4.2 相似矩阵

nullnull第二节 相似矩阵 一、相似矩阵的概念 定义4.2 设A、B都是n阶矩阵，如果存在非奇异矩阵P，使得 P－1AP＝B 我们称A与B相似。记为“A～B”；P称为A与B相似的变换矩阵。 显然，相似矩阵有如下简单性质： （ⅰ）A～A （只需取P＝I） （ⅱ）如A～B，则必有B～A 证明：因为A～B，所以存在可逆矩阵P，有 P－1AP＝B 所以 A＝PBP－1 即 A＝(P－1)－1 B(P－1) 即是 B～A null（ⅲ）如A～B，B～C，则必有A～C。 证明: 因为A～B, B～C，所以存在可逆矩阵P1、P2 P1－1AP1＝B，P2－1BP2＝C 所以有 P2－1（P1－1AP1）P2＝C 即有 （P1P2）－1A（P1P2）＝C 所以 A～C null二、相似矩阵的性质 n阶矩阵A与B如果相似，则它们会有许多共同之处。 性质1.如A～B，则A与B有相同的特征值。 证明：A～B，则存在可逆矩阵P有 P－1AP＝B 所以 |λI－B|＝|λI－P－1AP | ＝| P－1（λI－A）P| ＝| P－1||λI－A || P| ＝|λI－A | 即A与B的特征方程相同, ∴A与B有相同的特征值。 null性质2.如A～B，则A与B的秩相同。 证明：A～B，则存在可逆矩阵P有 P－1AP＝B (1) 由于P可逆，可设 P＝T1T2…Ts (Ti为初等矩阵) 代人（1）得 （T1T2…Ts）－1A（T1T2…Ts）＝B ∴ Ts-1Ts-1-1…T2 –1T1-1A（T1T2…Ts）＝B 即A经过2s次初等变换可变成B，所以必有 秩A＝秩B null性质3.如A～B，则∣A∣＝∣B∣ 证明：A～B，则存在可逆矩阵P有 P－1AP＝B 所以有 ∣B∣＝∣P－1AP∣＝| P－1||A| |P|＝|A| 性质4.如A～B，则A与B的奇异性相同（利用性质3可得此结论） 例1. 已知三阶矩阵A与B相似，A的特征值为1、2、3，求矩阵B2－2B的特征值。 解：A与B相似，则B的特征值也为 1、2、3 由上节例3知 B2 - 2B 的特征值为 －1、0、3。 null例2.设n阶矩阵A与B相似，证明A2-A与B2-B相似。 证明：A与B相似。则存在可逆矩阵P，有 P-1AP＝B 所以 B2＝(P-1AP)(P-1AP)＝P-1A2P 可得 P－1 (A2 – A ) P＝P－1A2P－P－1AP＝B2－B 因此可得 A2 – A 与 B2 – B 相似。null矩阵与对角矩阵相似的条件 一.判定定理.n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。（记P为A的特征向量组成的矩阵，对角矩阵Λ是由P的列对应的特征值组成的对角矩阵，则有P－1AP＝Λ，即A～Λ）. 证明：（i）必要性 如果A与对角矩阵Λ相似，则存在可逆矩阵P有 P－1AP＝Λ 可得 AP＝PΛ 设 P＝(X1X2…Xn) 其中,Xi为P的第i列, 由于P可逆，显然X1X2…Xn线性无关。 下证Xi为特征向量null又 AP = A (X1X2…Xn) = （AX1 AX2 …AXn） 由AP = PΛ得：（AX1 AX2 …AXn）=（λ1X1 λ2X2 …λnXn） 进而可得：AXi = λiXi ( i = 1,2, …, n) 所以X1X2…Xn是A的n个线性无关的特征向量。 null(ii) 充分性 设A有n个线性无关的特征向量X1X2…Xn，它们依次对应的特征值分别为λ1λ2…λn， 则有AXi＝λiXi 令 P ＝ (X1X2…Xn) 则可得 AP = A (X1X2…Xn) = （AX1 AX2 …AXn） PΛ＝（λ1X1 λ2X2 …λnXn） ∴AP＝PΛ ∴ P－1AP＝Λ 即是 A～Λ 证毕.null可以得到求与A相似的对角矩阵Λ，以及相似变换矩阵 P 的步骤： 第一步：由∣λI－A∣＝0求出特征值。 第二步：对于每个λ，解方程组(λI－A)X＝0求出基础解系，最后得到n个线性无关的特征向量X1X2…Xn。必有 P – 1AP = Λ第三步：得到null因此特征值λ1＝1 λ2＝ - 2 当λ＝1时方程组（λI－A）X＝0为 其基础解系为: null当λ＝－2时，方程组（λΙ－A）X＝0为 有 P－1AP＝Λ null因此特征值λ1＝2 λ2＝4 当λ＝2时方程组(λI－A)X＝0为 判定定理2.n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是对于每一个ni重特征值λi有n个线性无关的特征向量。 （即（λiI－A）X＝0的基础解系有ni个） null解: 先求A的特征方程 由此可见A有三个特征值, λ1=0, λ2=λ3=1. 因为A能够对角化, 必须对应于重根λ2=λ3=1有两个线性无关的特征向量, 对于特征值λ= 1时（λΙ－A）Y＝0为null对其系数矩阵作行初等变换, 可以看出如果此齐次方程要有两个线性无关的基础解系, 就必须有两个自由变量, y3已经是一个自由变量, 因此需要y2也是自由变量, 这就 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 上面矩阵的第二行全为零, 即x+2=0,得x=-2 null这时候, A能对角化, 所以存在方阵 T 使 null 例 2 设有矩阵 (1) 问矩阵 A 是否可对角化, 若能, 试求可逆 矩阵 P 和对角矩阵  , 使 P-1AP =  . (2) 使 P-1AP =  成立的 P 、  是否唯一， 举例说明.null 解单击这里求特征多项式和特征值（1） 矩阵 A 的特征多项式为null当时, 解方程组即所以 A 的三个特征值分别为:null单击这里开始求解解之得基础解系为所以是对应于的特征向量.null当时, 解方程组即null解之得基础解系为所以是对应于的特征向量.单击这里开始求解null当时, 解方程组即null所以是对应于的特征向量.解之得基础解系为单击这里开始求解null因为线性无关即三阶矩阵 A 有三个线性无关的特征向量, 所以令则单击这里求逆矩阵 A 可对角化.null此时且有 P-1AP =  .null （2） 使 P-1AP =  成立的 P、  不唯一. 如若取则此时亦有 P-1AP =  .单击这里求逆null例 3 判定下列矩阵是否相似于对角矩阵, 若相似, 则求出可逆矩阵 P , 使 P-1AP 是对角矩阵.null矩阵 A 是个对角线上的元素相同的上三角矩阵, 注意任何对角矩阵、上下三角矩阵的特征值都是其对角线上的元素, 所以此题 A 的特征值为使 A = P-1  P, 但是 P-1 P = P-1EP = E 就应有 A = E, 这显然不对, 所以说 A 不相似于对则 A 不相似于对角矩阵,因为如果 A 相似于对角矩阵  , 则  就是单位矩阵, 且应有可逆矩阵 P , 角矩阵.(1) 解null先求特征值，A 的特征多项式为A 的特征值为再求特征向量单击这里求特征值(2) 解 null当时，解方程组即得对应于的特征向量为单击这里求解null当时，解方程组即 得对应于的特征向量为单击这里求解null令则 P 可逆，且有因为 3 阶矩阵 A 找到了个线性无关的特征向量，所以方阵 A 相似于对角矩阵.null 例 4 设相似于对角矩阵, 求 x与 y 应满足的条件.null先求特征值, A 的特征多项式为所以 A 的特征值为A 相似于对角矩阵的充分必要条件是, A 有三个线性无关的特征向量, 解 null所以 x、y 应满足的条件为 :特征向量. 的秩为 1 , 下面把矩阵化为行最简形.应能找到两个线性无关的即 A 的二重特征值这时就要求矩阵即null 例 5 设 3 阶矩阵 A 的特征值为对应的特征向量依次为 求 A 和 A100 .null因 3 阶方阵 A 的三个特征值互不相则 A = PP-1.等, 所以 A 可对角化, 即存在可逆方阵 P , 使解null令单击这里开始求逆则且 P-1AP = null所以null 因为 A = PP-1 ， 所以 A100 = P100P-1,null二.约当 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形简介 1.约当块:约当块的特点是主对角线都为λ,次对角线都为1 2.约当形矩阵 (约当标准形) 如果一个分块对角矩阵的所有子块都是约当块,即其中J1，J2，…，Jn，都是约当块，称 J 为约当形矩阵，或称为约当标准形。 null例如：下列矩阵都是约当形矩阵 而下列矩阵不是约当形矩阵 注意: 对角矩阵也是一种特殊的约当形矩阵null定理.对的n阶方阵A，都有与之相似的约当形矩阵。即是存在n阶可逆矩阵P和约当形矩阵J，有 P－1AP＝J 例如. 如果4届矩阵A的特征值λ1＝2，λ2＝λ3＝λ4＝3，但是,如果λ＝3的线性无关的特征向量的个数为2,显然A不与对角矩阵相似,但A与J1相似 (此时 r (3 I – J1 ) = 2 )null 如果λ＝3的线性无关的特征向量的个数为1,显然A不与对角矩阵相似,但A与J2相似 ( 此时 r (3 I – J1 ) = 3)。