2.直线与方程

直线与方程 一、概念： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tanα （α≠90°）； ②垂直：斜率k不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、 斜率与坐标： ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、 直线与直线的位置关系： ①相交：斜率 （前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1> ； <2> 斜率都存在时： 。 ②平行：<1> 斜率都存在时： ； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时： ； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程： ①点斜式： 将已知点 直接带入即可； ②斜截式： 将已知截距 直接带入即可； ③两点式： 将已知两点 直接带入即可； ④截距式： 将已知截距坐标 直接带入即可； ⑤一般式： ，其中A、B不同时为0在距离公式当中会经常用到直线的“一般式方程”。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可（可简记为“方程组思想”）。 3、距离公式： ①两点间距离： 推导 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ：构造直角三角形“勾股定理”； ②点到直线距离： ③平行直线间距离： 4、中点坐标公式：已知两点 AB中点 ： 3、 解 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 指导与易错辨析： 1、解析法（坐标法）： ①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标； ②依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果； ③将代数运算结果， 翻译 阿房宫赋翻译下载德汉翻译pdf阿房宫赋翻译下载阿房宫赋翻译下载翻译理论.doc 成几何中“所求或所要证明”。 2、 动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”： ① 的最小值：找对称点再连直线，如右图所示： ② 的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”； ③ 的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。 3、 直线必过点：① 含有一个未知参数----y=(a-1)x+2a+1 => y=(a-1)(x+2)+3 令：x+2=0 => 必过点(-2,3) ② 含有两个未知参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 => m(3x+y)+n(2y-x-1)=0 令：3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解 => 必过点(-1/7,3/7) 4、 易错辨析： 1 讨论斜率的存在性： 解题过程中用到斜率，一定要分类讨论： <1>斜率不存在时，是否满足题意； <2>斜率存在时，斜率会有怎样关系 ② 注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解；（求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。） ③ 直线到两定点距离相等，有两种情况： <1> 直线与两定点所在直线平行； <2> 直线过两定点的中点。（求解过某一定点的直线方程时，较为常见。） 四、对称问题 1.点关于直线对称： 若两点 关于直线l:Ax+By+C=0对称，则线段的中点在对称轴l上，而且连接 的直线垂直于对称轴l. 例1.求与点P（3，5）关于直线l:x-3y+2=0对称的点Q的坐标 点Q的坐标是（5，－1） 2. 直线关于点的对称问题：可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解. 例2 求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程. 分析 本题可以利用两直线平行，以及点P到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P的对称点，代入对称直线方程待定相关常数. 解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得 ， 即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0. 解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A（-8，0），则点A（-8，0）关于P（0，1）的对称点的B（8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 将B（8，2）代入，解得c=-38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0. 3.直线关于直线对称：包含有两种情形： ①两直线平行：求直线关于直线的对称直线： 设对称直线为，在直线上任取一点M(x,y),通过点M关于直线对称找到在上的对称点N,然后代入直线方程，得结果。 例3 求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程. 解 根据分析，可设直线l的方程为x-y+c=0，在直线l1：x-y-1=0上取点M（1，0），则易求得M关于直线l2：x-y+1=0的对称点N（-1，2）， 将N的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3， 故所求直线l的方程为x-y+3=0. 2 两直线相交：转化为点关于直线对称的问题。 例4：试求直线 关于直线 对称的直线 的方程 解法1：（动点转移法） 在 上任取点 ，设点P关于 的对称点为 ，则 又点P在 上运动，所以 ，所以 。即 。所以直线 的方程是 。 解法2：（取特殊点法） 解方程组 所以直线 的交点为A(1,0) 在 上取点P（2，1），设点P关于 的对称点的坐标为 ， 则 而点A，Q在直线 上，由两点式可求直线 的方程是 1. 