高三一轮复习讲座一 ---- 集合与简易逻辑
一、复习要求
1、 理解集合及表示法,掌握子集,全集与补集,子集与并集的定义;
2、 掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法;
3、 理解逻辑联结词的含义,会熟练地转化四种命MATCH_
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_1716302558942_1,掌握反证法;
4、 理解充分条件,必要条件及充要条件的意义,会判断两个命题的充要关系;
5、学会用定义解题,理解数形结合,分类讨论及等价变换等思想方法。
二、学习指导
1、集合的概念:
(1) 集合中元素特征,确定性,互异性,无序性;
(2) 集合的分类:
1 按元素个数分:有限集,无限集;
②按元素特征分;数集,点集。如数集{y|y=x2},表示非负实数集,点集{(x,y)|y=x2}表示开口向上,以y轴为对称轴的抛物线;
(3) 集合的表示法:
①列举法:用来表示有限集或具有显著规律的无限集,如N+={0,1,2,3,…};②描述法。
2、两类关系:
(1) 元素与集合的关系,用
或
表示;
(2)集合与集合的关系,用
,
,=表示,当A
B时,称A是B的子集;当A
B时,称A是B的真子集。
3、集合运算
(1)交,并,补,定义:A∩B={x|x∈A且x∈B},A∪B={x|x∈A,或x∈B},CUA={x|x∈U,且x
A},集合U表示全集;
(2) 运算律,如A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB),
CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)等。
4、命题:
(1) 命题分类:真命题与假命题,简单命题与复合命题;
(2) 复合命题的形式:p且q,p或q,非p;
(3)复合命题的真假:对p且q而言,当q、p为真时,其为真;当p、q中有一个为假时,其为假。对p或q而言,当p、q均为假时,其为假;当p、q中有一个为真时,其为真;当p为真时,非p为假;当p为假时,非p为真。
(3)四种命题:记“若q则p”为原命题,则否命题为“若非p则非q”,逆命题为“若q则p“,逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假,即等价。因此,四种命题为真的个数只能是偶数个。
5、 充分条件与必要条件
(1)定义:对命题“若p则q”而言,当它是真命题时,p是q的充分条件,q是p的必要条件,当它的逆命题为真时,q是p的充分条件,p是q的必要条件,两种命题均为真时,称p是q的充要条件;
(2)在判断充分条件及必要条件时,首先要分清哪个命题是条件,哪个命题是结论,其次,结论要分四种情况说明:充分不必要条件,必要不充分条件,充分且必要条件,既不充分又不必要条件。从集合角度看,若记满足条件p的所有对象组成集合A,满足条件q的所有对象组成集合q,则当A
B时,p是q的充分条件。B
A时,p是q的充分条件。A=B时,p是q的充要条件;
(3) 当p和q互为充要时,体现了命题等价转换的思想。
6、 反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。
7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。
三、典型例题
例1、已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},求M∩N。
解题思路分析:
在集合运算之前,首先要识别集合,即认清集合中元素的特征。M、N均为数集,不能误认为是点集,从而解方程组。其次要化简集合,或者说使集合的特征明朗化。M={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1},N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}
∴ M∩N=M={y|y≥1}
说明:实际上,从函数角度看,本题中的M,N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地,集合{y|y=f(x),x∈A}应看成是函数y=f(x)的值域,通过求函数值域化简集合。此集合与集合{(x,y)|y=x2+1,x∈R}是有本质差异的,后者是点集,表示抛物线y=x2+1上的所有点,属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关,例{y|y≥1}={x|x≥1}。
例2、已知集合A={x|x2-3x+2=0},B+{x|x2-mx+2=0},且A∩B=B,求实数m范围。
解题思路分析:
化简条件得A={1,2},A∩B=B
B
A
根据集合中元素个数集合B分类讨论,B=φ,B={1}或{2},B={1,2}
