4功和能

第四章 功和能 （Work and Energy） 研究力在空间的积累效应─功、动能、势能、动能定理、机械能守恒定律。 要求： 1.深入理解以上概念，如它们是属于质点还是属于系统、与参考系有无关系等。 2.搞清规律的内容、来源、对象、成立条件、与参考系的关系等。 如：·功的计算是否依赖参考系？ ·势能是否与参考系有关？ ·某一惯性系中机械能守恒，是否在其它惯性系中也守恒？ ·摩擦生热是否与参考系选择有关？ 思考 以地面为参考系： 以m为参考系： f到底作不作功？摩擦生热从何而来? (§1 功（work） 功：力和力所作用的质点（或质元）的位移的标量积。 ·功依赖于参考系； ·功是标量，有正、负之分。 (§2 动能定理（kinetic energy theorem） ▲对质点，由牛顿第二定律，有动能定理： （对惯性系） ── 动能 ▲对质点系，有动能定理： 即 注意：内力虽成对出现，但内力功的和不一定为零（(各质点位移不一定相同）。 投影片 弹性碰撞，碰撞前后动能相等。 §3 一对力的功 一. 一对力 分别作用在两个物体上的大小相等、方向相反的力，我们称之为“一对力”。 一对力通常是作用力与反作用力，但也可以不是。如图示的 与 就不是作用力与反作用力，但仍是一对力。另外，一对力中的两个力也并不要求必须在同一直线上。 二. 一对力的功 ：m2相对于m1的元位移。 令：(1) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示初位形，即 m1在A1，m2在A2； (2)表示末位形，即 m1在B1，m2在B2 。 则： 说明： 1.W对 与参考系选取无关。为方便起见，计算时常认为其中一个质点静止，并以该质点所在位置为原点，再计算另一质点受力所做的功，这就是一对力的功。 2.一对滑动摩擦力的功恒小于零（摩擦生热是一对滑动摩擦力作功的结果）。 以地面为参考系： 以滑块为参考系： 3.在无相对位移或相对位移与一对力垂直 的情况下，一对力的功必为零。 上图中： ， ， ， ， 但 。 §4 保守力（conservative force） 一. 定义 如果一对力所做的功与相对移动的路径无关，而只决定于相互作用的物体的始末相对位置，这样的力称为保守力。 如图示，在(1)和(2)点间有路径 和路径 ，用积分上下限反映作功时沿路径的走向。对于保守力作功，必有： ∴ 即 （ 为相对元位移） 上式表明：保守力沿闭合路径一周所做的功为零。这一结论也可以作为保守力的定义，它和保守力的功与路径无关的定义是完全等价的。 二. 几种保守力 1. 万有引力： ( 如图示，质点M和m间有万有引力作用。认为M静止，且选M为原点，则M对m的万有引力为： 。 一对万有引力的功： 上式表明，一对万有引力的功与路径无关。所以万有引力是保守力。实际上，任何中心力 都是保守力。 2.弹力： （一维运动时） x ─ 对自然长度的增加量， k ─ 弹簧的劲度(stiffness)。 3.重力： 需要指明的是，严格地讲，重力并不是地球表面附近的万有引力。在第二章中已经指出，重力是地球表面附近的万有引力和惯性离心力的合力，在重力加速度 中已经考虑了惯性离心力的贡献。 三. 非保守力 作功与路径有关的力称为非保守力。例如： ·摩擦力（耗散力）：一对滑动摩擦力作功恒为负； ·爆炸力：作功为正。 §5 势能（potential energy） 利用保守力的功与路径无关的特点，可引入“势能”的概念。 一. 系统的势能 设两个以保守力相互作用的质点系统在位形（1）和（2）分别有势能Ep1和Ep2 。 定义 以上定义式表明，系统由位形（1）变到位形（2）的过程中，保守内力的功等于系统势能的减少（势能增量的负值）。 若规定系统在位形（0）的势能为零，即规定Ep 0 = 0 , 则系统在位形（1）的势能为： 说明：1.势能属于相互作用的系统； 2.势能不依赖于参考系的选择，但不可将势能零点的选择与参考系的选择相混淆。 二. 几种势能 1.万有引力势能 ， 令 ，则 。 2.重力势能 ， 令 ，则 。 3.弹性势能 ， x ─ 对自然长度的增加量， k ─ 弹簧的劲度（倔强系数）。 令 ，则 。 §6 由势能求保守力 一. 由势能函数求保守力 保守力的元功： ∴ EMBED Equation.2 这正是弹簧的弹力。 通常EP可以是几个坐标的函数，则 如 ， 则 称为EP的梯度(gradient)。 二. 由势能曲线求保守力 势能曲线上某点斜率的负值，就是该点对应的位置处质点所受的保守力。 以双原子分子势能曲线为例： ·r = r0时, 斜率 = 0 ，有 fr = 0。 ·r > r0时, 斜率 > 0 ，有 fr < 0, 力指向r减小的方向，是引力。 ·r < r0时 , 斜率 < 0 ，有 fr > 0, 力指向r增大的方向，是斥力。 §7 功能原理，机械能守恒定律 一. 