已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点。（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长（3）求AB边的高所在直线方程。 解：（1）由两点式写方程得 ， 即 6x-y+11=0 或 直线AB的斜率为 直线AB的方程为 即 6x-y+11=0 （2）设M的坐标为（ ），则由中点坐标公式得 故M（1，1） (3)因为直线AB的斜率为kAB= 设AB边的高所在直线的斜率为k 则有 所以AB边高所在直线方程为 2. 求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程。 解：设直线方程为 则有题意知有 又有① 此时 ② 3. 直线 与直线 没有公共点，求实数m的值。 由已知，题设中两直线平行，当 当m=0时两直线方程分别为x+6=0,-2x=0,即x=-6,x=0,两直线也没有公共点， 综合以上知，当m=-1或m=0时两直线没有公共点。 4. 求经过两条直线 和 的交点，且分别与直线 （1）平行，（2）垂直的直线方程。 解：由 ，得 ； ∴ 与 的交点为（1，3）。 设与直线 平行的直线为 则 ，∴c＝1。 ∴所求直线方程为 。 方法2：∵所求直线的斜率 ，且经过点（1，3）， ∴求直线的方程为 ， 即 。 设与直线 垂直的直线为 则 ，∴c＝－7。 ∴所求直线方程为 。 方法2：∵所求直线的斜率 ，且经过点（1，3） ∴求直线的方程为 ， 即 5. 过点（２，３）的直线Ｌ被两平行直线Ｌ１：２ｘ－５ｙ＋９＝０与Ｌ２：２ｘ－５ｙ－７＝０所截线段ＡＢ的中点恰在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，求直线Ｌ的方程 解：设线段ＡＢ的中点P的坐标（a，b），由P到L1，、L2的距离相等，得 EMBED Equation.3 经整理得， ，又点P在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，所以 解方程组 得 即点P的坐标（-3，-1）， 又直线L过点（２，３） 所以直线Ｌ的方程为 ，即 一选择题 1. 已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB的斜率为（ ） A.3 B.-2 C. 2 D. 不存在 2．过点 且平行于直线 的直线方程为（ ） A． 　 B． 　　C． 　　D． 3. 在同一直角坐标系中， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示直线 与 正确的是（　 　） A B C D 4．若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a=（ ） A． B． C． D． 5.过(x1，y1)和(x2，y2)两点的直线的方程是( ) 6、若图中的直线L1、L2、L3的斜率分别为K1、K2、K3则（ ） A、K1﹤K2﹤K3 B、K2﹤K1﹤K3 C、K3﹤K2﹤K1 D、K1﹤K3﹤K2 9、直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则（ ） A.a=2,b=5; B.a=2,b= ; C.a= ,b=5; D.a= ,b= . 10、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ） A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 11、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（ ） A 4x+3y-13=0 B 4x-3y-19=0 C 3x-4y-16=0 D 3x+4y-8=0 二填空题 12. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 _____； 13．两直线2x+3y－k=0和x－ky+12=0的交点在y轴上，则k的值是　　　　　 14、两平行直线 的距离是 。 15空间两点M1（-1,0,3）,M2(0,4,-1)间的距离是 三计算题 16、已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点。（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长（3）求AB边的高所在直线方程。 17、求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程。 18. 直线 与直线 没有公共点，求实数m的值。 19．求经过两条直线 和 的交点，且分别与直线 （1）平行，（2）垂直的直线方程。 20、过点（２，３）的直线Ｌ被两平行直线Ｌ１：２ｘ－５ｙ＋９＝０与 Ｌ２：２ｘ－５ｙ－７＝０所截线段ＡＢ的中点恰在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，求直线Ｌ的方程 习题二 一、选择题 1．已知点 ，则线段 的垂直平分线的方程是（ ） A． B． C． D． 2．若 三点共线 则 的值为（　　） Ａ． 　　 Ｂ． 　　Ｃ． 　　Ｄ． 3．直线 ，当 变动时，所有直线都通过定点（ ） A． B． C． D． 4．两直线 与 平行，则它们之间的距离为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 1．与直线 平行，并且距离等于 的直线方程是____________。 2．已知点 在直线 上，则 的最小值为 3．设 ，则直线 恒过定点 ． 4．已知直线 EMBED Equation.3 与 关于直线 对称，直线 ⊥ ，则 的斜率是______. 5．一直线过点 ，并且在两坐标轴上截距之和为 ，这条直线方程是__________． 三、解答题 1．求经过点 的直线，且使 ， 到它的距离相等的直线方程。 2．已知点 ， ，点 在直线 上，求 取得 最小值时 点的坐标。 3．求函数 的最小值。 测试题 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 1-5 BACAC 6-10 ABA 11 A 12.y=2x或x+y-3=0 13.±6 14、 15. 16、解：（1）由两点式写方程得 ，即 6x-y+11=0 或 直线AB的斜率为 直线AB的方程为 即 6x-y+11=0（2）设M的坐标为（ ），则由中点坐标公式得 故M（1，1） (3)因为直线AB的斜率为kAB= 设AB边的高所在直线的斜率为k 则有 所以AB边高所在直线方程为 17．