当B=φ时,△=m2-8<0
∴
当B={1}或{2}时,
,m无解
当B={1,2}时,
∴ m=3
综上所述,m=3或
说明:分类讨论是中学数学的重要思想,全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面,如本题当B={1}或{2}时,不能遗漏△=0。
例3、用反证法证明:已知x、y∈R,x+y≥2,求 证x、y中至少有一个大于1。
解题思路分析:
假设x<1且y<1,由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y≥2矛盾
∴ 假设不成立
∴ x、y中至少有一个大于1
说明;反证法的理论依据是:欲证“若p则q”为真,先证“若p则非q”为假,因在条件p下,q与非q是对立事件(不能同时成立,但必有一个成立),所以当“若p则非q”为假时,“若p则q”一定为真。
例4、若A是B的必要而不充分条件,C是B的充要条件,D是C的充分而不必要条件,判断D是A的什么条件。
解题思路分析:
利用“
”、“
”符号分析各命题之间的关系
D
C
B
A
∴ D
A,D是A的充分不必要条件
说明:符号“
”、“
”具有传递性,不过前者是单方向的,后者是双方向的。
例5、求直线:ax-y+b=0经过两直线1:2x-2y-3=0和2:3x-5y+1=0交点的充要条件。
解题思路分析:
从必要性着手,分充分性和必要性两方面证明。
由
得1,2交点P(
)
∵ 过点P
∴
∴ 17a+4b=11
充分性:设a,b满足17a+4b=11
∴
代入方程:
整理得:
此方程表明,直线恒过两直线
的交点(
)
而此点为1与2的交点
∴ 充分性得证
∴ 综上所述,命题为真
说明:关于充要条件的证明,一般有两种方式,一种是利用“
”,双向传输,同时证明充分性及必要性;另一种是分别证明必要性及充分性,从必要性着手,再检验充分性。
四、同步练习
(1) 选择题
1、 设M={x|x2+x+2=0},a=lg(lg10),则{a}与M的关系是
A、{a}=M B、M
{a} C、{a}
M D、M
{a}
2、 已知全集U=R,A={x|x-a|<2},B={x|x-1|≥3},且A∩B=φ,则a的取值范围是
A、 [0,2] B、(-2,2) C、(0,2] D、(0,2)
3、 已知集合M={x|x=a2-3a+2,a∈R},N、{x|x=b2-b,b∈R},则M,N的关系是
A、 M
N B、M
N C、M=N D、不确定
4、设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z,且|x|≤5},则A∪B中的元素个数是
A、11 B、10 C、16 D、15
5、集合M={1,2,3,4,5}的子集是
A、15 B、16 C、31 D、32
6、对于命题“正方形的四个内角相等”,下面判断正确的是
A、所给命题为假 B、它的逆否命题为真
C、它的逆命题为真 D、它的否命题为真
7、“α≠β”是cosα≠cosβ”的
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
8、集合A={x|x=3k-2,k∈Z},B={y|y=3+1,∈Z},S={y|y=6m+1,m∈Z}之间的关系是
A、S
B
A B、S=B
A C、S
B=A D、S
B=A
9、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是
A、0
表格
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,解析式和图象。其中解析式是最常见的表现形式。求已知类型函数解析式的方法是待定系数法,抽象函数的解析式常用换元法及凑合法。
求函数值域是函数中常见问题,在初等数学范围内,直接法的途径有单调性,基本不等式及几何意义,间接法的途径为函数与方程的思想,表现为△法,反函数法等,在高等数学范围内,用导数法求某些函数最值(极值)更加方便。
在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题,它的一种典型处理方法就是建立函数解析式,借助于求函数值域的方法。
2、函数的通性
(1)奇偶性:函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件,在利用定义判断时,应在化简解析式后进行,同时灵活运用定义域的变形,如
,
(f(x)≠0)。
奇偶性的几何意义是两种特殊的图象对称。
函数的奇偶性是定义域上的普遍性质,定义式是定义域上的恒等式。
利用奇偶性的运算性质可以简化判断奇偶性的步骤。
(2)单调性:研究函数的单调性应结合函数单调区间,单调区间应是定义域的子集。
判断函数单调性的方法:①定义法,即比差法;②图象法;③单调性的运算性质(实质上是不等式性质);④复合函数单调性判断法则。
函数单调性是单调区间上普遍成立的性质,是单调区间上恒成立的不等式。
