线性代数三 向量

nullnull第3章 向量一、 维向量的概念二、向量的相等与线性运算三、向量组的线性相关性四、向量组的秩null第3章 向量一、 维向量的概念由 个数 组成的有序数组，称为 维向量。其中向量的第 个分量记作：（可视为特殊的矩阵）向量通常用 等表示。向量 写成一行：行向量也可写成一列：列向量null零向量：各分量均为零的向量。记作：全体 维实向量组成的集合，称为 维实向量空间。二、向量的相等与线性运算向量是特殊的矩阵向量的相等与线性运算与矩阵类似。设则null数● 向量的线性运算： 向量的加法与数乘向量。（后面的线性相关性与之有关）null即单位向量： 显然，为 中的一组单位向量。● 向量的长度： 设称 为向量 的长度。记作：null三、向量组的线性相关性★ 1. 向量的线性组合与线性表出设称 为向量组 的一个线性组合。 若 称 可由向量组 线性表示（出）。 例是向量组 的不同线性组合null定理向量 可由向量组 线性表出方程组 有解（一个解就是一组表出系数）矩阵 有相同的秩 。和（当向量具体给出时用）设向量 若 可由 线性表示，则 （ ）.（09年）C补A. B. C. D. 解由题知 （P36）null而故法二此题也可归为线性方程组由题知 null★ 2. 向量组的线性相关与线性无关设若存在不全为零的数 使 成立，则称 线性相关。否则称为线性无关。线性无关：仅当 时，才使 成立。或若 ，则一定有：null■ 解释线性相关的本质含义设若存在不全为零的数 使 成立，则称 线性相关。（ 假设 则由上式 得即可由其余向量线性表示。）■ 这组向量关于向量的线性运算之间存在一定的关系。null★★ 由定义知：（ P37）① ② ③ 单个向量 线性相关两个向量 线性相关对应分量成比例.包含零向量的任何向量组都线性相关。例线性相关。线性无关。（证明：设）▽null★补设 ， ，已知 与 线性C相关，则 （ ）.解而 与 线性相关故A. B. C. D. null3. 线性相关性的判定定理（7个）① （定义）线性相关存在不全为零的数 使线性无关若 则② 线性相关中有一个向量可由其余向量线性表示线性无关中任一向量都不能由其余向量线性表示例设则线性相关。null 例 向量组 线性相关的充分必要（P42 第2题）A. B. C. D. D条件是（ ）.其中每个向量都是其余 个向量的线性组合中至少有一个是零向量中任意两个向量成比例中存在一个向量可由其余 个向量线性表示。解C. 线性相关。null ★ 例 设向量组 线性无关，则下列向量组 （P42 第4题）A. B. C. D. C中，线性无关的向量组是（ ）.解（观察每组向量之间的关系）A. 此向量组线性相关。同理，排除B, D 选C.● 判断C中向量组线性无关的另一方法，后面再讲！null③ 线性相关其中：向量的个数线性无关（P37 定理2）● 当向量具体给出时，判断用！ null线性相关，则 （ ）. 例 设 解A. B. C. D. ★（ P42 第6题）由题知A而或null④ ⑤ 个 维向量 线性相关个 维向量 线性无关其中： （P39 定理5）● 当向量的个数=向量的维数时，判断这样的向量组 的线性相关性，可用行列式来判断！任何 个 维向量必线性相关。（或 维向量最多有 个线性无关） （P39 定理6）必线性相关。 例 null例 判断向量组 是否线性相关。★（P38 例5）解法一（用行列式判断）线性相关法二（用矩阵的秩判断）线性相关.故null例 已知向量组 线性无关，求 的值。★（P39 例7）解由题知其中：且null★补设B则以下结论错误的是（ ）.A. B. C. D. 线性相关线性无关线性无关线性无关解（先判断C, D选项）又线性相关。null例 设 若 可以由 线性表出， A. B. C. D. （ P42 第5题）则 （ ）.解由题知线性相关即解之 得法二由题知而B法一null★ 补设若（ ）成立， 线性无关.解观察选项的特点A. B. C. D. 且或且或C不用计算！线性无关且故 选C.null⑥ 若向量组 中有一部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关；若向量组 线性无关，则其任一部分向量都线性无关。（ P38 定理3 说法不同）⑦ 若向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 可由向量组线性表示，且表出系数 （P39 定理4）惟一。