数字信号处理（2-5章） 课后答案 (郭永彩 廉飞宇 林晓钢 著) 重庆大学出版社

数字信号处理((((第二章习题)))) 参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ********************************************************第一次作业**************************************************************** 1111（8888） （此题按照周期序列的定义求解） 1 1 1 ( ) 2cos sin 2cos 4 8 6 x n n n nπ π π= + − 解：此序列周期为 48. 2222（15151515） ( 1)na u n− − − 解：① 时， ,系统具有因果性和稳定性。0a = ( ) 0h n = ② 时，0a ≠ 因果性：由于 时， ，故为非因果系统；1n ≤ − ( ) 0h n ≠ 稳定性： 1 ( ) ( 1) n n n n n s h n a u n a −∞ +∞ − =−∞ =−∞ =−∞ = = − − =∑ ∑ ∑ 时， ,为稳定系统；1a > s < +∞ ，为非稳定系统。1 s +a ≤ → ∞时， （16161616） ；（注意：此处 为虚数符号，不是变量！）( ) 2 n j u n ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ j 解：因果性： 时，为因果系统；0n < 时，h(n)=0 稳定性： ，为稳定系统。 0 ( ) ( ) 2 2 n n n n n j j s h n u n −∞ +∞ +∞ =−∞ =−∞ = ⎛ ⎞ = = =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ 3333（9999） ；（此题按照系统各个性质的定义求解即可）[ ]( ) ( ) n k T x n x k =−∞ = ∑ 解：非稳定、因果、线性、非时变系统； （11111111） ；（此题按照系统各个性质的定义求解即可）[ ]( ) ( ) ( ) k T x n x k x n k +∞ =−∞ = +∑ 解：非稳定、非因果、非线性、时变系统； 4.4.4.4. 已知 { { 0 0,,00, 0,( ) , ( ) , ( ) ( ) ( )n nn n nn Nothers othersh n x n y n x n h nβα − <≤ <= = = ∗求 解： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m y n x n h n x m h n m +∞ =−∞ = ∗ = −∑ 若要 ，则( ) 0y n ≠ {{ 0 00n m m nn m N n N m n≤ ≥≤ − < − < ≤⇒ 分情况讨论： ① 0 ( ) 0n n y n< =时， ② 0 0 0 0 0, ( ) n m n n m m n n N n n n n n N y n β α − − = − < ≤ ≤ < + = ∑即 时， ③ 00 0 1 , ( ) n m n n m m n N n n N n n N y n β α − − = − + ≤ − ≥ + = ∑即 时， 7.7.7.7. 已知 {1,0 10,( ) ( ), 0< 1, ( ) , ( ) ( ) ( )n n Nothersh n a u n a x n y n x n h n≤ ≤ −= < = = ∗其中 求 解： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m y n x n h n h m x n m +∞ =−∞ = ∗ = −∑ 若要 ，则( ) 0y n ≠ {{ 0 00 1 1m mn m N n N m n≥ ≥≤ − ≤ − − + ≤ ≤⇒ 分情况讨论： ① 0 ( ) 0n y n< =时， ② 1 0 1 1 1 0 , 1 ( ) 1 1 n n m m a n N n n N y n a a a + = − − + ≤ ≤ ≤ ≤ − = = ≈ − −∑即0 时， ③ 1 1 1 1 (1 ) 1 0, 1 ( ) 1 1 n N N n N n n m m n N a a a a n N n N y n a a a − + − + + = − + − − − + > ≥ − = = = − −∑即 时， ********************************************************第二次作业**************************************************************** 9999求下列序列的 ZZZZ变换、收敛域及零极点分布图。