概率论与数理统计教程 第二版 (魏宗舒 著) 高等教育出版社 课后答案

课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com） - 2 - 第一章 事件与概率 1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有 1件是不合格品，从中任取 2件得 1件不合格品。 (2)一个口袋中有 2个白球、3 个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白 球，(ⅱ)得红球。 解 (1)记 9 个合格品分别为 921, 正正正 ,,⋯ ，记不合格为次，则 ,,,,,,,,, )()()(){( 1913121 次正正正正正正正 ⋯=Ω ,,,,,,,,, )()()()( 2924232 次正正正正正正正 ⋯ ,,,,,,, )()()( 39343 次正正正正正 ⋯ )}()()( 9898 次正次正正正 ,,,,,,⋯ =A ){( 1 次正 , ,,, )( 2 次正 )}( 9 次正 ,,⋯ (2)记 2 个白球分别为 1ω ， 2ω ，3 个黑球分别为 1b ， 2b ， 3b ，4个红球分别 为 1r ， 2r ， 3r ， 4r 。则 =Ω { 1ω ， 2ω ， 1b ， 2b ， 3b ， 1r ， 2r ， 3r ， 4r } (ⅰ) =A { 1ω ， 2ω } (ⅱ) =B { 1r ， 2r ， 3r ， 4r } 1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件 A 表示被选学生是男生，事件 B 表示被选学生是三 年级 六年级体育公开课教案九年级家长会课件PPT下载六年级家长会PPT课件一年级上册汉语拼音练习题六年级上册道德与法治课件 学生，事件C表示该生是运动员。 (1) 叙述 CAB 的意义。 (2)在什么条件下 CABC = 成立？ (3)什么时候关系式 BC ⊂ 是正确的？ (4) 什么时候 BA = 成立？ 解 (1)事件 CAB 表示该是三年级男生，但不是运动员。 (2) CABC = 等价于 ABC ⊂ ，表示全系运动员都有是三年级的男生。 (3)当全系运动员都是三年级学生时。 (4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。 1.3 一个工人生产了n个零件，以事件 i A 表示他生产的第 i个零件是合格品 （ ni ≤≤1 ）。用 i A 表示下列事件： (1)没有一个零件是不合格品； (2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。 解 (1) ∩ n i i A 1= ; (2) ∪∩ n i i n i i AA 11 == = ; (3) ∪ ∩ n i n ij j ji AA 1 1 )]([ = ≠ = ; ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com） - 3 - (4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为∪ n ji ji ji AA ≠ =1, ； 1.4 证明下列各式： (1) ABBA ∪=∪ ; (2) ABBA ∩=∩ (3) =∪∪ CBA )( )( CBA ∪∪ ; (4) =∩∩ CBA )( )( CBA ∩∩ (5) =∩∪ CBA )( ∪∩ )( CA )( CB∩ (6) ∪∩ n i i n i i AA 11 == = 证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页 （1.5）式和(1.6)式的证法。 1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡 片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。 解 样本点总数为 7828 ×=A 。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、 13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和 7、11、13中的一个组合，所以 事件 A“所得分数为既约分数”包含 6322 15 1 3 2 3 ××=×+ AAA 个样本点。于是 14 9 78 632 )( = × ×× =AP 。 1.6 有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条， 求所取三条线段能构成一个三角形的概率。 解 样本点总数为 10 3 5 =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必 须是 3、5、7或 3、7、9或多或 5、7、9。所以事件 A“所取三条线段能构成一 个三角形”包含 3个样本点，于是 10 3 )( =AP 。 1.7 一个小孩用 13个字母 TTNMMIIHECAAA ,,,,,,,,,,,, 作组字游戏。如 果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词 的概率为多大？ 解 显然样本点总数为 !13 ，事件 A“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含 !2!2!2!3 个样本点。所以 !13 48 !13 !2!2!2!3 )( ==AP 1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们 正好可以相互吃掉的概率。 