函数单调性是函数性质中最活跃的性质,它的运用主要体现在不等式方面,如比较大小,解抽象函数不等式等。
(3)周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归思想的重要手段。
求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|。
(4)反函数:函数是否是有反函数是函数概念的重要运用之一,在求反函数之前首先要判断函数是否具备反函数,函数f(x)的反函数f-1(x)的性质与f(x)性质紧密相连,如定义域、值域互换,具有相同的单调性等,把反函数f-1(x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想。
设函数f(x)定义域为A,值域为C,则
f-1[f(x)]=x,x∈A
f[f-1(x)]=x,x∈C
8、 函数的图象
函数的图象既是函数性质的一个重要方面,又能直观地反映函数的性质,在解题过程中,充分发挥图象的工具作用。
图象作法:①描点法;②图象变换。应掌握常见的图象变换。
4、本单常见的初等函数;一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数。在具体的对应法则下理解函数的通性,掌握这些具体对应法则的性质。分段函数是重要的函数模型。
对于抽象函数,通常是抓住函数特性是定义域上恒等式,利用赋值法(变量代换法)解题。联系到具体的函数模型可以简便地找到解题思路,及解题突破口。
应用题是函数性质运用的重要题型。审清题意,找准数量关系,把握好模型是解应用题的关键。
5、主要思想方法:数形结合,分类讨论,函数方程,化归等。
三、典型例题
例1、已知
,函数y=g(x)图象与y=f-1(x+1)的图象关于直线y=x对称,求g(11)的值。
分析:
利用数形对应的关系,可知y=g(x)是y=f-1(x+1)的反函数,从而化g(x)问题为已知f(x)。
∵ y=f-1(x+1)
∴ x+1=f(y)
∴ x=f(y)-1
∴ y=f-1(x+1)的反函数为y=f(x)-1
即 g(x)=f(x)-1
∴ g(11)=f(11)-1=
评注:函数与反函数的关系是互为逆运算的关系,当f(x)存在反函数时,若b=f(a),则a=f-1(b)。
例2、设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,对一切x∈R均有f(x)+f(x+2)=0,当-10时,f(x)>1,且对任意的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b),
(1) 求证:f(0)=1;
(2) 求证:对任意的x∈R,恒有f(x)>0;
(3) 证明:f(x)是R上的增函数;
(4) 若f(x)·f(2x-x2)>1,求x的取值范围。
分析:
(1) 令a=b=0,则f(0)=[f(0)]2
∵ f(0)≠0
∴ f(0)=1
(2) 令a=x,b=-x
则 f(0)=f(x)f(-x)
∴
由已知x>0时,f(x)>1>0
当x<0时,-x>0,f(-x)>0
∴
又x=0时,f(0)=1>0
∴ 对任意x∈R,f(x)>0
(3) 任取x2>x1,则f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0
∴
∴ f(x2)>f(x1)
∴ f(x)在R上是增函数
(4) f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)
又1=f(0),f(x)在R上递增
∴ 由f(3x-x2)>f(0)得:3x-x2>0
∴ 0b>c B、a>c>b C、b>c>a D、c>b>a
2、方程
(a>0且a≠1)的实数解的个数是
A、0 B、1 C、2 D、3
3、
的单调减区间是
A、(-∞,1) B、(1,+∞) C、(-∞,-1)∪(1,+∞) D、(-∞,+∞)
9、 函数
的值域为
A、 (-∞,3] B、(-∞,-3] C、(-3,+∞) D、(3,+∞)
10、 函数y=log2|ax-1|(a≠b)的图象的对称轴是直线x=2,则a等于
A、
B、
C、2 D、-2
6、有长度为24的材料用一矩形场地,中间加两隔墙,要使矩形的面积最大,则隔壁的长度为
A、 3 B、4 C、6 D、12
(2) 填空题
7、已知定义在R的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当0≤x≤1时,f(x)=x,则
=__________。
8、 已知y=loga(2-x)是x的增函数,则a的取值范围是__________。
9、 函数f(x)定义域为[1,3],则f(x2+1)的定义域是__________。
10、函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是__________。