((((此处给出各题的计算过程及 参考答案,,,,各题对应的分布图请大家参照答案画出)))) （2222） 0.5 ( 1)nu n− − −（ ） 解： 1 n 1 X(z)= ( ) (0.5) ( 1) (0.5) (2 )n n n n n n n n n x n z u n z z z +∞ +∞ − +∞ − − − =−∞ =−∞ =−∞ = = − − − = − = −∑ ∑ ∑ ∑ 当 即 时， 收敛，此时 ，零点 ，极点 。2 1z < 1 2 z < ( )X z 2 ( ) 2 1 z X z z = − 0 o z = 1 2p z = 故此序列的收敛域为 ，零点 ，极点 。 1 2 z < 0 o z = 1 2p z = （4444） [ ]0.5 ( ) ( 10)n u n u n− −（ ） 解： [ ] 9 9 n 0 0 1 X(z)= ( ) (0.5) ( ) ( 10) (0.5) ( ) 2 n n n n n n n n n x n z u n u n z z z +∞ +∞ − − − =−∞ =−∞ = = = − − = =∑ ∑ ∑ ∑ 当 时， 收敛，此时 ，求得零点0z ≠ ( )X z 10 10 9 1 1 ( ) (2 ) 12( ) 1 (2 ) (2 1)1 ( ) 2 z z X z z z z − − = = −− ，（其中 k=1,…9,注意：k=0 时 zo=0.5,此项与分母中的（2z-1）消掉）， 2 101 2 j k o z e π = 有一个 9 阶极点 。0 p z = 故此序列的收敛域为 ，零点 ，（ k=1,…9）,9 阶极点 .0z ≠ 2 101 2 j k o z e π = 0 p z = （8888） 0cos( ) ( ),0 1 n Ar n u n rω ϕ+ < < 解： 0 0 n 0 X(z)= ( ) cos( ) ( ) cos( )n n n n n n n x n z Ar n u n z Ar n zω ϕ ω ϕ +∞ +∞ +∞ − − − =−∞ =−∞ = = + = +∑ ∑ ∑ 0 0 0 0 ( ) ( ) 1 1 0 0 0 ( ) ( ) 2 2 j n j n j j n n j n j n n n n e e A Ar z e re z e re z ω ϕ ω ϕ ω ω ϕ ϕ + − ++∞ +∞ +∞ −− − − − = = = + ⎡ ⎤ = = +⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ 当 时， 收敛，得到 ，0 0-1 11 1j jre z re zω ω− −< <且 ( )X z z r> 此 时 ， 求 得 零 点 0 0 0 0 0 1 1 cos cos( ) ( ) ( ) 2 1 1 ( )( ) j j j j j j z r A e e X z A re z re z z re z re ϕ ϕ ω ω ω ω ϕ ω ϕ − − −− − − − = + = − − − − ，有 2 个极点 .0 cos( ) coso r z ω ϕ ϕ − = 0 01 2, j j p p z re z re ω ω−= = 故此序列的收敛域为 ，零点 ，极点 .z r> 0 cos( ) coso r z ω ϕ ϕ − = 0 01 2, j j p p z re z re ω ω−= = （10101010） 1 ( ) ! u n n 解： 1 n 0 1 1 X(z)= ( ) ( ) ! ! n n n z n n x n z u n z z e n n − +∞ +∞ +∞ − − − =−∞ =−∞ = = = =∑ ∑ ∑ 故此序列的收敛域为不包含原点的整个复平面，极点 ，无零点。0 p z = （12121212） ，（提示：求导） 1 , 1n n ≥ 解： n 1 1 X(z)= ( ) n n n x n z z n +∞ +∞ − − =−∞ = =∑ ∑ 对 求一阶导数得X(z) ` 1 n 1 X (z)= - nz +∞ − − = ∑ 当 即 时， 收敛，此时1 1z− < 1z > `( )X z 2 ` 1 1 1 ( ) 1 1 z X z z z z − − = − = − − − 对 求积分得`X (z) `X(z)= (z)= ln ln( 1) ln 1 1 dz dz z X z z z z z − = − − = − −∫ ∫ ∫ 则有 2 个极点 ,无零点.1 20, 1p pz z= = 故此序列的收敛域为 ,极点 ,无零点.1z > 1 20, 1p pz z= = 10101010已知 ( ) x( )X z n求 （1111） 1 1 2 1 1 12( ) , 3 1 21 4 8 z X z z z z − − − − = > + + 解:利用部分分式法: 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 42 2( ) 3 1 1 1 1 1 1 (1 )(1 ) 1 1 4 8 4 2 4 2 z z X z z z z z z z − − − − − − − − − − − = = = + + + + + + + 由于收敛域为 ,为右边序列,则 1 2 z > 1 1 1 1 ( ) 3( ) ( ) 4( ) ( ) 3( ) 4( ) ( ) 4 2 4 2 n n n n x n u n u n u n ⎡ ⎤ = − − + − = − − + −⎢ ⎥⎣ ⎦ （6666） 1 1 1 ( ) , 1 (1 )(1 ) X z z z z − − = < − + 解:利用部分分式法: 1 1 1 1 1 1 1 2 2( ) (1 )(1 ) 1 1 X z z z z z − − − − = = + − + − + 由于收敛域为 ,为左边序列,则1z < 1 1 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1) 2 2 n n x n u n u n u n ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − − − − − − = − + − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ （10101010） 2 ( ) , 2 ( 1) ( 2) z X z z z z = > − − 解:利用留数法: 由逆 Z 变换定义: 1 1 ( ) ( ) 2 n c x n X z z dz jπ −= ∫ 有一个二阶极点 ,一个一阶极点( )X z 1 1pz = 2 2pz = 根据留数定理得: 1( ) ( ) c Pn i i x n X z z −⎡ ⎤= ⎣ ⎦∑ 在 内的极点 上的留数 = [ ] [ ]Res ( ),1 Res ( ), 2F z F z+ = ( )2 21 1 (2 1)! 2 1 n n z z z z z z == ′ ⎡ ⎤⎛ ⎞ + ⎢ ⎥⎜ ⎟− − −⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ = (n=0,1,2……)2 1n n− − = ( )2 1 ( )n n u n− − （11111111） 1 1 2 3 ( ) , 2 3 1 6 z X z z z z − − − − = < < + − 解:利用部分分式法: 1 1 2 1 1 3 1 1 ( ) 1 6 1 2 1 3 z X z z z z z − − − − − − = = − + − − + 由于收敛域为 ,则2 3z< < ( ) 2 ( ) ( 3) ( 1)n nx n u n u n= + − − − 18181818 求以下线性非移变系统的单位冲激响应,,,,并判断它是否为因果系统,,,,是否为稳 定系统.... (1)(1)(1)(1) 10 ( 1) ( ) ( 1) ( ) 3 y n y n y n x n− − + + = 对方程两边同时取 Z 变换得: 1 10 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 z Y z Y z zY z X z − − + = 则有 1 1 1 ( ) 1 3 1 1 ( ) 10 1( ) 8 1 3 1 3 3 Y z H z X z z z z z − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = = −⎜ ⎟ −⎜ ⎟− + − ⎝ ⎠ 则 有两个极点: , .( )H z 1 3pz = 2 1 3p z = ① , 系统为非因果非稳定系统; 1 3 1 , h(n)= - 3 ( 1) 3 8 3 n n z u n ⎡ ⎤⎛ ⎞ < − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ② , 系统为非因果稳定系统; 1 3 1 3, h(n)= 3 ( 1) ( ) 3 8 3 n n z u n u n ⎡ ⎤⎛ ⎞ < < − − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ③ , 系统为因果非稳定系统. 3 1 3, h(n)= 3 ( ) 8 3 n n z u n ⎡ ⎤⎛ ⎞ > −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ (2)(2)(2)(2) 5 ( 1) ( ) ( 1) ( ) 2 y n y n y n x n− − + + = 对方程两边同时取 Z 变换得: 1 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 z Y z Y z zY z X z − − + = 则有 1 1 1 ( ) 1 2 1 1 ( ) 5 1( ) 3 1 2 1 2 2 Y z H z X z z z z z − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = = −⎜ ⎟ −⎜ ⎟− + − ⎝ ⎠ 则 有两个极点: , .