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高等数学(一)学习笔记
一、函数、极限、连续一、函数、极限、连续一、函数、极限、连续一、函数、极限、连续
1、函数的概念 设 x 和 y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于每一个数 x D,变量 y按照一定的∈
法则总有确定的数值和它对应，则称 y是 x 的函数，记做 y=f(x).
2、函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性
奇偶性：设函数 f(x)的定义域 D关于原点对称(即若 x D,则 必-x D)，如果对于任意 x D， f(-∈ ∈ ∈
x)==f(x)恒成立，则称 f(x)为偶函数；如果对于任意 x D，f(-x)==-f(x)恒成立，则称 f(x)为奇函数。∈
单调性：设函数 f(x)的定义域为 D，区间I D，如果对于区间 I 上的任意两点 x1及 x2,当 x1f(x2)恒成立，则称 f(x)为在区间 I上
单调减少。
有界性：设函数 f(x)的定义域为 D，数集X D，如果存在正数 M，使得对于任一 x X,|f(x)| M 恒成⊂ ∈ ≤
立，则称 f(x)为在区间 X 上有界。
周期性：设函数 f(x)的定义域为 D，如果存在一个不为零的数 l，使得对于任一 x D,有 x l D,且∈ ± ∈
f(x+l)=f(x)恒成立，则称 f(x)为周期函数。l为 f(x)为最小周期。
3、复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数概念
复合函数：设函数 f(u)的定义域为 D1，u= ，定义域为 D2,值域为W2，若 W2 D1,则称 y=f[ ])(xϕ ⊂ )(xϕ
为复合函数。
4、基本初等函数的性质及图形
幂函数：y= u 为常数 (u=1，2，3，-1，1/2 为常见函数，记住图形！)µx
指数函数：y= (a 为常数，且 a>0,a 1)定义域为(一 ,+ )值域为(0,+ )且过(0,1)点(即图形完xa ≠ ∞ ∞ ∞
全在 x轴上方).(I、若 a>1,则指数函数是单调增加的，若 a<1,则指数函数是单调减少的。)
对数函数：y=log (a 为常数，且 a>0,a 1)定义域为(0,+ )值域为(一 ,+ )且过(1,0)点(即图形xa ≠ ∞ ∞ ∞
完全在y轴右方).(I、若 a>1,则对数函数是单调增加的，若 a<1,则对数函数是单调减少的。II、与指数函
数互为反函数，且关于 y=x 对称)。
(自然对数函数：y=lnx)
三角函数：y=sin x;y=cos x;
正切函数：y=tg x 定义域D={ x R,x (2n+1) ,n Z)},为奇函数， 为周期, 周期内单x ∈ ≠
2
π
∈ π
调递增。
余切函数：y=ctg x 定义域 D={ x R,x n ,n Z)},为奇函数， 为周期, 周期内单调递增。
x ∈ ≠ π ∈ π
反三角函数：
反正弦函数：y=Arc sin x 定义域 D={ -1 x 1},为多值函数，2 为周期。若限制值域为[- ，x ≤ ≤ π
2
π
+ ],则 y=arc sinx 为定义在区间 D 上的单值函数(即为反正弦函数。)单加
2
π
反余弦函数：y=Arccosx 定义域D={ 一 1 x 1},为多值函数，2 为周期。若限制值域为[0，x ≤ ≤ π
+ ],则 y=arc cosx 为定义在区间 D 上的单值函数(即为反余弦函数。)单减π
反正切函数：y=Arctgx定义域 D={ 一 x + },为多值函数， 为周期。若限制值域为[-x ∞ ≤ ≤ ∞ π
，+ ],则 y=arc tgx 为定义在区间 D上的单值函数(即为反正切函数。)单调增加
2
π
2
π
反余切函数：y=Arccosx 定义域D={ 一 x + },为多值函数， 为周期。若限制值域为x ∞ ≤ ≤ ∞ π
[0，+ ],则 y=arc cosx 为定义在区间 D上的单值函数(即为反余切函数。)单调减少π
5、数列的极限 定义：如果对于任意给定的正数 (不论它多幺小)，总存在正整数 N，使得对于 n>N时的ε
一切 ,不等式 都成立，那幺就称常数 a 是数列 的极限，或者称数列 收敛于 a,记为
n
x ε<− ax
n
n
x
n
x
,或 (n ).ax
n
n
=
∞→
lim
n
x a→ ∞→
(1)、定理一：极限唯一性，数列 不能收敛于两个不同的极限。
n
x
(2)、定理二：收敛数列有界性，如果数列 收敛，那幺数列 一定有界。
n
x
n
x
2
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6、函数的极限
(1)、x 时的极限0x→
定义：如果对于任意给定的正数 (不论它多幺小)，总存在正数 ，使得对于|x一 |< 时的一切ε δ 0x δ
x,
对应的函数值都满足不等式|f(x)-A|< 都成立，那幺就称A 是函数 f(x)的极限，或者称函数 f(x)收敛ε
于 A,记为 ,或 f(x) (x ).Axf
xx
=
→
)(lim
0
A→ 0x→
定理一：如果 ，而且 A>0(或 A<0),那幺就存在着点 的某一去心邻域，当 x 在该邻
Axf
xx
=
→
)(lim
0
0x
域时，就有 f(x)>0(或 f(x)<0).