解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于 891109 =−× 个不同位置，当 ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com） - 4 - 它处于和红“车”同行或同列的 1789 =+ 个位置之一时正好相互“吃掉”。故所 求概率为 89 17 )( =AP 1.9 一幢 10 层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一 层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的， 求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。 解 每位乘客可在除底层外的 9层中任意一层离开电梯，现有 7 位乘客，所 以样本点总数为 79 。事件 A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于 “从 9 层中任取 7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含 79A 个样本点，于是 7 7 9 9 )( A AP = 。 1.10 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从 00001到 10000。问事件“偶 然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？ 解 用 A表示“牌照号码中有数字8”，显然 44 10 9 10000 9 )( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ==AP ，所以 1)( =AP - 44 10 9 1 10000 9 1)( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −=−=AP 1.11 任取一个正数，求下列事件的概率： (1)该数的平方的末位数字是 1； (2)该数的四次方的末位数字是1； (3)该数的立方的最后两位数字都是 1； 解 (1) 答案为 5 1 。 (2)当该数的末位数是 1、3、7、9 之一时，其四次方的末位数是 1，所以答 案为 5 2 10 4 = (3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样 本空间包含 210 个样本点。用事件 A表示“该数的立方的最后两位数字都是1”， 则该数的最后一位数字必须是 1，设最后第二位数字为 a ，则该数的立方的最后 两位数字为 1 和 3 a的个位数，要使 3 a的个位数是 1，必须 7=a ，因此 A所包 含的样本点只有 71这一点，于是 。 1.12 一个人把6 根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人 把 6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后 6根草恰好连成一个环的 概率。并把上述结果推广到 n2 根草的情形。 解 (1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的 5 个头之一相接，再取 另一头，它又可以与其它未接过的3 个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故 ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com） - 5 - 对头而言有 135 ⋅⋅ 种接法，同样对尾也有 135 ⋅⋅ 种接法，所以样本点总数为 2)135( ⋅⋅ 。用 A表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有 135 ⋅⋅ 种 连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另 4 根草的尾连接。 再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另 2根草的尾连接，最后再将其余的尾 连接成环，故尾的连接法为 24 ⋅ 。所以 A包含的样本点数为 )24)(135( ⋅⋅⋅ ，于是 15 8 )135( )24)(135( )( 2 = ⋅⋅ ⋅⋅⋅ =AP (2) n2 根草的情形和(1)类似得 1.13 把 n 个完全相同的球随机地放入 N 个盒子中（即球放入盒子后，只能 区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨 的）。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有 k 个球 的概率为 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − −−+ n nN kn knN 1 2 ， nk ≤≤0 (2)恰好有 m 个盒的概率为 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −− − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ n nN mN n m N 1 1 1 ， 1−≤≤− NmnN (3)指定的 m 个盒中正好有 j 个球的概率为 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − −−+− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − −+ n nN jn jnmN m jm 1 1 1 1 ， .0,1 NjNm ≤≤≤≤ 解 略。 