第二章 完全信息的静态博弈和纳什均衡
1. 什么是纳什均衡? (见教材)
2. 剔除以下
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式博弈中的严格劣策略,再求出纯策略纳什均衡。
先剔除甲的严格劣策略3,再剔除乙的严格劣策略2,得如下矩阵博弈。然后用划线法求出该矩阵博弈的纯策略Nash均衡。
乙
甲
1
3
1
2,0
4,2
2
3,4
2,3
3. 求出下面博弈的纳什均衡。
乙
L
R
甲
U
5,0
0,8
D
2,6
4,5
由划线法易知,该矩阵博弈没有纯策略Nash均衡。
由
表
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达式(2.3.13)~(2.3.16)可得如下不等式组
Q=a+d-b-c=7,q=d-b=4,R=0+5-8-6=-9,r=-1
将这些数据代入(2.3.19)和(2.3.22),可得混合策略Nash均衡((
),(
))
4. 用图解法求矩阵博弈的解。
解:设局中人1采用混合策略(x,1-x),其中x∈[0,1],于是有:
,其中
F(x)=min{x+3(1-x),-x+5(1-x),3x-3(1-x)}
令z=x+3(1-x),z=-x+5(1-x),z=3x-3(1-x)
作出三条直线,如下图,图中粗的折线,就是F(x)的图象
由图可知,纳什均衡点与β1无关,所以原问题化为新的2*2矩阵博弈:
由公式计算得:
。
所以该博弈的纳什均衡点为((2/3,1/3),(0,1/2,1/2)),博弈的值为1。
5. 用线性规划法求矩阵博弈的解。
将矩阵中的所有元素都加4,得
将数据代入(2.4.34)和(2.4.35)可得局中人1的混合策略,(0.45,0.24,0.31), 将数据代入(2.4.36)和(2.4.37)可得局中人2的混合策略,((0.31,0.24,0.45))
6. 某产品市场上有两个厂商,各自都可以选择高质量,还是低质量。相应的利润由如下得益矩阵给出:
(1) 该博弈是否存在纳什均衡?如果存在的话,哪些结果是纳什均衡?
由划线法可知,该矩阵博弈有两个纯策略Nash均衡,即(低质量, 高质量), (高质量,低质量)。
乙企业
高质量
低质量
甲企业
高质量
50,50
100,800
低质量
900,600
-20,-30
该矩阵博弈还有一个混合的纳什均衡
Q=a+d-b-c= -970,q=d-b= -120,R= -1380,r= -630,可得
因此该问题的混合纳什均衡为
。
(2) 如果各企业的经营者都是保守的,井都采用最大最小化策略,结果如何?
乙企业
高质量
低质量
甲企业
高质量
50,50
100,800
低质量
900,600
-20,-30
(高质量, 高质量),(低质量,低质量)。
7. 甲、乙两人就如何分100元钱进行讨价还价。假设确定了以下规则:双方同时提出自己
要求
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的数额s1和s2,0≤s1,s2≤100。如果s1+s2≤100,则两人各自得到自己所提出的数额;如果s1+s2>100,双方均获得0元。试求出该博弈的纳什均衡。
该博弈的纳什均衡为下图的线段AB:即:s1+s2=100,s1,s2∈[0,100]。
8. 假设古诺寡头垄断模型中有n个企业,令qi表示企业i的产量,且 Q=q1+…+qn表示市场总产量,p表示市场出清价格,并假设逆需求函数由p(Q)=a-Q给出(设Q
10。此时乙企业的收益为100+a。
11. 假设有一博弈G=[N,S,P],其中N={1,2},S1=[10,20],S2=[0,15],
,
。试求出最优反应函数,并求出均衡点。
解:令
,
,得最优反应函数:
由此进一步可求得
,它们在题设要求的可行域内,所以均衡点为(330/23,80/23)。
12. 证明教材中定理2.4.6。
证明:设矩阵博弈G1的纳什均衡为(X*,Y*),其中X*=(x1,x2,…,xm),Y*=(y1,y2,…,yn),由纳什均衡的定义,有
,即
。由于d是常数,因此有
。显然不等式
是成立的,此即为
。所以(X*,Y*)是矩阵博弈G2的纳什均衡点,并且