11、已知f(x)=log3x+3,x∈[1,9],则y=[f(x)]2+f(x2)的最大值是__________。
12、已知A={y|y=x2-4x+6,y∈N},B={y|y=-x2-2x+18,y∈N},则A∩B中所有元素的和是__________。
13、若φ(x),g(x)都是奇函数,f(x)=mφ(x)+ng(x)+2在(0,+∞)上有最大值,则f(x)在(-∞,0)上最小值为__________。
14、函数y=log2(x2+1)(x>0)的反函数是__________。
15、求值:
=__________。
(3) 解答题
16、若函数
的值域为[-1,5],求a,c。
17、设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)3;
(2) 求a的取值范围。
高三一轮复习讲座三 ----数 列
一、复习要求
11、 等差数列及等比数列的定义,通项公式,前n项和公式及性质;
2、一般数列的通项及前n项和计算。
二、学习指导
1、数列,是按照一定顺序排列而成的一列数,从函数角度看,这种顺序法则就是函数的对应法则,因此数列可以看作是一个特殊的函数,其特殊性在于:第一,定义域是正整数集或其子集;第二,值域是有顺序的,不能用集合符号表示。
研究数列,首先研究对应法则——通项公式:an=f(n),n∈N+,要能合理地由数列前n项写出通项公式,其次研究前n项和公式Sn:Sn=a1+a2+…an,由Sn定义,得到数列中的重要公式:
。
一般数列的an及Sn,,除化归为等差数列及等比数列外,求Sn还有下列基本题型:列项相消法,错位相消法。
2、等差数列
(1)定义,{an}为等差数列
an+1-an=d(常数),n∈N+
2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N+);
(2)通项公式:an=an+(n-1)d,an=am+(n-m)d;
前n项和公式:
;
(3)性质:an=an+b,即an是n的一次型函数,系数a为等差数列的公差;
Sn=an2+bn,即Sn是n的不含常数项的二次函数;
若{an},{bn}均为等差数列,则{an±nn},{
},{kan+c}(k,c为常数)均为等差数列;
当m+n=p+q时,am+an=ap+aq,特例:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…;
当2n=p+q时,2an=ap+aq;
当n为奇数时,S2n-1=(2n-1)an;S奇=
a中,S偶=
a中。
3、等比数列
(1) 定义:
=q(q为常数,an≠0);an2=an-1an+1(n≥2,n∈N+);
(2) 通项公式:an=a1qn-1,an=amqn-m;
前n项和公式:
;
(3) 性质
当m+n=p+q时,aman=apaq,特例:a1an=a2an-1=a3an-2=…,
当2n=p+q时,an2=apaq,数列{kan},{
}成等比数列。
4、等差、等比数列的应用
(1)基本量的思想:常设首项、公差及首项、公比为基本量,借助于消元思想及解方程组思想等;
(2)灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质,简化计算;
(3)若{an}为等差数列,则{
}为等比数列(a>0且a≠1);
若{an}为正数等比数列,则{logaan}为等差数列(a>0且a≠1)。
三、典型例题
例1、已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,其中
,
,…,
恰为等比数列,若k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+…+kn。
解题思路分析:
从寻找新、旧数列的关系着手
设{an}首项为a1,公差为d
∵ a1,a5,a17成等比数列
∴ a52=a1a17
∴(a1+4d)2=a1(a1+16d)
∴ a1=2d
设等比数列公比为q,则
对
项来说,
在等差数列中:
在等比数列中:
∴
∴
注:本题把k1+k2+…+kn看成是数列{kn}的求和问题,着重分析{kn}的通项公式。这是解决数列问题的一般方法,称为“通项分析法”。
例2、设数列{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{
}的前n项和,求Tn。
解题思路分析:
法一:利用基本元素分析法
设{an}首项为a1,公差为d,则
∴
∴
∴
此式为n的一次函数
∴ {
}为等差数列
∴
法二:{an}为等差数列,设Sn=An2+Bn
∴
解之得:
∴
,下略
注:法二利用了等差数列前n项和的性质
例3、正数数列{an}的前n项和为Sn,且
,求:
(1) 数列{an}的通项公式;
(2) 设
,数列{bn}的前n项的和为Bn,求证:Bn
.