( )H z 1 2pz = 2 1 2p z = ① , 系统为非因果非稳定系统; 1 2 1 , h(n)= - 2 ( 1) 2 3 2 n n z u n ⎡ ⎤⎛ ⎞ < − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ② , 系统为非因果稳定系统; 1 2 1 2, h(n)= 2 ( 1) ( ) 2 3 2 n n z u n u n ⎡ ⎤⎛ ⎞ < < − − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ③ , 系统为因果非稳定系统. 2 1 2, h(n)= 2 ( ) 3 2 n n z u n ⎡ ⎤⎛ ⎞ > −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 数字信号处理((((第三章习题)))) 参考答案 3.3.3.3. 设 试求 ，并做图。5 6( ) ( ), ( ) (( )) ,x n R n x n x n= =% ( )X k% 解： 如图所示：( )x n% 0 1 2 3 4 6 7 8 9 105 11 ( )x n% n 5 21 5 4 3 23 3 3 0 0 0 3 5, 6 51 sin( ) [ ( )] ( ) ( ) 6 , 6 1 sin 6 j k N j kn j kn j kn N j k j k n n n k n e k X k DFS x n x n e x n e e e k n e k π π π π π π π π − − − − − − −= = = =⎧ ⎪ − ⎪ = = = = = = ⎨ ≠⎪− ⎪ ⎩ ∑ ∑ ∑% % % % 如下图所示：| ( )|X k% 0 1 2 3 4 6 7 8 9 105 11 | ( )|X k% 5 1 k 4.4.4.4. 设 ， ，令 试求 的周期 0 5 ( ) 0, n n x n ≤ ≤⎧ = ⎨ ⎩ ， 其他n 4 ( ) ( 2)h n R n= − 6 6( ) (( )) , ( ) (( )) ,x n x n h n h n= = %% ( ) ( )x n h n%% 与 卷积，并做图。 解： 1 0 y( ) ( ) ( ) N m n x m h n m − = = −∑ %% % 0 1 2 3 4 6 7 8 9 105 11 m ( )x m% 0 1 2 3 4 6 7 8 9 105 11 m ( )h m% 0 1 2 3 4 6 7 8 9 105 11 m ( )h m−% 0 1 2 3 4 5 n y ( )n% 5 10 15 1 5 0 0 10, 0 14, 1 12, 2 y( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10, 3 8, 4 6, 5 N m m n n n n x m h n m x m h n m n n n − = = =⎧ ⎪ =⎪ ⎪ = = − = − = ⎨ =⎪ ⎪ = ⎪ =⎩ ∑ ∑% %% % % 6.6.6.6. 已知 ....[ ( )] ( ), DFT[X(k)]DFT x n X k= 试求 解:::: 1 0 ( ) [ ( )] ( ) ,0 1 N nk N n X k DFT x n x n W k N − = = = ≤ ≤ −∑ 1 0 1 ( ) [ ( )] ( ) ,0 1 N nk N k x n IDFT X k X k W n N N − − = = = ≤ ≤ −∑ 则 1 1 0 0 1 [ ( )] ( ) [ ( ) ] ( ) N N nk nk N N n n DFT X k X k W N X k W N x N n N − − ∗ − ∗ = = = = × = × −∑ ∑ 7.7.7.7. 设有两个序列,,,, 和 ，试画出它们的六点圆周卷积.... 1 0 5 ( ) 0, n n x n + ≤ ≤⎧ = ⎨ ⎩ ， 其他n ( ) ( 2)h n nδ= − 解： y( ) ( )n x n= 1 0 5, 0 6, 1 1, 2 ( ) ( ) (( )) ( ) 2, 3 3, 4 4, 5 N N N m n n n h n x m h n m R n n n n − = =⎧ ⎪ =⎪ ⎪ =⎡ ⎤ = − = ⎨⎢ ⎥ =⎣ ⎦ ⎪ ⎪ = ⎪ =⎩ ∑ 0 1 2 3 4 5 n x( )m 0 1 2 3 4 5 n ( )h m N 0 1 2 3 4 5 n 6 6(( )) ( )h m R m− 0 1 2 3 4 5 n y( )n 8.8.8.8. 