95 (29)T t ，故拒绝 0H 。可认为数据支持矮个子的人 比高个子的人寿命要长一些的推测。 21. 在 70 年代后期人们发现，酿啤酒时，在麦芽干燥过程中形成致癌物质亚硝基二甲胺 (NDMA)，80年代初期开发了一种新的麦芽干燥过程。下面为老、新两种过程中形成的NDMA 含量(以 10亿份中的份数计)： 老过程：6, 4, 5, 5, 6, 5, 5, 6, 4, 6, 7, 4 新过程：2, 1, 2, 2, 1, 0, 3, 2, 1, 0, 1, 3 设两样本分别来自正态总体两总体方差相等，两样本独立，分别以 1 2,  表示老、新过程 的总体均值。试检验 0 1 2 1 1 2: 2 . . : 2H v s H       。 0.05  。 解： 检验统计量为 1 2 2 1 1 X X T S m n     ， 其中 12m n  分别是从老、新过程中抽取的样本容量， 1 2,X X 分别是两个样本的 方差， 2 2 2 1 2( 1) ( 1) 2 m S n S S m n       ， 2 21 2,S S 分别是两个样本的方差。水平为  的检 验规则为： 当 1 ( 2)T t m n   时拒绝 0H 。 取 0.05  时， 0.95 (22) 1.717t  。由样本数据算得 1 25.25, 1.50X X  ， 0.9828S  ， 4.36T  。因 0.95 (29)T t ，故拒绝 0H 。 12 23. 解： 假定上游水中含氧量 X服从 21 1( , )N   ，下游水中含氧量 Y服从 2 2 2( , )N   。假定两 样本独立。该问题可由检验 0 1 2 1 1 2: . . :H v s H     回答。若假定 2 2 1 2  ，则检 验统计量为 1 1 X Y T S m n    ， 其中 ,X Y 分别是两个样本的方差， 2 2 2 1 2( 1) ( 1) 2 m S n S S m n       ， 2 21 2,S S 分别是两个样 本的方差。显著性水平为  时的检验规则为： 当 1 2| | ( 2)T t m n   时拒绝 0H 。 由 样 本 数 据 算 得 4.917, 4.733X Y  ， 0.2799S  ， 1.60T  。 因 0.975| | (22) 2.74T t  ，故在 0.05 水平下不能拒绝 0H 。即无充分证据说明上下游水中含 氧量有显著差异。 26. 解： (1) 总体服从  2,N   ，已知 60  时，检验 2 20 1: 48 . . : 48H v s H   的规则为 当 2 2 21 1 ( 60) ( ) 48 n ii X n        时，拒绝 0H 。 因 9, 0.05n   ，故临界值 20.95 (9) 16.919  。由样本数据算得 2 590 12.29 48    ， 故接受 0H 。 (2) 总体服从  2,N   ，未知时，检验 2 20 1: 48 . . : 48H v s H   的规则为 当 2 2 21 1 ( ) ( 1) 48 n ii X X n         时，拒绝 0H 。 因 9, 0.05n   ，故临界值 20.95 (8) 15.507  。由样本数据算得 2 568.22 11.84 48    ， 故接受 0H 。 13 27. 已知某厂生产的灯泡的寿命服从  2,N   ， 2,  均未知。现在从该厂生产的产品 中随机地抽取 20 只进行测试，测得它们的平均寿命 1700X  小时，样本标准差 20 2 1 1 ( ) 490 19 i i S X X     小时。试问： (1) 在显著性水平 0.01  下，能否认为这批灯泡的平均寿命为 2000 小时？ (2) 在显著性水平 0.05  下，能否认为灯泡寿命的方差不大于 3502 ？ 解： (1) 检验 0 1: 2000 . . : 2000H v s H   。显著性水平为  时的检验规则为： 当 2000 ( 1) / X T t n S n      时，拒绝 0H 。 取 0.01  时， 0.01(19) 2.539t   。由样本数据算得 1700 2000 2.74 490 / 20 T     。 因 0.01(19)T t ，故拒绝 0H 。不能认为这批灯泡的平均寿命达到 2000小时。 (2) 检验 2 2 2 20 1: 350 . . : 350H v s H   。显著性水平为  时的检验规则为： 当 2 2 2 12 ( 1) ( 1) 350 n S n       时，拒绝 0H 。 取 0.05  时， 20.95 (19) 30.1435  。由样本数据算得 2 2 2 (20 1)490 37.24 350     。 因 2 20.95 (19)  ，故拒绝 0H 。不能认为这批灯泡寿命的方差不大于 350 2。 28. 某厂生产的汽车蓄电池使用寿命服从正态分布，其说明 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 上写明其标准差不超过 0.9 年。 现随机抽取 10 只，得样本标准差为 1.2 年。试在 0.05  水平下检验厂方说明书上所 写的标准差是否可信。 解：检验 2 2 2 20 1: 0.9 . . : 0.9H v s H   。显著性水平为  时的检验规则为： 当 2 2 2 12 ( 1) ( 1) 0.9 n S n       时，拒绝 0H 。 取 0.05  时， 20.95 (9) 16.919  。由样本数据算得 2 2 2 (10 1)1.2 16 0.9     。 因 2 20.95 (9)  ，故接受 0H 。可认为厂方说明书上所写的标准差可信。 14 29. 设有 A 种药随机地给 8个病人服用，经过一个固定时间后，测得病人身体细胞内药的浓 度为：1.40, 1.42, 1.41, 1.62, 1.55, 1.81, 1.60, 1.52。 又有 B 种药给 6个病人服用，并在同样固定时间后，测得病人身体细胞内药的浓度为： 1.76, 1.41, 1.81, 1.49, 1.67, 1.81。 设两种药在病人身体细胞内的浓度都服从正态分布。试问 A 种药在病人身体细胞内的 浓度的方差是否为 B 种药在病人身体细胞内浓度方差的2 3？（取 0.10  ） 解： 假定病人服用 A 种药一个固定时间后身体细胞内药的浓度服从  2,A AN   ，服用 B 种药一个固定时间后身体细胞内药的浓度服从  2,B BN   。现从两个总体中分别抽取 了容量为 8, 6m n  的两个样本。欲检验 2 2 2 20 1 2 2 : . . : 3 3 A B A BH v s H     。 检验统计量为： 2 2 2 3 A BF S S        ，其中 2 2,A BS S 分别是两个样本的方差。显著性水平 为  时的检验规则为： 当 2 1 2( 1, 1) or ( 1, 1)F F m n F F m n       时拒绝 0H 。 由样本数据计算得： 2 20.0192, 0.0293A BS S  ， 0.9829F  ，而 0.10  时 , 0.05 0.95 0.95 1 1 (7,5) 0.25, (7,5) 4.88 (5,7) 3.97 F F F     ，因此接受 0H 。 36. 设 2 21 1 2 2~ ( , ), ~ ( , )X N Y N    。从总体 X 与总体 Y 各取容量为 7、5 的样本， 设两样本独立。样本观测数据为 X: 81 165 97 134 92 87 114 Y: 102 86 98 109 92 作下列假设检验 ( 0.05  ) (1) 2 2 2 2 0 1 2 1 1 2: 10 . . : 10H v s H     ； (2) 利用 (1) 的结论，检验： 0 1 2 1 1 2: 10 . . : 10H v s H       。 解： (1) 取检验统计量 2 1 2 210 S F S  。显然，拒绝域的形式为 1 2{ }F c or F c  。 0H 真时， ~ ( 1, 1)F F m n  ，其中 m 是 X 的样本容量，n是 Y 的样本容量。 若取显著性水平为 0.05  ，则拒绝域的临界值为 15 1 / 2 0.025 2 1 / 2 0.975 ( 1, 1) (6,4) 0.1606, ( 1, 1) (6,4) 9.1973. c F m n F c F m n F             根据样本数据算得 913.3 1.1590 10 78.8 F    。因 0.025 0.975(6,4) (6,4)F F F  ，故接 受 0H 。 (2) 根据 (1) 的结论，可假定 2 21 210  。检验统计量取为 10 10 1 7 5 X Y T S     ， 其中 7 52 2 1 1 ( ) /10 ( ) 7 5 2 i ii i X X Y Y S           。易证明，原假设真时 ~ (10)T t 。故 显著性水平为  的检验规则为：当 / 2| | (10)T t  时拒绝 0H 。 取 0.05  ，则 0.975 (10) 2.228t  。根据样本数据算得 5479.8 /10 315.2 86.318 9.2907, 10 110 97.4 10 2.6 0.2193. 11.856410 1 9.2907 7 5 S T           因 0.975| | (10)T t ，故接受 0H 。 38. 解： 假定超重男子服用 A 药的持续时间服从  2,A AN   ，服用 B 药的持续时间服从  2,B BN   。按照试验的设计方法可知，这两个组是分别来自于两个总体的独立样本，样 本容量为 26m n  。需要检验的是 2 2 2 20 1: . . :A B A BH v s H     。检验统计量为： 2 2 A BF S S ，其中 2 2,A BS S 分别是两个样本的方差。显著性水平为  时的检验规则为： 当 2 1 2( 1, 1) or ( 1, 1)F F m n F F m n       时拒绝 0H 。 由样本数据计算得： 2 296.59, 16.23A BS S  ， 5.95F  ，而 0.05  时， 16 0.95 0.025 0.975 1 1 (25,25) 2.23, (25,25) (25,25) 2.23 F F F    ， 因此拒绝 0H ，认为服用这两种药的持续治疗时间的波动有显著差异。 40. 从一批寿命服从指数分布的产品中随机抽取 10 个进行寿命试验，观测值如下（单位： 小时） 1643 1629 426 132 1522 432 1759 1074 528 283 根据这批数据能否认为这批产品的平均寿命不低于 1100小时？（α=0.05） 解： 由题目条件知，这批产品寿命的总体分布 1 ~ Exp( )X  ，其中  为总体均值。记 1, , nX X 是来自于该总体的一个简单随机样本。需要检验 0 1: 1100 . . : 1100H v s H   。 因样本均值是 的一个合理的估计，因而可样本均值或等价地用样本总和 1 n ii T X   作 为检验统计量。直观地，检验规则形式应取为：当T c 时拒绝 0H 。 因 T 为 n 个独立同分布的指数分布随机变量之和，故 1 ~ Gamma( , )T n  ， 22 ~ (2 )Y T n  。上述规则的势函数为 2 (2 ) 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )c n c c g P T c P Y F          ， 其中 2 ( 2 )( )nF  为 2 (2 )n 的分布函数。要使该规则的水平为  ，则 c 应满足 2 (2 ) 2 (1100) ( ) 1100 c n c g F    ，即 2 2 (2 ) 1100 c n 。故 2550 (2 )c n 。还考虑最小化犯 第 II类错误的概率，则应取 2550 (2 )c n 。 由样本数据知， 9528T   20.05550 (20) 550 10.8508=5967.94c    ，故接受 0H 。 因此，没有充分证据说明这批产品的平均寿命低于 1100小时。 若用检验 0 1: 1100 . . : 1100H v s H   。 来回答本题。根据类似的讨论可得，水平为 的检验规则为： 当 21 1100 (2 ) 2 T n  时，拒绝 0H 。 17 因 0.05, 10n   ，故 21 1100 (2 ) 550 31.4104 17275.72 2 n T      ，接受 0H 。 这说明，也没有充分证据支持这批产品的平均寿命高于 1100小时。 42. 解： 根据题目假定，单位时间内电话总机接到的呼唤次数 ~ Poi( )X  。将观察到的 40 个 单位时间内的呼唤次数视为来自于该总体的一个简单随机样本。若将问题理解为“是否有充 分证据支持单位时间内平均呼唤次数不超过 1.8次”，则应检验的是 (1) 0 1: 1.8 . . : 1.8H v s H   。 