解题思路分析:
(I) 涉及到an及Sn的递推关系,一般都用an=Sn-Sn-1(n≥2)消元化归。
∵
∴ 4Sn=(an+1)2
∴ 4Sn-1=(an-1+1)2(n≥2)
∴ 4(Sn-Sn-1)=(an+1)2-(an-1+1)2
∴ 4an=an2-an-12+2an-2an-1
整理得:(an-1+an)(an-an-1-2)=0
∵ an>0
∴ an-an-1=2
∴ {an}为公差为2的等差数列
在
中,令n=1,a1=1
∴ an=2n-1
(II)
∴
注:递推是学好数列的重要思想,例本题由4Sn=(an+1)2推出4Sn-1=(an-1+1)2,它其实就是函数中的变量代换法。在数列中一般用n-1,n+1等去代替n,实际上也就是说已知条件中的递推关系是关于n的恒等式,代换就是对n赋值。
例4、等差数列{an}中,前m项的和为77(m为奇数),其中偶数项的和为33,且a1-am=18,求这个数列的通项公式。
分析:
利用前奇数项和和与中项的关系
令m=2n-1,n∈N+
则
∴
∴ n=4
∴ m=7
∴ an=11
∴ a1+am=2an=22
又a1-am=18
∴ a1=20,am=2
∴ d=-3
∴ an=-3n+23
例5、设{an}是等差数列,
,已知b1+b2+b3=
,b1b2b3=
,求等差数列的通项an。
解题思路分析:
∵ {an}为等差数列
∴ {bn}为等比数列
从求解{bn}着手
∵ b1b3=b22
∴ b23=
∴ b2=
∴
∴
或
∴
或
∵
∴
∴ an=2n-3 或 an=-2n+5
注:本题化归为{bn}求解,比较简单。若用{an}求解,则运算量较大。
例6、已知{an}是首项为2,公比为
的等比数列,Sn为它的前n项和,
(1) 用Sn表示Sn+1;
(2) 是否存在自然数c和k,使得
成立。
解题思路分析:
(1)∵
∴
(2)
(*)
∵
∴
∴ 式(*)
①
∵ Sk+1>Sk
∴
又Sk<4
∴ 由①得:c=2或c=3
当c=2时
∵ S1=2
∴ k=1时,c
方案
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如下:首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相等)从大到小,由1到n排序,第1位职工得资金
元,然后再将余额除以n发给第2位职工,按此方法将资金逐一发给每位职工,并将最后剩余部分作为公司发展基金。
(1)设ak(1≤k≤n)为第k位职工所得资金额,试求a2,a3,并用k,n和b表示ak(不必证明);
(2)证明:ak0,d=
∴ {an}是递减数列,且Sn必为最大值
设
∴
∴
∴ k=14
∴ (Sn)max=S14=14.35
四、同步练习
(1) 选择题
1、已知a,b,a+b成等差数列,a,b,ab成等比数列,且01 B、18 D、08
2、设a>0,b>0,a,x1,x2,b成等差数列,a,y1,y2,b成等比数列,则x1+x2与y1+y2的大小关系是
A、x1+x2≤y1+y2 B、x1+x2≥y1+y2
C、x1+x2y1+y2
12、 已知Sn是{an}的前n项和,Sn=Pn(P∈R,n∈N+),那么数列{an}
A、 是等比数列 B、当P≠0时是等比数列
C、 当P≠0,P≠1时是等比数列 D、不是等比数列
13、 {an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5等于
A、5 B、10 C、15 D、20
14、 已知a,b,c成等差数列,则二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴交点个数是
A、 0 B、1 C、2 D、1或2
15、 设m∈N+,log2m的整数部分用F(m)表示,则F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是
A、 8204 B、8192 C、9218 D、8021
7、若x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a≠b)的四个根可组成首项为
的等差数列,则a+b的值为
A、
B、
C、
D、
8、 在100以内所有能被3整除但不能被7整除的正整数和是
A、1557 B、1473 C、1470 D、1368
9、从材料工地运送电线杆到500m以外的公路,沿公路一侧每隔50m埋栽一根电线杆,已知每次最多只能运3根,要完成运载20根电线杆的任务,最佳方案是使运输车运行