设序列 为 NNNN点有限长序列， 的傅里叶变换为 ，试用 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示下列序列的傅( )x n ( )x n ( )iX e ω ( )iX e ω 里叶变换::::① ;;;; ② ;;;; ③ ;;;;(2 )x n ( ) 2 n x ( )x n∗ 解: 已知 ，( ) [ ] ( ) 1 0 ( ) N j j n n X e DTFT x n x n e ω ω − − = = =∑ (((( )))) (((( )))) ω π π ωω deeXnx njj∫∫∫∫==== 2 02 1 ① ;;;; (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( )))) 2/)]2([ 11 21 1 0 21 1 0 πωωωω ωω πωπωπωπω ωω ωωωω ++++−−−− ++++−−−−++++−−−− −−−− ==== ++++−−−−++++ −−−−−−−− −−−− ==== −−−− ++++============ ==== ++++======== ++++==== ++++======== ∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ jj n njj jj n nj n nj N n njj jj n nj n nj N n njj eXeXenxnxFTeX eXeX enxenxenxeX eXeX enxenxenxeX 偶 奇偶 奇偶 - - - - ② ;;;;( ) 2 n x ( ) 2( 1) 1 2 2 0 0 ( ) ( ) 2 2 N N j n j m j n m n n DTFT x x e x m e X e ω ω ω − − − − = = ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = = =⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ③ ;;;;( )x n∗ 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) N N j n j n j n n DTFT x n x n e x n e X e ω ω ω ∗− − ∗ ∗ − ∗ ∗ − = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = = =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∑ ∑ 9.9.9.9. 设序列 为 NNNN点有限长序列， ,,,,现将它变为 2N2N2N2N点序列 y(n),y(n),y(n),y(n),( )x n ( ) [ ( )]X k DFT x n= ( ),0 1 ( ) 0, 2 1 x n n N y n N n N ≤ ≤ −⎧ = ⎨ ≤ ≤ −⎩ 试用 表示 y(n)y(n)y(n)y(n)的离散傅里叶变换 Y(k).Y(k).Y(k).Y(k).( )X k 解: 21 j N 0 1 ( ) ( ) ,0 1 N nk k x n X k e n N N π− = = ≤ ≤ −∑ 2 2 2 22 1 1 1 1 1 1 (2 ) 2 2 2 0 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N N N N N N j nk j nk j nm j nk j m k n N N N N N n n n m m n X m Y k y n e x n e X m e e e N N π π π π π− − − − − −− − − − = = = = = = ⎡ ⎤ = = = =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 14.14.14.14. 题图 3.33.33.33.3表示点数为 5555的有限长序列，试画出： 0 1 2 3 4 n ( )x n ⑴ 与 的线性卷积；( )x n ( )x n 解： 4 0 4 4 0 4 1,0 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, 4 8 0, m m n n y n x n x n x m x n m x n m n +∞ =−∞ = − ⎧ ≤ ≤⎪ ⎪ ⎪ = ∗ = − = − = < ≤⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∑ ∑ ∑ ∑ 其他 0 1 2 3 4 n x( )m 0-1-2-3-4 m ( )x m− 0 1 2 3 4 6 7 8 9 105 11 n ( )y n ⑵ 与 的 5555点圆周卷积；( )x n ( )x n 解： y( ) ( )n x n= 4 5 5 0 ( ) ( ) (( )) ( ) 5 m h n x m h n m R n = ⎡ ⎤ = − =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ 0 1 2 3 4 n x( )m 0 1 2 3 4 n 5 5(( )) ( )x m R m− 0 1 2 3 4 n ( )y n 5 ⑶ 与 的 10101010点圆周卷积。