若将问题理解为“是否没有充分证据反驳单位时间内平均呼唤次数不超过 1.8 次”，则应检 验的是 (2) 0 1: 1.8 . . : 1.8H v s H   。 先讨论前一种问题的检验方法。因为 的信息主要集中在样本总和 1 n ii T X   中， 因而对于(1)，直观地检验规则形式应取为：当 T c 时拒绝原假设。因 ~ Poi( )T n ， ( )P T c  随 递减，故欲使此规则水平为  且犯第 II类错误的概率最小化，则应取 c 为 满 足 1.8( )P T c    的 最 大 整 数 。 当 40, 0.05n   时 ， 因 1.8 1.8( 57) 0.040, ( 58) 0.052P T P T      ，故临界值 57c  。 由样本观测值知， 0 5 1 10 2 12 3 8 4 3 5 2 80 57T               ，故在 0.05 水平下不能拒绝原假设，即没有充分证据支持单位时间内平均呼唤次数不超过 1.8次。 若按后一种理解处理，检验(2) 的规则形式为：当 T d 时拒绝原假设。 ( )P T d  随 递增，故欲使此规则水平为  且犯第 II 类错误的概率最小化，则应取 d 为满足 1.8 ( )P T d    的最小整数。当 40, 0.05n   时，因 1.8 ( 87) 0.047P T   ， 1.8 ( 86) 0.059P T   ，故临界值 87c  。而 80 87T   ，故在 0.05水平下不能拒绝原 假设，即也没有充分证据反驳单位时间内平均呼唤次数不超过 1.8次。 另外，如果样本容量比较大，那么由中心极限定理知 ~ ( , )T N n n  ，因而检验规则 中的临界值 c, d，都可以近似地用正态分布的分位点来确定。 18 43. 解： 设这种布每平方米上的疵点数的总体分布 ~ Poi( )X  ，为总体均值。设所观测的 100平方米是从该总体抽取的一个简单随机样本，即 1 100, , i.i.d.X X X 。现欲检验 0 1: 1 . . : 1H v s H   由 42题(2)的讨论可知，水平为  的规则形式为：当 1 n ii T X d    时拒绝原假设，其 中 d 为 满 足 1( )P T d    的 最 小 整 数 。 当 1 0 0 , 0 . 0 5n   时 ， 因 1( 117) 0.0428P T   ， 1( 116) 0.0522P T   ，故临界值 117d  。 本题中样本总和的观测值为 126 117T   ，故拒绝 0H ，说明有充分证据认为，这 种布每平方米上平均疵点数超过 1。 因 100n  较大， ~ ( , )T N n n  ，可用中心极限定理近似地计算临界值 d。由 1 100 1 ( ) 1 100 1 d P T d            知， 1100 10d z   。当 0.05  时， 100 10 1.64 116.4d     。由此近似规则得到的 检验结论与前面精确规则的结论一致。 44. 解：由 42题的讨论知， (1) 拒绝域的形式为 1 1{ ( , , ) : } n n ii x x T X c    。 (2) 因 ~ Poi( )T n ，故犯第一类错误概率的极大值为 0 0 0 0 0 0 ( )( ) max ( ) max ! ! iic c nn i i nn P T c e e i i                 ， 其中第二个等式因为 ( )P T c  关于 单调减。 50. 某厂有一批产品共 5 万件，须经检验后方可出厂。按规定标准，次品率不得超过 10%。 今从中随机抽取 100 件产品进行检验，发现有 14 件次品。问这批产品能否出厂？（水平取 0.05） 19 解：设这批产品的次品率为 p，100件产品可视为来自总体 (1, )B p 的一个随机样本。欲检验 0 1: 10% . . : 10%H p v s H p  。 取样本之和 T 作为检验统计量。水平为 的检验规则为：当 T c 时拒绝 0H ，其中 c 为满足下式的最小整数 0 0(1 ) n t n t t c n p p t           。 当 0100, 10%, 0.05n p    时， 16c  。而由样本数据知 T＝14