A、 11700m B、14700m C、14500m D、14000m
10、已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使前n项和Sn取最大值的正整数n是
A、4或5 B、5或6 C、6或7 D、8或9
(2) 填空题
11、已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2),则它的前n项和Sn=______。
12、设等差数列{an}共有3n项,它的前2n项之和为100,后2n项之和为200,则该等差数列的中间n项的和等于________。
13、设数列{an},{bn}(bn>0),n∈N+满足
(n∈N+),则{an}为等差数列是{bn}为等比数列的________条件。
14、长方体的三条棱成等比数列,若体积为216cm3,则全面积的最小值是______cm2。
15、若不等于1的三个正数a,b,c成等比数列,则(2-logba)(1+logca)=________。
(3) 解答题
16、已知一个等比数列首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,求这个数列的公比和项数。
17、已知等比数列{an}的首项为a1>0,公比q>-1(q≠1),设数列{bn}的通项bn=an+1+an+2(n∈N+),数列{an},{bn}的前n项和分别记为An,Bn,试比较An与Bn大小。
18、数列{an}中,a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1-an(n∈N+)
(1) 求数列{an}通项公式;
(2) 设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Sn;
(3) 设
(n∈N+)Tn=b1+b2+…+bn,是否存在最大的整数m,使得对于任意的n∈N+,均有
成立?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由。
高三一轮复习讲座四 ----三角函数
一、复习要求
16、 三角函数的概念及象限角、弧度制等概念;
2、三角公式,包括诱导公式,同角三角函数关系式和差倍半公式等;
3、三角函数的图象及性质。
二、学习指导
1、角的概念的推广。从运动的角度,在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。这样一来,在直角坐标系中,当角的终边确定时,其大小不一定(通常把角的始边放在x轴正半轴上,角的顶点与原点重合,下同)。为了把握这些角之间的联系,引进终边相同的角的概念,凡是与终边α相同的角,都可以表示成k·3600+α的形式,特例,终边在x轴上的角集合{α|α=k·1800,k∈Z},终边在y轴上的角集合{α|α=k·1800+900,k∈Z},终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k·900,k∈Z}。
在已知三角函数值的大小求角的大小时,通常先确定角的终边位置,然后再确定大小。
弧度制是角的度量的重要表示法,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度制。在弧度制下,扇形弧长公式=|α|R,扇形面积公式
,其中α为弧所对圆心角的弧度数。
2、利用直角坐标系,可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。三角函数定义是本章重点,从它可以推出一些三角公式。重视用数学定义解题。
设P(x,y)是角α终边上任一点(与原点不重合),记
,则
,
,
,
。
利用三角函数定义,可以得到(1)诱导公式:即
与α之间函数值关系(k∈Z),其规律是“奇变偶不变,符号看象限”;(2)同角三角函数关系式:平方关系,倒数关系,商数关系。
3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式,诱导公式是和差公式的特例,对公式要熟练地正用、逆用、变用。如倍角公式:cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α,变形后得
,可以作为降幂公式使用。
三角变换公式除用来化简三角函数式外,还为研究三角函数图象及性质做准备。