定理二：如果在点 的某一去心邻域内 f(x) 0(或 f(x 0), 而且 , 那幺 A 0(或 A 0).0x ≥ ≤ Axf
xx
=
→
)(lim
0
≥ ≤
可证明：f( -0)=f( +0)为 存在的充要条件。0x 0x Axf
xx
=
→
)(lim
0
(2)、x 时的极限∞→
定义：如果对于任意给定的正数 (不论它多幺小)，总存在正数 X，使得对于|x|>X时的一切 x,ε
对应的函数值都满足不等式|f(x)-A|< 都成立，那幺就称A 是函数 f(x)的极限，或者称函数 f(x)收敛ε
于 A,记为 ,或 f(x) (x ).
Axf
x
=
∞→
)(lim A→ ∞→
7、无穷小和无穷大
(1)、无穷小，极限为 0，则称函数为无穷小(当 x 或 x ).0x→ ∞→
A、定理一(无穷小与函数极限的关系)：在自变量的同一变化过程中(x 或 x )，具有极限0x→ ∞→
的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之，如果一函数可表示为一常数和无穷小之和，则这常数
即为这函数的极限。
B、运算法则：I，有限个无穷小的和也是无穷小。II，有界函数与无穷小的积是无穷小(常数与无穷
小的积是无穷小;有限个无穷小的积也是无穷小)
C、无穷小的比较：
I、如果 lim =0,就说 是比 高阶的无穷小，记作 =o( );
β
α
β α β α
II、如果 lim = ,就说 是比 低阶的无穷小。
β
α
∞ β α
III、如果 lim =c 0,就说 与 是同阶的无穷小。 IV、如果 lim =1,就说 与 是等价的无
β
α
≠ β α
β
α
β α
穷小，记作 ~ (技巧：求两个无穷小之比的极限时，可用等价的无穷小来代替简化。)α β
(2)、无穷大，极限为 ，则称函数为无穷大(当 x 或 x ).∞ 0x→ ∞→
(3)、无穷大与无穷小的关系：互为倒数(f(x) 0)≠
8、极限的运算法则
(1)、如果 limf(x)=A,limg(x)=B,则 lim[f(x)+g(x)]存在，且 lim[f(x)+g(x)]=A+B= limf(x)+ limg(x)。
(2)、如果 limf(x)=A,limg(x)=B,则 lim[f(x).g(x)]存在，且 lim[f(x).g(x)]=A.B= limf(x). limg(x)。(特例：如果
limf(x)存在，而 n是正整数，则 lim[f(x)] =[limf(x)] 。n n
(3)、如果 limf(x)=A,limg(x)=B,且 B 0，则 lim[f(x)/g(x)]存在，且 lim[f(x)/g(x)]=A/B= limf(x)/ limg(x)。≠
(4)、如果 (x) (x),而 lim (x)=a,lim (x)=b,那幺，a b.ϕ ≥ φ ϕ φ ≥
9、极限存在准则
準则一：如果數列 、 及 滿足下列條件：(1)、 (n=1，2，3…),(2)、
n
x
n
y
n
z
n
y ≤
n
x ≤
n
z
, ,那麼數列 的極限存在，且 。ay
n
n
=
∞→
lim az
n
n
=
∞→
lim
n
x ax
n
n
=
∞→
lim
推論：如果(1)，當 x屬於 x0的 r鄰域(或|x|>M)時，有 g(x) f(x) h(x),(2),lim g(x)=A,lim≤ ≤
h(x)=A,那麼 lim f(x)存在且为 A。(夾逼準則)
準則二：單調有界數列必有極限。
兩个重要極限公式： ；1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
e
n
n
n
=+
∞→
)
1
1(lim
10、函數的連續性概念
3
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定義定義定義定義：設函數 y=f(x)在點 x0的某一鄰域內有定義，如 果函數 f(x)當 x 時的極限存在且等於它在 x0點0x→