1.14 某公共汽车站每隔 5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是 任意的，求一个乘客候车时间不超过 3分钟的概率。 解 所求概率为 5 3 )( =AP 1.15 在 ABC∆ 中任取一点P，证明 ABCABP ∆∆ 与 的面积之比大于 n n 1− 的概 率为 2 1 n 。 解 截取 CD n DC 1 =′ ，当且仅当点P落入 BAC ′′∆ 之内时 ABCABP ∆∆ 与 的面 积 之 比 大 于 n n 1− ， 因 此 所 求 概 率 为 2 2 )( CD DC ABC CBA AP ′ = ∆ ′′∆ = 的面积 有面积 2 2 2 1 CD DC n ′ = 2 1 n = 。 ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com） - 6 - 1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。 设两船停靠泊位的时间分别为 1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待 一段时间的概率。 解 分别用 yx, 表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等 待 当 且 仅 当 10,20 ≤−≤≤−≤ xyyx 。 因 此 所 求 概 率 为 121.0 24 22 2 1 23 2 1 24 )( 2 222 ≈ ×−×− =AP 1.17 在线段 AB上任取三点 321 ,, xxx ，求： (1) 2x 位于 31 xx 与 之间的概率。 (2) 321 ,, AxAxAx 能构成一个三角形的概率。 解 (1) 3 1 )( =AP (2) 2 1 1 2 1 3 1 31 )( = ××− =BP 1.18 在平面上画有间隔为 d 的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形， 该三角形的边长为 cba ,, （均小于d ），求三角形与平行线相交的概率。 解 分别用 321 ,, AAA 表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线 相合，两条边与平行线相交，显然 .0)()( 21 == APAP 所求概率为 )( 3AP 。分别用 bcacabcba AAAAAA ,,,,, 表 示 边 cba ,, ， 二 边 bcacab ,, 与 平 行 线 相 交 ， 则 =)( 3AP ).( bcacab AAAP ∪∪ 显然 )( aAP )()( acab APAP + ， =)( bAP )()( bcab APAP + ， =)( c AP )()( bcac APAP + 。所以 2 1 )( 3 =AP [ +)( aAP +)( bAP )( cAP ] )(2 2 cba d ++= π )( 1 cba d ++= π （用例 1.12的结果） 1.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可 能事件？试举例 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 之。 解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为 1的线段内随机投 点。则事件 A“该点命中 AB的中点”的概率等于零，但 A不是不可能事件。 1.20 甲、乙两人从装有 a 个白球与 b 个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取， 乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一 随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。 ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com） - 7 - 解 1ω 表示白， 2ω 表示黑白， 3ω 表示黑黑白，… 白黑黑表示 个��� ⋯ b b 1+ω ， 则样本空间 =Ω { 1ω ， 2ω ，…， 1+bω }，并且 ba a P + =})({ 1ω ， 1 })({ 2 −+ ⋅ + = ba a ba b P ω ， 21 1 })({ 3 −+ ⋅ −+ − ⋅ + = ba a ba b ba b P ω ，…， )1()2( )2( 1 1 })({ −−+ ⋅ −−+ −− ⋅⋅ −+ − ⋅ + = iba a iba ib ba b ba b P i ⋯ω ababa ab P b ⋯)1)(( ! })({ 1 −++ =+ω 甲取胜的概率为 })({ 1ωP + })({ 3ωP + })({ 5ωP +… 乙取胜的概率为 })({ 2ωP + })({ 4ωP + })({ 6ωP +… 1.21 设事件 BA, 及 BA∪ 的概率分别为 p、 q及 r ，求 )(ABP ， )( BAP ， )( BAP ， )( BAP 解 由 )()()()( ABPBPAPBAP −+=∪ 得 rqpBAPBPAPABP −+=∪−+= )()()()( qrABPAPABAPBAP −=−=−= )()()()( ， prBAP −=)( rBAPBAPBAP −=∪−=∪= 1)(1)()( 1.22 设 1A 、 2A 为两个随机事件，证明： (1) )()()(1)( 212121 AAPAPAPAAP +−−= ; (2) )()()()()()(1 21212121 APAPAAPAAPAPAP +≤∪≤≤−− . 