4、三角函数的性质除了一般函数通性外,还出现了前面几种函数所没有的周期性。周期性的定义:设T为非零常数,若对f(x)定义域中的每一个x,均有f(x+T)=f(x),则称T为f(x)的周期。当T为f(x)周期时,kT(k∈Z,k≠0)也为f(x)周期。
三角函数图象是性质的重要组成部分。利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法,熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。
5、本章思想方法
(1) 等价变换。熟练运用公式对问题进行转化,化归为熟悉的基本问题;
(2) 数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题;
(3) 分类讨论。
三、典型例题
例1、 已知函数f(x)=
(1) 求它的定义域和值域;
(2) 求它的单调区间;
(3) 判断它的奇偶性;
(4) 判断它的周期性。
分析:
(1)x必须满足sinx-cosx>0,利用单位圆中的三角函数线及
,k∈Z
∴ 函数定义域为
,k∈Z
∵
∴ 当x∈
时,
∴
∴
∴ 函数值域为[
)
(3)∵ f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称
∴ f(x)不具备奇偶性
(4)∵ f(x+2π)=f(x)
∴ 函数f(x)最小正周期为2π
注;利用单位圆中的三角函数线可知,以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为
标准
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,可区分sinx-cosx的符号;
以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准,可区分sinx+cosx的符号,如图。
例2、 化简
,α∈(π,2π)
分析:
凑根号下为完全平方式,化无理式为有理式
∵
∴ 原式=
∵ α∈(π,2π)
∴
∴
当
时,
∴ 原式=
当
时,
∴ 原式=
∴ 原式=
注:
1、本题利用了“1”的逆代技巧,即化1为
,是欲擒故纵原则。一般地有
,
,
。
2、三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一,引进辅助角,将它化为
(取
)是常用变形手段。特别是与特殊角有关的sin±cosx,±sinx±
cosx,要熟练掌握变形结论。
例3、 求
。
分析:
原式=
注:在化简三角函数式过程中,除利用三角变换公式,还需用到代数变形公式,如本题平方差公式。
例4、已知00<α<β<900,且sinα,sinβ是方程
EMBED Equation.3 =0的两个实数根,求sin(β-5α)的值。
分析:
由韦达定理得sinα+sinβ=
cos400,sinαsinβ=cos2400-
∴ sinβ-sinα=
又sinα+sinβ=
cos400
∴
∵ 00<α<β< 900
∴
∴ sin(β-5α)=sin600=
注:利用韦达定理变形寻找与sinα,sinβ相关的方程组,在求出sinα,sinβ后再利用单调性求α,β的值。
例5、(1)已知cos(2α+β)+5cosβ=0,求tan(α+β)·tanα的值;
(2)已知
,求
的值。
分析:
(1) 从变换角的差异着手。
∵ 2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)-α
∴ 8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0
展开得:
13cos(α+β)cosα-3sin(α+β)sinα=0
同除以cos(α+β)cosα得:tan(α+β)tanα=
(2) 以三角函数结构特点出发
∵
∴
∴ tanθ=2
∴
注;齐次式是三角函数式中的基本式,其处理方法是化切或降幂。
例6、已知函数
(a∈(0,1)),求f(x)的最值,并讨论周期性,奇偶性,单调性。
分析:
对三角函数式降幂
∴ f(x)=
令
则 y=au
∴ 00,φ>0),在一个周期内,当x=
时,ymax=2;当x=
时,ymin=-2,则此函数解析式为
A、
B、
C、
D、
4、已知
=1998,则
的值为
A、1997 B、1998 C、1999 D、2000
5、已知tanα,tanβ是方程
两根,且α,β
,则α+β等于
A、
B、
或
C、