( )x n ( )x n N 解： y( ) ( )n x n= 9 10 10 0 ( ) ( ) (( )) ( ) m h n x m h n m R n = ⎡ ⎤ = −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ 0 1 2 3 4 6 7 8 95 m x( )m 0 1 2 3 4 6 7 8 95 m 10 10(( )) ( )x m R m− 0 1 2 3 4 6 7 8 95 n ( )y n N 数字信号处理((((第四章习题)))) 参考答案 1.1.1.1.计算序列 的 DFT.DFT.DFT.DFT.{ }x( ) 1,1, 1, 1n = − − 解：由 [ ] 1 0 ( ) ( ) ( ) , 0 1, N nk N n X k DFT x n x n W k N − = = = ≤ ≤ −∑ 其中 得 ,其中[ ] 3 0 ( ) ( ) ( ) nk N n X k DFT x n x n W = = =∑ 2 NW =e j N π − 则 , 2 2 2 3 2 32 3 4 4 4 2 2X(k)=1+W W W 1 1 k k j k j k j k j j k k k jk N N N e e e e e e π π π π π π − − − − −−− − = + − − = + − − 其中 .0 3k≤ ≤ 通过计算得: (0) 0, (1) 2 2 , (2) 0, (3) 2 2X X j X X j= = − = = + 2.2.2.2.计算序列 的 ZZZZ 变换,,,,并计算它在 处的频{ }x( ) 1,1, 1, 1,0,0,...n = − − 30, , , 2 2 π π ω π= 率,,,,它与上题算出的 DFTDFTDFTDFT相同吗???? 解： 0 1 2 3( ) ( ) n n X Z x n Z Z Z Z Z +∞ − − − =−∞ = = + − −∑ 令 ，则jZ e ω= 2 3( ) 1j j j jX e e e eω ω ω ω− − −= + − − ( )00 ,X 1 1 1 1 0jeω = = + − − =时 3 2 2 2,X 1 2 2 2 j j j j e e e e j π π π π π ω − −−⎛ ⎞= = + − − = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 时 ( ) 2 3,X 1 0j j j je e e eπ π π πω π − − −= = + − − =时 3 3 9 32 2 2 3 ,X 1 2 2 2 j j j j e e e e j π π π π π ω − −−⎛ ⎞= = + − − = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 时 对比上题中的结果，此序列在 处的频率与上题算出的 DFT 相同。 3 0, , , 2 2 π π ω π= 3.3.3.3.在计算一个序列的频谱时，已知在频谱中有两个峰，每个峰的宽度为 2rad2rad2rad2rad， 它们相距 10rad10rad10rad10rad，为使矩形窗的主瓣比这些峰距更窄，应取的点数是多少？ 解：矩形窗主瓣宽度为： 4 N π 令 ,得 ，取 4 10 N π < 4 1.26 10 N π > = 2N ≥ 4.4.4.4. 3333题中，如果两个峰相距 0.5rad0.5rad0.5rad0.5rad，则为了检测出这两个峰，所需的数据点最少 是多少？ 解：为了检测出这两个峰，需满足 , 解得 ,取 2 0.5 4 0.5 N N π π ⎧ ≤⎪⎪ ⎨ ⎪ ≤ ⎪⎩ 8 25.13N π≥ = 26N ≥ 5.5.5.5. 求 的频谱，再求 的频谱，其( ) 0.1 , 0t a x t e t −= ≥ ( ) 0.1 , 0.75, 0,1,2,...nTx n e T n−= = = 混叠效应明显吗？如果混叠明显该如何改进？ 解： 连续时间信号的频谱: ( ) ( ) ( ) (0.1 ) 0 1 0.1 j t j t a a a X j FT x t x t e dt e dt j +∞ +∞− Ω − + Ω −∞ Ω = = == =⎡ ⎤⎣ ⎦ + Ω∫ ∫ 离散信号的频谱: ( ) ( ) ( ) 0.1 (0.1 ) 0 1 1 j j n nT j n T j n n X e DTFT x n x n e e e e ω ω ω ω +∞ +∞ − − − − + =−∞ = = = = =⎡ ⎤⎣ ⎦ − ∑ ∑ 且 ( ) ( ) ( )1j a s k T X e DTFT x n X j jk T ω ω +∞ Ω= =−∞ = = Ω+ Ω⎡ ⎤⎣ ⎦ ∑ 是 的周期延拓,延拓周期( )jX e ω ( ) a X jΩ 2 8 3s T π πΩ = = 混叠明显,应减小 T。 