功能原理（work-energy theorem） 对质点系有动能定理： 将内力分为保守内力与非保守内力，有： 由保守力的功和势能增量的关系： 有 引入系统的机械能 ，有： ─功能原理 ─功能原理 二. 机械能守恒定律 （ law of conservation of mechanical energy） 由功能原理，在只有保守内力作功的情况下，系统的机械能不变。即 ──机械能守恒定律 需要指明，根据功能原理的微分形式，机械能守恒的条件应是 。但是实际中 且 而又满足 的情况几乎是不存在的。所以从实际出发，机械能守恒的条件定为“只有保守内力作功”，也就是说过程中既要求 ，又要求 。 如果系统内各个质点间的作用力都是保守力，那么这样的系统称为保守系统。 一个不受外界作用的系统称为孤立系统（必然有 ）。显然，孤立的保守系统机械能守恒。 , 即 所以保守内力作功是系统的势能与动能之间转化的手段和度量。 三. 普遍的能量守恒定律 如考虑各种物理现象，计及各种能量，则一个孤立系统不管经历何种变化，系统所有能量的总和保持不变─普遍的能量守恒定律。 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围内的体现。 §8 守恒定律联合应用举例 [例1]如图示： 已知：m = 0.2kg, M=2kg, v = 4.9m/s 。 求：hmax=? 解：m + M + 地球： W外= 0，W内非 = 0（一对支持力）,故机械能守恒。 当h= h max时，M与m有相同的水平速度 。取地面Ep = 0，有： m + M：水平方向F外= 0，故水平方向动量守恒（竖直方向动量守恒否？） mv =（m+M）V (2) 由(1) (2)得 分析结果的合理性： ·单位对。 · ， 即 ，正确。 代入数据： 思考 这一过程中m和M对地面的压力是不是(m +M)g ？ [例2] 荡秋千原理分析（证明 ）。 分析：如图示，用m表示人的质心，一次完整的摆动由以下过程组成。 1→2：在摆角为 时，人迅速蹲下，使有效摆长 由 变为 。 2→3：人由静止下摆到摆绳几乎铅直的位置，速度为 （水平）。对（人+地球）系统，只有重力作功，机械能守恒。 （1） 3→4：人迅速站起，使有效摆长由 变为 ，人的摆动速度由 变为 。这个过程可以简化为在站起前后摆绳保持在铅直的位置。以人为对象，对O点 ，角动量守恒。 （2） 需要指出的是，人作为一个系统，在站立的过程中，非保守内力作功了，这样才得以使人摆动的动能增加。 4→5：上摆到人静止。对（人+地球）系统，只有重力作功，机械能守恒。 （3） （1）、（2）、（3）联立解得： ，得证。 §9 守恒定律的意义 自然界中许多物理量，如动量、角动量、机械能、电荷、质量、宇称、粒子反应中的重子数、轻子数等等，都具有相应的守恒定律。物理学特别注意守恒量和守恒定律的研究，这是因为： 第一，从方法论上看： 利用守恒定律可避开过程细节而对系统始、末态下结论（特点、优点）。 第二，从适用性来看： 守恒定律适用范围广，宏观、微观、高速、低速均适用。 第三，从认识世界来看： 守恒定律是认识世界的很有力的武器。在新现象研究中，当发现某个守恒定律不成立时，往往作以下考虑： 1 寻找被忽略的因素，从而恢复守恒定律的应用。如中微子的发现。 2 引入新概念，使守恒定律更普遍化（“补救”）。 3 无法“补救”时，宣布该守恒定律失效。如，弱相互作用宇称（parity）不守恒。 不论哪种情况，都是对自然界的认识上了新台阶。因此，守恒定律的发现、推广、甚至否定，都能对人类认识自然起到巨大的推动作用。 第四，从本质上看： 守恒定律揭示了自然界普遍的属性─对称性。 对称─在某种“变换”下的不变性。 每一个守恒定律都相应于一种对称性（变换不变性）： 动量守恒相应于空间平移的对称性； 能量守恒相应于时间平移的对称性； 角动量守恒相应于空间转动的对称性。 …… §10 质心系中的功能关系 一. 克尼希定理（K(nig theorem） 现在讨论质点系在某一惯性系中和在质心系中动能的关系。 S（惯性系）： ，质心C， ， ； S(（质心系）： ， ， 。 由 , 有： ∴ ─克尼希定理 克尼希定理表明，质点系对惯性系的动能等于质点系对质心系的动能与质心对惯性系的动能之和。 二. 质心系中的功能关系 设：S ─ 惯性系，S＇─ 质心系， S＇对S的速度为 ， S系中功能原理（微分形式）： ， （内力成对出现） ∴ 由此得到质心系S′中的功能原理： （微分形式） （积分形式） 同样，在质心系中机械能守恒定律为 这里我们看到，不管质心系是否为惯性系，也不管坐标系原点是否为质心，功能原理和机械能守恒定律都与惯性系中形式相同。这里再次显示出了质心系的特殊性。 三. 