處的函數值 f(x0)，即 ,那麼就稱函數 f(x)在點 x0連續。(也可用 - 或 - 定義))()(lim 0
0
xfxf
xx
=
→
x∇ y∇ ε δ
左
連續和右連續的概念。
間斷點類型間斷點類型間斷點類型間斷點類型：
(I)、第一類間斷點：(A)、可去間斷點，即左、右極限相等。(B)、跳躍間斷點，即左、右極限不相等。
(II)、第二類間斷點：(A)、無窮間斷點，即極限为 。(B)、振蕩間斷點。∞
連續函數的和、乘積、商均連續(分母不为 0)
反函數的連續性反函數的連續性反函數的連續性反函數的連續性：
若原函數在某區間上單值、單增(減)且連續，則其反函數在對應區間上也單值、單增(減)且連續。
複合函數極限与連續的關係複合函數極限与連續的關係複合函數極限与連續的關係複合函數極限与連續的關係：
若 ,而函數 y=f(u)在 u=a處連續，那麼複合函數極限存在， .ax
xx
=
→
)(lim
0
ϕ )()]([lim
0
afxf
xx
=
→
ϕ
若函數 u= 在 x=x0處連續，且 =u0，而函數 y=f(u)在 u=u0處連續，那麼複合函數,y=f[ ])(xϕ )( 0xϕ )(xϕ
在 x0也是連續的。
基本初等函數的連續性基本初等函數的連續性基本初等函數的連續性基本初等函數的連續性：在它們定義域內都是連續的。
初等函數的連續性初等函數的連續性初等函數的連續性初等函數的連續性：在它們定義區間內都是連續的。(提供了求極限的一個方法)
閉區間上連續函數的性質：閉區間上連續函數的性質：閉區間上連續函數的性質：閉區間上連續函數的性質：
(I)、最大值和最小值定理：在閉區間上連續的函數一定有最大值和最小值。而且也一定有界。
(II)、零點定理：閉區間上連續的函數，若端點值异號，那麼在這開區間內，至少有一個零值點。
(III)、介值定理：閉區間上連續的函數，若端點值为 A 和 B，那麼在這開區間內，至少有一個點使得
函數值介于 A和 B之間。(推論：閉區間上連續的函數必取得介于最大值 M和最小值 m 之間的任何值。)
二、一元函數微分學二、一元函數微分學二、一元函數微分學二、一元函數微分學
(一一一一)、導數与微分、導數与微分、導數与微分、導數与微分
1、導數定義：設 y=f(x)在點 x0的某個領域內有定義，且當自變量 x在 x0 處取得增量 n(點 x0+n仍在
該領域內)時，相應的函數 y取得增量 m=f(x0+n)一 f(x0)；如果 m与 n 之比當 n趨向于 0時的極限存
在，則稱函數 y=f(x)在點 x0處可導，并稱這個極限为函數 y=f(x)在點 x0處的導數，記为
y’|x=x0,即：
y’|x=x0= = ,或 f’( ), ,
n
m
n 0
lim
→
n
xfnxf
n
)()(
lim 00
0
−+
→
0x
dx
dy
0
|
xx=
dx
xdf )(
0
|
xx=
2、導函數定義：f’(x)= (注：在某點的極限過程中，x是常量，n是變量)
n
xfnxf
n
)()(
lim
0
−+
→
3、可導的充要條件：I、在 處，左導數 f’_( )和右導數 f’+( )存在且相等。II、在開區間(a,b)0x 0x 0x
內任意點都可導，且右導數 f’+(a)和左導數 f’_(b)存在，則 f(x)在[a,b]上可導。
4、切線方程： ))((' 000 xxxfyy −=−
法線方程： )(
)('
1
0
0
0 xx
xf
yy −−=−
5、可導与連續的關係：可導一定連續，連續不一定可導。
6、反函數的導數：反函數的導數等於直接函數導數的倒數。即 (無需換元)
)('
1
)('
y
xf
ϕ
=
7、複合函數的求導：複合前之各函數在其有效的定義域內可導，則複合函數也可導，且
dx
du
du
dy
dx
dy
=
8、高階導數：導數的導數。(需熟記基本初等函數的一階導數和部分的 n階導數，見附件。)
9、隱函數的導數求法：一般地，兩邊都對 x求導即可。