或
D、
6、若
,则sinx·siny的最小值为
A、-1 B、-
C、
D、
7、函数f(x)=3sin(x+100)+5sin(x+700)的最大值是
A、5.5 B、6.5 C、7 D、8
8、若θ∈(0,2π],则使sinθβ,则sinα>sinβ
B、 函数y=sinx·cotx的单调区间是
,k∈Z
C、 函数
的最小正周期是2π
D、 函数y=sinxcos2φ-cosxsin2x的图象关于y轴对称,则
,k∈Z
10、 函数
的单调减区间是
A、
B、
B、
D、
k∈Z
(2) 填空题
11、 函数f(x)=sin(x+θ)+
cos(x-θ)的图象关于y轴对称,则θ=________。
12、 已知α+β=
,且
(tanαtanβ+c)+tanα=0(c为常数),那么tanβ=______。
13、 函数y=2sinxcosx-
(cos2x-sin2x)的最大值与最小值的积为________。
14、 已知(x-1)2+(y-1)2=1,则x+y的最大值为________。
15、 函数f(x)=sin3x图象的对称中心是________。
(3) 解答题
16、 已知tan(α-β)=
,tanβ=
,α,β∈(-π,0),求2α-β的值。
17、 是否存在实数a,使得函数y=sin2x+acosx+
在闭区间[0,
]上的最大值是1?若存在,求出对应的a值。
18、已知f(x)=5sinxcosx-
cos2x+
(x∈R)
(1) 求f(x)的最小正周期;
(2) 求f(x)单调区间;
(3) 求f(x)图象的对称轴,对称中心。
高三一轮复习讲座五 ----平面向量
一、复习要求
18、 向量的概念;
2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律;
3、向量运算的运用
二、学习指导
1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法——有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。
向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或平行四边形;②实数与向量乘积的几何意义——共线;③定比分点基本图形——起点相同的三个向量终点共线等。
19、 向量的三种线性运算及运算的三种形式。
向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下:
运 算
图形语言
符号语言
坐标语言
加法与减法
+
=
-
=
记
=(x1,y1),
=(x1,y2)
则
+
=(x1+x2,y1+y2)
-
=(x2-x1,y2-y1)
+
=
实数与向量
的乘积
=λ
λ∈R
记
=(x,y)
则λ
=(λx,λy)
两个向量
的数量积
·
=|
||
|
cos<
,
>
记
=(x1,y1),
=(x2,y2)
则
·
=x1x2+y1y2
20、 运算律
加法:
+
=
+
,(
+
)+
=
+(
+
)
实数与向量的乘积:λ(
+
)=λ
+λ
;(λ+μ)
=λ
+μ
,λ(μ
)=(λμ)
两个向量的数量积:
·
=
·
;(λ
)·
=
·(λ
)=λ(
·
),(
+
)·
=
·
+
·
说明:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如(
±
)2=
21、 重要定理、公式
(1)平面向量基本定理;如果
+
是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量
,有且只有一对数数λ1,λ2,满足
=λ1
+λ2
,称λ1
λ+λ2
为
,
的线性组合。
根据平面向量基本定理,任一向量
与有序数对(λ1,λ2)一一对应,称(λ1,λ2)为
在基底{
,
}下的坐标,当取{
,
}为单位正交基底{
,
}时定义(λ1,λ2)为向量
的平面直角坐标。
向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若A(x,y),则
=(x,y);当向量起点不在原点时,向量
坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A(x1,y1),B(x2,y2),则
=(x2-x1,y2-y1)
(2)两个向量平行的充要条件
符号语言:若
∥
,
≠
,则
=λ
坐标语言为:设
=(x1,