null★补下列向量组中，线性无关的向量组是（ ）.A. B. C. D. D解排除A, B, C 选D.null 例 已知 维向量组 线性无关，向量组 线性相关，问：（1） 能否由 线性表出？为什么？（2） 能否由 线性表出？为什么？解线性无关又线性相关，（1）可由 线性表示，从而， 可由 线性表示。（2）假设 能由 线性表出可由 线性表示，而可由 线性表示，矛盾。故 不能（P40 例8）线性无关▽null四、向量组的秩★ 1. 向量组的极大线性无关组设若在 中，存在 个向量线性无关，并且任意 个向量都线性相关，则称 为向量组 的一个极大线性无关组。● 一个向量组的极大线性无关组不一定是唯一的。 例 任两个向量均为此向量组的一个极大线性无关组。 null★ 2. 向量组的秩设一个向量组虽然可能有几个极大线性无关组，但 各个极大线性无关组所含向量的个数却都是一样的，它直接反映了向量组本身的性质。向量组的极大线性无关组所含向量的个数，称为 这个向量组的秩。 记作：显然， 例 ① ② ● 线性无关null● 向量组①可由向量组②线性表示：设有两个向量组：① ② 若向量组①的每个向量可由向量组②线性表示。● 向量组①与向量组②等价：若这两个向量组可互相线性表示。定理若向量组①可由向量组②线性表示，则有：定理 等价向量组的秩相等。（逆命题不成立）即秩相等的向量组不一定等价。但有：秩不相等的向量组一定不等价。（举例见下页）（逆否命题）null例 设则但 向量组 与 不等价。● 对于两个向量组来说， 等价秩相等但是，有：秩不相等不等价null 3. 向量组的秩与矩阵的秩的关系的行秩：的行向量组的秩。的列秩：的列向量组的秩。● 结论的行秩的列秩对任意矩阵 来说，都有：即矩阵 的三秩相等。向量组的线性相关性利用此结论null补设 是 矩阵， 是 矩阵，且若 ，求证： 的列向量组线性无关。证明：（把问题转化为矩阵的秩）由题知，是 阶矩阵故的列向量组线性无关。▽null 4. 求向量组的秩， 向量组的极大线性无关组求矩阵的秩。★ a. 求向量组 的秩即阶梯形矩阵行变换 b. 求向量组 的极大线性无关组阶梯形矩阵行变换（可知： 与 对应的列向量组有相同的线性相关性）null向量组 的极大补线性无关组是（ ）.解A. B. C. D. C先观察！显然， 线性相关排除A, B.又故null则向量组 的一个极大线性无关组是（ ） 例 设向量 ★（ P42 第7题）（05年）A. B. C. D. 解Dnull排除A, B.又非零行的首元在第1、2、4列，故为一个极大线性无关组。选D.另：也是一个极大线性无关组。null求该向量组的秩及一个极大线性无关组. 例 已知向量组 （P40 例1）（提示）解设 ，则有▽null从而又非零行的首元在第1、2、4列故为一个极大线性无关组。另：也是一个极大线性无关组。上页的阶梯形矩阵也是。▽null例 已知 满足 线性相关的向量 （ ）.（P42 第3题）（提示！）A. B. C. D. 解验证即先验证选项C, D.Dnull ★★ 例 若向量组 线性无关，而向量组 （P42 第9题）线性相关，则 （ ）A. B. C. D. 解D（04年）即由题知不可逆。从而即（反证法）null ★ 例 设向量组 线性无关，则下列向量组 （P42 第4题）A. B. C. D. C中，线性无关的向量组是（ ）.解（观察每组向量之间的关系，排除A,B,D 直接选C.）● 判断C中向量组线性相关性的另一方法null即由 线性无关 得可逆。而从而C中向量组线性无关。null设 阶 行列式 ，将 每一列减去 其余的各列得到的行列式记为 ，则 （ ）.补A. B. C. D. B解设则当 时，而故null设向量组 线性无关，下列向量组 中，与 等价的有（ ）个.补B① ② ③ ④ （2010年）A. B. C. D. 解由题知排除 ①.② 关键求秩，再由等价的定义可逆，两边同时右乘 得 两向量组等价。null③ 秩不等于3.④ null又可由 线性表示。④ 故 两向量组等价。null例 若向量组 的秩为2，则 （ ）.A（ P42 第8题）（08年）A. B. C. D. 解设则由秩的定义 知的任意一个三阶子式均为零。法二由题知法一nullnull★ 补已知则不正确的结论是（ ）。D解A. B. C. D. 不能被 线性表出不能被 线性表出不能被 线性表出不能被 线性表出法一由题知即可由 线性表出从而 可由 线性表出。法二此题实际考的是向量的线性相关性（见下页）▽null而线性无关线性相关可由 线性表出。▽