10、參數方程函數的導數：一般地， (相關變化率：dy/dt 和 dx/dt))/()(
dt
dx
dt
dy
dx
dy
=
4
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11、微分：通俗說，自變量的增量即微分，記为： dy=f’(x)dx
微分不變性：無論 u是自變量還是另一變量的可微函數，微分的形式 dy=f’(u)du 保持不變。
微分近似計算公式：f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0) (可取 x0=0 已簡化計算)
(二二二二)、中值定理与導數應用、中值定理与導數應用、中值定理与導數應用、中值定理与導數應用
1、儸爾定理:如果函數 f(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內可導，且在區間端點的函數值相
等，即 f(a)=f(b),那麼在(a,b)內至少有一點 (a< 0,那麼函數 f(x)在閉區間[a,b]上單調增加。
(2)、如果在(a,b)內，f’(x)<0,那麼函數 f(x)在閉區間[a,b]上單調減少。
8、函數的极值：設函數 f(x)在區間(a,b)上有定義，x0是(a,b)內的點，在這一點的去心鄰域內，
(I)，若 f(x)f(x0),則 f(x0)为 f(x)的一個极
小值。
定理定理定理定理 1、极值點一定是駐點(導數为 0 的點)或連續點(若該點不可導)，駐點不一定是极值點(如 y=x3
中，x=0點僅是駐點)
定理定理定理定理 2(第一充分)、設 f(x)在點 x0的一個鄰域內可導且 f’(x0)=0,(I),左側，f’(x)>0,右側，
f’(x)<0,則极大值，(II),左側，f’(x)<0,右側，f’(x)>0,則极小值,(III),左右側,恒正或恒負，非
极值點.
定理定理定理定理 3(第二充分)、設 f(x)在點 x0的一個鄰域內可導且 f’(x0)=0,f’’(x0) 0,那麼：(I)，f’’(x0)<0,≠
极大值，(II)，f’’(x0)>0,极小值。
9、最大值和最小值：I、變區間連續，開區間可導，則端點值与极值相比較可得出。II、任意區間可
導且只有一個駐點，且就是极值點，則其就是最值點。
10、曲線的凹凸与拐點
凹凸定義凹凸定義凹凸定義凹凸定義：設 f(x)在(a,b)內連續，如果對(a,b)內任意兩點 x1和 x2，恒有
f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x2)]/2，那麼其在(a,b)內的圖形是凹的；如果恒有大於，則是凸的。如果
在[a,b]上連續，且在(a,b)內的圖形是凹(或凸)的，那麼就稱其在[a,b]上的圖形是凹(或凸)的。
凹凸判定方法凹凸判定方法凹凸判定方法凹凸判定方法：用二階導數來判定。設 f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內有一階和二階導數，則 I，
二階導數大於 0，則在[a,b]是凹的，II，二階導數小於 0，則在[a,b]是凸的.III、拐點，凹凸弧的
分界點为拐點，其二階導數为 0，但二階導數为 0的點不一定是拐點。
5
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函數圖形描繪函數圖形描繪函數圖形描繪函數圖形描繪：確定定義域，求一、二階導數为 0 的實根，劃分定義域，確定升降、凹凸、极值
點、拐點，確定水平、垂直漸進線，在補充一些點。
11、曲率
弧微分：ds=
dxy
2'1+
平均曲率：單位弧段上切線轉角的大小，記为 K,即 K=| |,其極限即为曲率。(圓，K=1/r)
s∇
∇α
曲率公式： 曲率圓於曲率半徑
2/32 )'1(
|''|
y
y
K
+
=
三、一元函數積分學三、一元函數積分學三、一元函數積分學三、一元函數積分學