质心系中两质点系的动能 对两质点系统： 惯性系S: ； ； 质心速度 质心系S (：质点系动能 = ( 令 ─相对速度 ─约化质量(reduced mass) 则有 若 , 则 ， 对物体（m）─ 地球（Me）系统： Me >> m， ，质心系就是地心系， 对地，在地球─物体质心系中，物体和地球的总动能为： 上式表明，在地球─物体质心系中，物体和地球的总动能等于物体在地心系中的动能。这就是我们讨论地球─物体系统的能量问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 时，可以不考虑地球动能的道理。 [例]已知：质子质量为 ，质子间相互作用电势能为 ，e为质子电量，r为质子间距离，k为常量。今有两个质子从相距很远处，均以速率 相向运动。 求：二者能达到的最近距离 解：两质子间只有保守内力（静电力）作用（忽略万有引力，因为它远小于静电力），故其动能和静电势能之和守恒。 两质子的约化质量 。 在质心系中： 始态： ， ， 末态： ， ， 质心系中能量守恒关系式为： 由此解得 Δ§11碰撞 （书第二版第四章第11节） §12 两体问题 两体问题是指两个物体在相互作用下的运动问题，如： 粒子被原子核散射，行星绕太阳的运动（忽略其他星体的影响）等。这类问题可简化为单体问题处理。 如下图，O为惯性系中的坐标原点，设质点m1和m2间的作用力为中心力， ， ，由牛顿第二定律，有： （1） （2） ： 为 相对 的位矢， 为约化质量，于是上式成为： （3） （3）式为牛顿第二定律方程，它表明 相对于 的运动和一个质量为 的质点受同样的力而在固结于 的平动参考系中以 为原点的运动相同。这里固结于 的平动参考系和惯性系是等价的。 由于在惯性系中有关动量和能量的定理都是从牛顿第二定律导出的，所以，根据（3）式，对于两体问题中的一个质点相对于另一质点的运动，有关动量和能量的定理均适用，只要把前一质点的惯性质量改为约化质量就行了。 在前面§10的例题中，也可按二体问题处理。选其中的一个质子为原点。在与该质子固结在一起的平动参考系中，能量守恒关系式为： 这和在质心系中的能量守恒方程完全一致。 第四章结束 （本章编者：崔砚生） 质点力学小结提纲 一.质点力学线索框图（投影片） 二.解题的基本方法与步骤 1. 用牛顿定律解题 2. 用功能、动量、角动量及守恒定律解题 三.总结自己在哪些方面、哪些问题上较中 学有所提高 四.专题小结（例如惯性力、角动量、质心系…） 质点力学结束 地面 f ( m S F dr ( m ( 1 2 L r2 r1 o L=L1+L2 A2 z A1 B1 x m1 m2 r21 dr2 dr1 f2 f1 ( ( B2 × y × × × f′ S( 地面 f ( m S m 光滑 v12 M N′ v1 N L 2 1 v2 ( m1 ( m2 (2) (1) L2 L1 f r d r L1 L2 L1 L2 L1 L2 · · d r dr =r·d r ^ × × r m (1) (2) r2 r1 r ^ M l m ( f保l =f保 cos dl ( f保 r Ep r0 O O 5 l( 光滑 光滑 M v m hmax r × × × 斜率>0 斜率=0 斜率<0 θ × (( l( ( ( ( l ( m · · · · · · r O r1 r2 m2 m1 f2 f1 · · · f × f1 = - f2 f2 2 1 · × C vC vo′= vC mi Fi ri O O′ ri′ rO′ S S′ 1 2 3 4 L （积分形式） （微分形式） PAGE 27 _994316325.unknown _994340456.unknown _994342031.unknown _994342390.unknown _994342454.unknown _994342469.unknown _994399187.unknown _994662496.unknown _994342475.unknown _994342486.unknown _994342462.unknown _994342466.unknown _994342458.unknown _994342401.unknown _994342408.unknown _994342393.unknown _994342362.unknown _994342374.unknown _994342378.unknown _994342387.unknown _994342367.unknown _994342348.unknown _994342352.unknown _994342036.unknown _994340758.unknown _994341557.unknown _994341578.unknown _994341673.unknown _994341572.unknown _994340799.unknown 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