证 明 (1) −=∪= 1)()( 2121 AAPAAP )( 21 AAP ∪ = )()()(1 2121 AAPAPAP +−− (2) 由(1)和 0)( 21 ≥AAP 得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别 得第二、三个不等式。 1.23 对于任意的随机事件A、B、 C ，证明： )()()()( APBCPACPABP ≤−+ 证明 )()()()]([)( ABCPACPABPCBAPAP −+=∪≥ ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com） - 8 - )()()( BCPACPABP −+≥ 1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订 甲报的有 45%，订乙报的有 35%，订丙报的有 30%，同时订甲、乙两报的有 10%， 同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%， 求下述百分比： (1)只订甲报的； (2)只订甲、乙两报的； (3)只订一种报纸的； (4)正好订两种报纸的； (5)至少订一种报纸的； (6)不订任何报纸的。 解 事件 A表示订甲报，事件B表示订乙报，事件C表示订丙报。 (1) ))(()( ACABAPCBAP ∪−= = )()( ACABPAP ∪− =30% (2) %7)()( =−= ABCABPCABP (3) %23)]()()([)()( =−+−= ABCPBCPABPBPCABP %20)]()()([)()( =−+−= ABCPBCPACPCPBACP ∪CBAP( + CAB + )BAC = )( CBAP + )( CABP + )( BACP =73% (4) =++ )( ABCBACCABP %14)()()( =++ ABCPBACPCABP (5) %90)( =++ CBAP (6) %10%901)(1)( =−=++−= CBAPCBAP 1.26 某班有 n 个学生参加口试，考签共 N张，每人抽到的考签用后即放回， 在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？ 解 用 i A 表示“第 i 张考签没有被抽到”， Ni ,,2,1 ⋯= 。要求 )( 1 ∪ N i i AP = 。 n i N N AP ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= 1 )( ， n ji N N AAP ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= 2 )( ，……， 0)( 1 =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= n N N NN AAP ⋯ n N i i N N N AP ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =∑ = 1 1 )( 1 n N N N ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −= − 1 1 )1( 11 n Ni ji N N N AAP ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −=− ∑ ≤≤ 2 2 )( 1 n N N N ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −= − 2 2 )1( 12 ，…… 所以 n N i i N i i N iN AP ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−=∑ = − = 1 1 1 )1()(∪ ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com） - 9 - 1.27 从 n阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的 概率是多少？ 解 n 阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为 n niii aaa ⋯ 21 21 ，当 且仅当 n,,2,1 ⋯ 的排列 )( 21 niii ⋯ 中存在 k使 kik = 时这一项包含主对角线元素。 用 k A 表示事件“排列中 ki k = ”即第 k个主对角线元素出现于展开式的某项中。 则 ni n n AP i ≤≤ − = 1 ! )!1( )( )1( ! )!2( )( nji n n AAP ji ≤<≤ − = ，…… 所以 ! 1 )1( ! )!( )1()( 1 1 1 1 1 in in i n AP n i i n i i N i i ∑∑ = − = − = −= − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −=∪ 1.29 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩 的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）。 解 用 gb, 分别表示男孩和女孩。则样本空间为： )},,)(,,}(,,),,(),,,)(,,(),,,(),,,{( gggbgggbgggbbbgbgbgbbbbb=Ω 其中样本点依年龄大小的性别排列。 A表示“有女孩”， B表示“有男孩”，则 7 6 8/7 8/6 )( )( )|( === AP ABP ABP 1.30 设M 件产品中有m件是不合格品，从中任取两件， (1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概 率。 (2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概 率。 解（1）设 A表示“所取产品中至少有一件是不合格品”， B表示“所取产 品都是不合格品”，则 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 112 )( M mMmm AP ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 )( M m BP === )( )( )( )( )|( AP BP AP ABP ABP 12 1 −− − mM m (2)设 C 表示“所取产品中至少有一件合格品”， D 表示“所取产品中有一 件合格品，一件不合格品”。则 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 211 )( M mMmMm CP ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 11 )( M mMm DP ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com） - 10 - === )( )( )( )( )|( CP DP CP CDP CDP 1 2 −+mM m 1.31 n个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求： (1)已知前 1−k )( nk ≤ 个人都没摸到，求第 k个人摸到的概率； (2)第 k )( nk ≤ 个人摸到的概率。 解 设 i A 表示“第 i 个人摸到”， ni ,,2,1 ⋯= 。 (1) 1 1 )1( 1 )|( 11 +− = −− =− knkn AAAP k k ⋯ (2) =)( k AP =− )( 11 kk AAAP ⋯ nknn n n n 1 1 1 1 21 = +− ⋅⋅ − − ⋅ − ⋯ 1.32 已知一个母鸡生 k个蛋的概率为 )0( ! >− λ λ λ e k k ，而每一个蛋能孵化成小 鸡的概率为 p，证明：一个母鸡恰有 r个下一代（即小鸡）的概率为 p r e r p λ λ − ! )( 。 解 用 k A 表示“母鸡生 k个蛋”， B表示“母鸡恰有 r个下一代”，则 )|()()( k rk k ABPAPBP ∑ ∞ = = rkr rk k pp r k k e − ∞ = − −⋅⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅=∑ )1(! λ λ ∑ ∞ = − − − − = rk rkr rk p e r p )!( )]1([ ! )( λλ λ )1( ! )( p r ee r p −− ⋅= λλ λ p r e r p λ λ −= ! )( 1.33 某射击小组共有20名射手，其中一级射手 4 人，二级射手 8人，三 级射手 7 人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率 分别是 0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进 入决赛的概率。 解 用 k A 表示“任选一名射手为 k级”， 4,3,2,1=k ，B表示“任选一名射手 能进入决赛”，则 )|()()( 4 1 k k k ABPAPBP ∑ = = 645.02.0 20 1 5.0 20 7 7.0 20 8 9.0 20 4 =×+×+×+×= 1.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%， 35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有 5%，4%，2%。现在从产品中任 ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com） - 11 - 取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？ 解 用 1A 表示“任取一只产品是甲台机器生产” 2A 表示“任取一只产品是乙台机器生产” 3A 表示“任取一只产品是丙台机器生产” B 表示“任取一只产品恰是不合格品”。 则由贝叶斯 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ： 69 25 )|()( )|()( )|( 3 1 11 1 == ∑ =k kk ABPAP ABPAP BAP 69 28 )|()( )|()( )|( 3 1 22 2 == ∑ =k kk ABPAP ABPAP BAP 69 16 )|()( )|()( )|( 3 1 33 3 == ∑ =k kk ABPAP ABPAP BAP 1.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为 9:3:2:1，它们在一 定时间内需要修理的概率之比为 1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机 床是车床的概率是多少？ 解 则 15 9 )( 1 =AP ， 15 3 )( 2 =AP ， 15 2 )( 3 =AP ， 15 1 )( 4 =AP 7 1 )|( 1 =ABP ， 7 2 )|( 2 =ABP ， 7 3 )|( 3 =ABP ， 7 1 )|( 4 =ABP 由贝时叶斯公式得 22 9 )|()( )|()( )|( 4 1 11 1 == ∑ =k kk ABPAP ABPAP BAP 1.36 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是 0.3、 0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是 4 1 、 3 1 、 12 1 ，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？ 