解：设直线方程为 EMBED Equation.DSMT4 则有题意知有 又有① 此时 ② 18．由已知，题设中两直线平行，当 当m=0时两直线方程分别为x+6=0,-2x=0,即x=-6,x=0,两直线也没有公共点， 综合以上知，当m=-1或m=0时两直线没有公共点。 19解：由 ，得 ；∴ 与 的交点为（1，3）。 （1） 设与直线 平行的直线为 则 ，∴c＝1。 ∴所求直线方程为 。 方法2：∵所求直线的斜率 ，且经过点（1，3），∴求直线的方程为 ，即 。 （2） 设与直线 垂直的直线为 则 ，∴c＝－7。 ∴所求直线方程为 。 方法2：∵所求直线的斜率 ，且经过点（1，3），∴求直线的方程为 ，即 。 20、解：设线段ＡＢ的中点P的坐标（a，b），由P到L1，、L2的距离相等，得 EMBED Equation.3 经整理得， ，又点P在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，所以 解方程组 得 即点P的坐标（-3，-1），又直线L过点（２，３） 所以直线Ｌ的方程为 ，即 习题二：一、选择题 1.B 线段 的中点为 垂直平分线的 ， 2.A 3.C 由 得 对于任何 都成立，则 4.D 把 变化为 ，则 二、填空题 1. ，或 设直线为 2. 的最小值为原点到直线 的距离： 3. 变化为 对于任何 都成立，则 4. 5. ，或 设 3、 解答题 1.解： 显然符合条件；当 ， 在所求直线同侧时， ，或 2解：设 ， 则 当 时， 取得最小值，即 3解： 可看作点 到点 和点 的距离之和，作点 关于 轴对称的点 � EMBED Equation.3 ��� L1 x o o x y L3 L2 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� PAGE 6 _1418217152.unknown _1418217168.unknown _1418217176.unknown _1418217180.unknown _1418217184.unknown _1418217188.unknown _1418217190.unknown _1418217191.unknown _1418217192.unknown _1418217189.unknown _1418217186.unknown _1418217187.unknown _1418217185.unknown _1418217182.unknown _1418217183.unknown _1418217181.unknown _1418217178.unknown _1418217179.unknown _1418217177.unknown _1418217172.unknown _1418217174.unknown _1418217175.unknown _1418217173.unknown _1418217170.unknown _1418217171.unknown _1418217169.unknown _1418217160.unknown _1418217164.unknown _1418217166.unknown _1418217167.unknown _1418217165.unknown _1418217162.unknown _1418217163.unknown _1418217161.unknown _1418217156.unknown _1418217158.unknown _1418217159.unknown _1418217157.unknown _1418217154.unknown _1418217155.unknown _1418217153.unknown _1212405725.unknown _1234567905.unknown _1234567917.unknown _1418217148.unknown _1418217150.unknown _1418217151.unknown _1418217149.unknown _1418124787.unknown _1418217146.unknown _1418217147.unknown _1418124973.unknown _1418124996.unknown _1418125017.unknown _1418124960.unknown _1418124729.unknown _1418124743.unknown _1234567918.unknown _1234567910.unknown _1234567912.unknown _1234567916.unknown _1234567911.unknown _1234567907.unknown _1234567908.unknown _1234567906.unknown _1220106508.unknown _1234567897.unknown _1234567901.unknown _1234567903.unknown _1234567904.unknown _1234567902.unknown _1234567899.unknown _1234567900.unknown _1234567898.unknown _1220195368.unknown _1234567893.unknown _1234567895.unknown _1234567896.unknown _1234567894.unknown _1220199897.unknown _1220200154.unknown _1234567891.unknown _1234567892.unknown _1220200310.unknown _1234567890.unknown _1220200214.unknown _1220200309.unknown _1220200055.unknown _1220200098.unknown _1220199945.unknown _1220197970.unknown _1220198076.unknown _1220198373.unknown _1220198489.unknown _1220199171.unknown _1220198196.unknown _1220198012.unknown _1220197804.unknown _1220197841.unknown _1220194752.unknown _1220195273.unknown _1220195298.unknown _1220194905.unknown _1220195089.unknown _1220106644.unknown _1220106655.unknown _1220106565.unknown _1220104720.unknown _1220105456.unknown _1220105522.unknown _1220105601.unknown _1220105464.unknown _1220104802.unknown _1220105347.unknown _1220104781.unknown _1218232396.unknown _1220104042.unknown _1220104161.unknown _1220104497.unknown _1220104521.unknown _1220104437.unknown _1220104058.unknown _1220103828.unknown _1220103971.unknown _1218232407.unknown _1212405818.unknown _1213388193.unknown _1216369141.unknown _1212405836.unknown _1212405763.unknown _1212405793.unknown _1212405745.unknown _1167680442.unknown _1196764866.unknown _1211309724.unknown _1211311275.unknown _1212349849.unknown _1212349921.unknown _1211311433.unknown _1211311457.unknown _1212349787.unknown _1211311334.unknown _1211311367.unknown _1211309852.unknown _1211309898.unknown _1211309804.unknown _1211192062.unknown _1211309213.unknown _1211309696.unknown _1211309166.unknown _1196766765.unknown _1196766891.unknown _1196767051.unknown _1196767415.unknown _1196768329.unknown _1196767192.unknown _1196766942.unknown _1196766845.unknown _1196766372.unknown _1196766625.unknown _1196766168.unknown _1168063872.unknown _1168801135.unknown _1191524621.unknown _1191524682.unknown _1168802075.unknown _1168802254.unknown _1168802265.unknown _1168801170.unknown _1168080989.unknown _1168801052.unknown _1168081350.unknown _1168773626.unknown _1168773794.unknown _1168081363.unknown _1168081082.unknown _1168064030.unknown _1168064242.unknown _1168064429.unknown _1168064504.unknown _1168064364.unknown _1168064100.unknown _1168063885.unknown _1167680915.unknown _1168063537.unknown _1168063591.unknown _1167681059.unknown _1167680777.unknown _1167680875.unknown _1167680698.unknown _1161258809.unknown _1167480297.unknown _1167481583.unknown _1167679900.unknown _1167481650.unknown _1167481804.unknown _1167480340.unknown _1167480374.unknown _1167480329.unknown _1166223127.unknown _1166266417.unknown _1166266518.unknown _1166266791.unknown _1167411620.unknown _1166266790.unknown _1166266457.unknown _1166266276.unknown _1166266341.unknown _1166266170.unknown _1166170344.unknown _1166211303.unknown _1166223083.unknown _1166210065.unknown _1166211266.unknown _1165836444.unknown _1166170232.unknown _1165565149.unknown _1165565150.unknown _1165425597.unknown _1161258006.unknown _1161258452.unknown _1161258459.unknown _1161258757.unknown _1161258204.unknown _1161258227.unknown _1161258336.unknown _1161258365.unknown _1161258157.unknown _1161258016.unknown _1149488735.unknown _1161257357.unknown _1161257888.unknown _1161257990.unknown _1161257370.unknown _1161257196.unknown _1161257284.unknown _1161257299.unknown _1161257152.unknown _1100876940.unknown _1149488324.unknown _1149488368.unknown _1148794688.unknown _1148794718.unknown _1149488299.unknown _1148794706.unknown _1148794675.unknown _1100876890.unknown _1100876917.unknown _1100876865.unknown