湘教版九年级数学
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资料——三角形的四心（2010年8月整理——唐勇军）
第二十八讲 三角形的四心
一、三角形的外心
1．定义：三角形三边中垂线的交点（即外接圆的圆心）。
2．性质与判定：
⑴ 点O为△ABC的外心
；
⑵ 点O为△ABC的外心且
EMBED Equation.DSMT4 ；
⑶ 点O为△ABC的外心且
EMBED Equation.DSMT4 。
二、三角形的重心
1．定义：三角形三边中线的交点。
2．性质与判定：
⑴ 点G为△ABC的重心
点G分任一条中线之比为
；
⑵ 点G为△ABC的重心
S△GBC = S△GAB= S△GCA =
S△ABC。
三、三角形的内心
1．定义：三角形三条角平分线的交点（即内切圆的圆心）。
2．性质与判定：点I为△ABC的内心
点I到三边的距离相等且点I在三角形内部；
3．三角形面积与内切圆半径及三边关系：
。
四、三角形的垂心
定义：三角形三高的交点。
五、四心间的关系
三角形的四心之间有十分密切的关系，其中最典型的是欧拉线，三角形的垂心H、重心G以及外心三点共线且HG=2OG；欧拉公式：
；
对于正三角形来说，四心重合，这个点也叫做三角形的中心；
对于锐角三角形来说，设点P为△ABC内一点，且P点到BC、CA、AB的距离分别为x,y,z，则：
⑴ 若P为内心：
⑵ 若P为重心：
⑶ 若P为外心：
⑷ 若P为垂心：
例题精讲
【例1】如图，已知平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，AB=10，AC=9，DE=12。求平行四边形ABCD的面积。
思路点拨：设AC交DE于O，可推出G为△ABD重心。
注：通过代数计算（
）得出几何位置关系（
）也是一种常方法。
【例2】已知I是△ABC内心，AI、BI、CI的延长线分别交△ABC的外接圆于点D、E、F。求证：
思路点拨：利用圆周角定理推出
注：点E、F、D分别为
的中点。
【例3】如图，已知
，点B在EC上，CA=CB=CD，过A、C、D三点的圆交AB于点F，求证：点F是△CDE的内心。
思路点拨：只需证FD、FC、FE分别平分∠CDE、∠DCE、∠CED，联想CA=CB=CD，可利用等腰三角形性质。
【例4】△ABC具有这样下面性质：存在一个内部的点P使得∠PAB=10(，∠PBA=20(，
∠PCA=30(，∠PAC=40(，求证：△ABC是等腰三角形。
思路点拨：需证B点在AC的中垂线上，故可作BD(AC于D，再设法证DA=DC。
【例5】如图，点O为△ABC的外心，AB=AC，D为AB中点，E是△ACD的重心。求证：OE(CD。
思路点拨：设AO交CD于点H，若OE(CD，而HO(DE，即O为△HDE垂心，反之，若为△HDE垂心，则结论成立，故只需证明DO(HE即可。
同步练习
1．在△ABC中，∠A是钝角，O是垂心，AO=BC，则cos（∠OBC+∠OCB）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设G为△ABC的重心，且AG=6，BG=8，CG=10，则△ABC的面积为（ ）
A．58
B．66
C．72
D．84
3．若一个三角形的面积和周长都被一直线平分，那么该直线必通过这个三角形的（ ）
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心
4．若
，那么以
为三边的△ABC的内切圆、外接圆的半径之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在△ABC中，BD、CE分别是边上的中线，且
，BD=4，CE=6，则△ABC的面积是 。
6．△ABC中，G是重心，
，
，
，则△ABC的面积是 。
7．在△ABC中，
，CD和BE是三角形的两条中线，且
，那么
= 。
8．在△ABC中，G是重心，I为内心，若IG∥BC，且BC=5，则AB+AC= 。
9．在△ABC中，∠C=90(，∠A和∠B的平分线交于点P，又PE(AB于点E，若BC=2，AC=3，则AE•EB= 。
10．如图，已知I为△ABC的内心，延长AI，BI，CI各交△ABC的外接圆于点D，E，F。求证：
11．如图，已知I为△ABC的内心，延长AI，BI，CI各交△ABC的外接圆于点D，E，F。求证：
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