(一一一一)、不定積分、不定積分、不定積分、不定積分
1、原函數定義：如果在區間 I內，可導函數 F(x)的導數为 f(x),則稱 F(x)是 f(x)在區間 I上的原函
數。連續函數一定有原函數。
2、不定積分定義：在區間 I 內，函數 f(x)的帶有任意常項的原函數稱为 f(x)在區間 I內的不定積
分，記作： .∫ dxxf )(
3、不定積分性質：I、函數的和的不定積分等於各個函數的不定積分的和。II、常數可提到外面。
4、第一類換元積分法：設 f(u)具有原函數，u=v(x)可導，則有換元公式：
∫ ∫ == )(])([)(')]([ xvuduufdxxvxvf
5、第二類換元積分法：設 x=v(t)是單調可導的，並且 v’(t) 0,又設 f[v(t)]v’(t)有原函數，則有公≠
式 ∫∫ == )(])(')]([[)( xvtdttvtvfdxxf
使用技巧：I、如果被積函數含有 ,可作代換 x=asint;II、如果被積函數含有 ,22 xa − 22 ax +
可作代換 x=atgt;III、如果被積函數含有 ,可作代換 x=asect;(實際中，需靈活)。22 ax −
6、分部積分法：即 ∫ ∫−= vduuvudv
使用技巧：I、xusinx(cosx)和 xuax類型，設冪函數 xu=U;II、、、、xulogax和 xuarc()類型，設 log或 arc
为 U。
7、有理函數的積分。I、真分式可分解成多項式和假分式之和。II、若假分式分母 Q(x)能分解成一次
因式和二次質因式的乘積，則此式可分解成和的形式。III、若 Q(x)含有因式(x一 a)k,則分解后有
下列之和： ...+ ；IV、若 Q(x)含有因式(x2+px+q)k,且 p2<4q,則分+
−
+
− −1
21
)()( kk ax
A
ax
A
ax
A
k
−
解后有下列之和： ... ;V、需求出待定系數 A、+
++
+
+
++
+
−12
22
2
11
)()( kk qpxx
NxM
qpxx
NxM
qpxx
NxM
kk
++
+
2
M、N等。VI、分解后，只出現多項式和 及 ,最后者應用配方公式可求
n
ax
A
)( − nqpxx
NxM
)( 2 ++
+
得，即 .(結論結論結論結論：有理函數的原函數都是初等函數。：有理函數的原函數都是初等函數。：有理函數的原函數都是初等函數。：有理函數的原函數都是初等函數。)
4
)
2
(
2
22 p
q
p
xqpxx −++=++
8、三角函數的有理式積分。
I、定義：三角函數(均可化成 sinx和 cosx的形式)和常數經過有限次四則運算所構成的函數。
II、規則，將正、余弦化成半角正切的形式，見下式。III、做變換，即可轉为有理式。
2
1
2
2
2
sec
2
2
2
cos
2
sin2sin
22 x
tg
x
tg
x
x
tg
xx
x
+
===
2
1
2
1
2
sec
2
1
2
sin
2
coscos
2
2
2
2
22
x
tg
x
tg
x
x
tg
xx
x
+
−
=
−
=−=
6
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作 u=tg(x/2)替換即可化簡为有理式。
9、簡單無理函數的積分
形如 及 積分均可變量代換去根號變為有理式求積分，之後再代回。),( n baxxR + ),( n
ecx
bax
xR
+
+
(二二二二)、定積分、定積分、定積分、定積分
1、定義： ∑∫
=
→
∇=
n
i
ii
b
a
xfdxxf
1
0
)(lim)( ξ
λ
2、充分條件：I，設 f(x)在[a,b]上連續，則在[a,b]上可積。II，有界，且只有有限間斷點，則可積
3、定積分性質：5,6,7 需 a
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