解 用 1A 表示“朋友乘火车来”， 2A 表示“朋友乘轮船来”， 3A 表示“朋友乘 汽车来”， 4A 表示“朋友乘飞机来”，B表示“朋友迟到了”。 则 2 1 )|()( )|()( )|( 4 1 11 1 == ∑ =k kk ABPAP ABPAP BAP 1.37 证明：若三个事件 A 、 B 、 C 独立，则 BA∪ 、 AB及 BA− 都与C独 立。 证明 （1） )()()())(( ABCPBCPACPCBAP −+=∪ = )()( CPBAP ∪ （2） )()()()()() CPABPCPBPAPPABC == ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com） - 12 - （3） )())(())(( ABCACPCABAPCBAP −=−=− = )()( CPBAP − 1.38 试举例说明由 )()()()( CPBPAPABCP = 不能推出 )()()( BPAPABP = 一 定成立。 解 设 },,,,{ 54321 ωωωωω=Ω ， 64 1 })({ 1 =ωP ， 64 18 })({ 5 =ωP ， =})({ 2ωP =})({ 3ωP 64 15 })({ 4 =ωP ， },{ 21 ωω=A ， },{ 31 ωω=A ， },{ 41 ωω=A 则 4 1 64 15 64 1 )()()( =+=== CPBPAP ， )()()( 64 1 })({)( 1 CPBPAPPABCP === ω 但是 )()( 64 1 })({)( 1 BPAPPABP ≠== ω 1.39 设 n AAA ,,, 21 ⋯ 为 n个相互独立的事件，且 )1()( nkpAP kk ≤≤= ，求下 列事件的概率： (1) n个事件全不发生； (2) n 个事件中至少发生一件； (3) n 个事件中恰好发生一件。 解 (1) ∏∏ === −== n k k k k n k k pAPAP n 111 )1()()(∩ (2) ∏ === −−=−= n k k n k k n k k pAPAP 111 )1(1)(1)( ∩∪ (3) ])1([)()]([ 11 111 1 ∐∩∪ ∩ n kj j j n kj j n k k j n k k n k n kj j j k ppAAAAP ≠ = ≠ = === ≠ = −== ∑∑ . 1.40 已知事件 BA, 相互独立且互不相容，求 ))(),(min( BPAP （注： ),min( yx 表示 yx, 中小的一个数）。 解 一方面 0)(),( ≥BPAP ，另一方面 0)()()( == ABPBPAP ，即 )(),( BPAP 中 至少有一个等于 0，所以 .0))(),(min( =BPAP 1.41 一个人的血型为 ABBAO ,,, 型的概率分别为 0.46、0.40、0.11、0.03， 现在任意挑选五个人，求下列事件的概率 (1)两个人为 O 型，其它三个人分别为其它三种血型； (2)三个人为O型，两个人为 A型； (3)没有一人为 AB 。 ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com） - 13 - 解 (1)从 5个人任选 2 人为O型，共有 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 5 种可能，在其余 3人中任选一人 为 A型，共有三种可能，在余下的 2人中任选一人为 B型，共有2 种可能，另一 人为 AB 型，顺此所求概率为： 0168.013.011.040.046.023 2 5 2 ≈××××××⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ (2) 1557.040.046.0 3 5 22 ≈××⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ (3) 8587.0)03.01( 5 ≈− 1.42 设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0.6，求同时发射一发炮 弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以 99%以上的概率击 中它，问至少需要多少门高射炮。 解 用 k A 表示“第 k门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”， ⋯,2,1=k ，B表 示“击中飞机”。则 6.0)( = k AP ， ⋯,2,1=k 。 (1) 84.04.01)(1)( 22121 =−=−=∪ AAPAAP (2) 99.04.01)(1)( 1 1 >−=−=∪ = n n k k n APAAP ∩⋯ , 026.5 4.0lg 01.0lg ≈>n 取 6=n 。至少需要6 门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证 99%的概率击中 飞机。 1.43 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为 p，求在成功 n次之前 已失败了 m 次的概率。 