6.6.6.6. 求 的 DFTDFTDFTDFT，它与上题的近似程度如何????( ) 0.1 , 0.75, 0,1,...7nTx n e T n−= = = 解： 有限长序列的傅立叶变换: ( ) ( ) ( ) 2 / (3 2 )1 7 7 0.5 /4 (0.5 /4) (0.375 /4) 0 0 0 1 1 j N N j k N nk Tn jk n T jk n N j k W e n n n e X K DFT x n x n W e e e e π π π π π − − +− − − − − − += = = = − = = = = =⎡ ⎤⎣ ⎦ −∑ ∑ ∑ 其中 ,0 7k≤ ≤ 采样周期变大,相似度降低. 9.9.9.9. 已知某序列的功率谱为 ,,,,试求其自相关序列和平均功率....( ) 1 cos x P ω ω= + 解：功率信号的自相关序列与其功率谱是一对傅立叶变换. 则 [ ] 1 1( ) ( ) (1 cos ) (1 ) 2 2 2 j j j n j n x x e e R n IDTFT P e d e d ω ω π π ω ω π π ω ω ω ω π π − − − + = = + = +∫ ∫ ( 1) ( 1)1 1 1 2( 1) 2( 1) sin sin( 1) sin( 1) 2( 1) 2( 1) 1, 0 1 , 1 2 0, j n j n j n e e e jn n j n j n n n n n n n n others ω π ω π ω π π π π π π π π π π + − − − −= + ++ − + − = + + + − =⎧ ⎪⎪ = = ±⎨ ⎪ ⎪⎩ 平均功率: 1 1 ( ) (1 cos ) 1 2 2x P P d d π π π π ω ω ω ω π π − − = = + =∫ ∫ 数字信号处理((((第五章习题)))) 参考答案 1.1.1.1.已知模拟滤波器的传递函数 ,,,,试用冲击响应不变法将( ) 3 ( 1)( 3)a H s s s = + + ( ) a H s 转换成数字传递函数 。((((设采样周期 ))))( )H z 0.5T = 解： ( ) 1 3 / 2 3 / 2 1 3 n k a k k A H s s s s s= − = = + − + +∑ 则 1 2 1 2 3 3 = - = -1 = -3 2 2 A A s s= ， ， ， 则 1 0.5 1 1.5 1 1 3 1 1 H(z)= 1 2 1 1k N k s T k A e z e z e z − − − − − = ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ∑ 2.2.2.2.若模拟滤波器的传递函数 ,,,,试用冲击响应不变法将( ) 2 2 22a s a H s s as a b + = + + + 转换成数字传递函数 。((((设采样周期为 T)T)T)T)( ) a H s ( )H z 解： ( ) 1 1/ 2 1/ 2n k a k k A H s s s s a jb s a jb= = = + − + + + −∑ 则 1 2 1 2 1 1 = = -(a+jb) = -(a-jb) 2 2 A A s s= ， ， ， 则 1 ( ) 1 ( ) 1 1 1 1 1 H(z)= 1 2 1 1k N k s T a jb T a jb T k A e z e z e z − − + − − − − = ⎛ ⎞ = +⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ∑ 3.3.3.3.设有一模拟滤波器 ,,,,采样周期 T=2T=2T=2T=2，试用冲击响应不变法和双( ) 2 1 1a H s s s = + + 线性变换法分布将其转变为数字滤波器。 解： ①冲激响应不变法 ( ) 1 / 3 / 3 1 3 1 3 2 2 n k a k k A j j H s s s j j s s = − = = + − + − + + ∑ 则 1 2 1 2 1 3 1 3 = - = - = - 2 23 3 j j j j A A s s + − = ， ， ， 则 1 (1 3 ) 1 (1 3 ) 1 1 1 1 H(z)= 1 3 1 1k N k s T j j k A j e z e z e z − − + − − − − = ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ∑ ②双线性变换法 将 ,T=2,带入 ，得 1 1 2 1 1 z s T z − − − = + ( ) 2 1 1a H s s s = + + 1 2 2 (1 ) ( ) 3 z H z z − − + = + 数字信号处理 第二章 作业 数字信号处理 第三章 作业 数字信号处理 第四章 作业 数字信号处理 第五章 作业