解 用 A表示“在成功 n 次之前已失败了 m 次”， B表示“在前 1−+mn 次试 验中失败了m次”， C表示“第 mn + 次试验成功” 则 ppp m mn CPBPBCPAP mn ⋅−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ === − )1( 1 )()()()( 1 mn pp m mn )1( 1 −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ = 1.45 某数学家有两盒火柴，每盒都有 n 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任 取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有 r根火柴（ nr ≤≤1 ）的 概率。 解 用 i A 表示“甲盒中尚余 i根火柴”， 用 j B 表示“乙盒中尚余 j根火柴”， DC, 分别表示“第 rn −2 次在甲盒取”，“第 rn −2 次在乙盒取”， CBA r0 表示取 ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com） - 14 - 了 rn −2 次火柴，且第 rn −2 次是从甲盒中取的，即在前 12 −− rn 在甲盒中取了 1−n ，其余在乙盒中取。所以 2 1 2 1 2 1 1 12 )( 1 0 ⋅⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛⋅⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − −− = −− rnn r n rn CBAP 由对称性知 )()( 00 DBAPCBAP rr = ，所求概率为： =∪ )( 00 DBACBAP rr 12 0 2 1 1 12 )(2 −− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − −− = rn r n rn CBAP 第五章习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1. 设 是来自服从参数为 的泊松分布 的样本，试写出 样本的联合分布律。 2. 设 是来自 上的均匀分布的样本， 未知 （1）写出样本的联合密度函数； （2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？ （3）设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标 准差。 3. 查表求 ， ， ， 。 4. 设 ，求常数 ，使 。 5. 设 是来自正态总体 的样本，试证： （1） ； （2） 。 6. 设 是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个 都服从 。 （1）试给出常数 ，使得 服从 分布，并指出它的自由度； （2）试给出常数 ，使得 服从t 分布，并指出它的自由度。 7. 设 是取自总体 的一个样本，在下列三种情况下，分别求 ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com） - 15 - ：（1） ；（2） ；（3） ，其中 。 8. 某市有 100000个年满 18岁的居民，他们中 10%年收入超过 1万，20%受 过高等教育。今从中抽取 1600人的随机样本，求： （1）样本中不少于 11%的人年收入超过 1万的概率； （2）样本中 19%和 21%之间的人受过高等教育的概率。 9. 设总体 ，（1）抽取容量为 36的样本，求 ； （2）抽取容量为 64的样本，求 ； （3）取样本容量 n 多大时，才能使 。 10. 设总体 ， 皆未知，已知样本容量 ，样本均值 ，修正样本方差 ，求 。 11.设是 来自正态总体 ，容量为 的样 本，求下列统计量的抽样分布： （1） ； （2） ； （3） 。 12. 若 ，则 服从什么分布？ 13.设 是来自泊松分布 的一个样本， 与 分别为样本 均值与样本方差，试求 。 14. 某区有 25000户家庭，10%的家庭没有汽车，今有 1600户家庭的随 机样本，试求：9%~11%之间的样本家庭没有汽车的概率。 习题解答 1.1.1.1. 解 ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com） - 16 - 2. 解 （1） 0 其他 （2） 和 是， 和 不是。因为 和 中不含总体中的唯一未知参数 ，而 和 中含有未知参数 。 （3）样本均值 样本方差 样本 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差 。 3. 解 ， ， ， 。 4. 解 由 t分布关于纵轴对称，所以 即为 。 由附表 5.6可查得 ，所以 。 5.证明： （1） 独立同分布于 ，由 分布的定义， ，即 。 （2）易见， ，即 ，由 分布的定义， ， 即 。 6. 解 ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com） - 17 - （1）易见， 即为二个独立的服从 的随机变量平方和，服从 分 布，即 ；自由度为 2。 （2）由于 ，则 。 又 ， 与 相互独立，则 即 即 ，自由度为3。 7.解 （1） （2） ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com） - 18 - （3） ，其中 8. 解 （1）引入新变量： 1，第 个样本居民年收入超过 1 万 0，第 个样本居民年收入没超过 1万 其中 易见： 又因 ，故可以近似看成有放回抽样， 相互独立。 样本中年收入超过 1万的比例即为 ，由于 较大，可以使用渐近分布求 解，即 ，所求概率即为 （2）同（1）解法 引入新变量： 1，第 个样本居民受过高等教育 0，第 个样本居民未受过高等教育 其中 答：（1）样本中不少于 11%的人年收入超过 1万的概率为 0.0918； （2）样本中 19%和 21%之间的人受过高等教育的概率为0.6826。 ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com） - 19 - 9. 0.9916，0.8904，96。 10. 0.5。 11. (1) ；（2） ；（3） 。 12. 。 13. ， ， 。 14. 0.8164。 第六章习题 1. 设 是取自总体X 的一个样本，在下列情形下，试求总体参数 的矩估计与最大似然估计： （1） ，其中 未知， ； （2） ，其中 未知， 。 2. 设 是取自总体 X的一个样本，其中 X服从参数为 的泊松分 布，其中 未知， ，求 的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值 X 0 1 2 3 4 频数 17 20 10 2 1 求 的矩估计值与最大似然估计值。 3. 设 是取自总体 X的一个样本，其中 X 服从区间 的均匀 分布，其中 未知，求 的矩估计。 4. 设 是取自总体 X的一个样本，X 的密度函数为 其中 未知，求 的矩估计。 5. 设 是取自总体X 的一个样本，X的密度函数为 其中 未知，求 的矩估计和最大似然估计。 6. 设 是取自总体X 的一个样本，总体 X服从参数为 的几何分 布，即 ，其中 未知， ，求 的最大似然 估计。 7. 已知某路口车辆经过的时间间隔服从指数分布 ，其中 未知，现 在观测到六个时间间隔数据（单位：s）：1.8,3.2,4,8,4.5,2.5，试求该路口车 辆经过的平均时间间隔的矩估计值与最大似然估计值。 ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com） - 20 - 8. 设总体 X 的密度函数为 ，其中 未知， 设 是取自这个总体的一个样本，试求 的最大似然估计。 9. 在第 3题中 的矩估计是否是 的无偏估计？ 解 故 的矩估计量 是 的无偏估计。 10. 试证第 8题中 的最大似然估计是 的无偏估计。 11. 设 为总体 的样本，证明 都是总体均值 的无偏估计，并进一步判断哪一个估计有效。 12. 设 是取自总体 的一个样本，其中 未知， 令 ，试证 是 的相合估计。 13. 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径 X 服从正态分布 ，从某天生产的产品中随机抽取 6 个，量得直径如下（单位：mm）： 14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1，求 的 0.9双侧置信区间和 0.99双侧置信区 间。 14. 假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布 ， 未知。为 了合理的确定对该商品的进货量，需对 和 作估计，为此随机抽取七个月，其 销售量分别为：64，57，49，81，76，70，59，试求 的双侧0.95置信区间和 方差 的双侧 0.9 置信区间。 15. 随机地取某种子弹 9发作试验，测得子弹速度的 ，设子弹速度服 从正态分布 ，求这种子弹速度的标准差 和方差 的双侧 0.95置信区 间。 16. 已知某炼铁厂的铁水含碳量（1%）正常情况下服从正态分布 ， 且 标 准 差 。 现 测 量 五 炉 铁 水 ， 其 含 碳 量 分 别 是 ： 4.28,4.4,4.42,4.35,4.37（1%），试求未知参数 的单侧置信水平为 0.95的置 信下限和置信上限。 17. 某单位职工每天的医疗费服从正态分布 ，现抽查了 25天，得 元， 元，求职工每天医疗费均值 的双侧 0.95置信区间。 18. 某食品加工厂有甲乙两条加工猪肉罐头的生产线。设罐头质量服从正态 分布并假设甲生产线与乙生产线互不影响。从甲生产线并假设抽取 10只管头测 得其平均质量 ，已知其总体标准差 ；从乙生产线抽取 20只罐头 测得其平均质量 ，已知其总体标准差 ，求甲乙两条猪肉罐头生产 线生产罐头质量的均值差 的双侧 0.99置信区间。 ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com） - 21 - 19. 为了比较甲、乙两种显像管的使用寿命 X和 Y，随机的抽取甲、乙两种 显像管各 10 只，得数据 和 （单位： ），且由此算得 ， ，假定两种显像管的使用寿命 均服从正态分布，且由生产过程知道它们的方差相等。试求两个总体均值之差 的双侧 0.95置信区间。 20. 在 3091个男生，3581个女生组成的总体中，随机不放回地抽取 100人， 观察其中男生的成数，要求计算样本中男生成数的SE。 21. 抽取 1000人的随机样本估计一个大的人口总体中拥有私人汽车的人的 百分数，样本中有 543 人拥有私人汽车，（1）求样本中拥有私人汽车的人的百分 数的 SE；（2）求总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间。 习题解答 1. 解 （1） ，故 的矩估计量有 。 另，X的分布律为 ， 故似然函数为 对数似然函数为： 令 解得 的最大似然估计量 。 可以看出 的矩估计量与最大似然估计量是相同的。 （2） ，令 ，故 的矩估计量 。 另，X的密度函数为 故似然函数为 对数似然函数为 ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com） - 22 - 解得 的最大似然估计量 。 可以看出 的矩估计量与最大似然估计量是相同的。 2. 解 ，故 的矩估计量 。 由样本观测值可算得 另，X 的分布律为 故似然函数为 对数似然函数为 解得 的最大似然估计量 ， 故 的最大似然估计值 。 3. 解 ，令 ，故 的矩估计量 。 4. 解 ，令 ，故 的矩估计量为 。 5. 解 ，令 ，故 的矩估计量为 ，另，似然函数 对数似然函数为 ? ? ? ? ? w w w .h a c k