高三数学复习函数与导数

专题一 函数与导数 第一课时 函数的图象与性质 （一）课前预习案 【考纲目标指导】 内容 教学要求 A　（了解） B　（理解）　 C　（掌握）　 函数的有关概念　 　　 √ 　 　 函数的基本性质　 　 　 √　　 【应试指导】 [考情分析] 1．从内容上看，函数的图象和性质一直是高考对函数部分考查的重点．考查的方式主要有：一是将求定义域与集合，解析式与求函数值，值域与最值结合；二是将函数的单调性、奇偶性、周期性结合起来综合考查，有时会涉及一些抽象函数的考查；三是函数的图象、函数与方程、不等式等综合考查． 2．从题型上看，既有填空题、又有解答题，高考每年都有函数试题，涉及的 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 比较全面，而且常考常新．其中通过中等难度、 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 新颖的试题综合考查函数的图象和性质，以组合形式、一题多角度来考查函数的性质预计成为新的热点． 3．能力方面主要考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题的能力，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想． [备考策略] 1．在研究函数问题，必须树立“定义域优先”的意识．如，判别函数的奇偶性时、讨论函数的单调性时，必须在定义域内讨论； 2．函数奇偶性和单调性往往结合起来考查。奇偶性和单调性的判断要紧扣定义，同时要熟悉有关变形，奇函数在 上有相同的单调性，偶函数在 上有相反的单调性； 3．要善用函数图象的直观性来了解函数的性质，掌握好画图、识图、用图三个环节． 【回归教材】 1．（必修1P93复习5）设一个函数的解析式为 ，它的值域为 ，则此函数的定义域为 . 2．（必修1P93习题3）已知函数 ，则 = . 3．（必修1P44习题9改编）若函数 是偶函数，则 的单调递增区间为 . 4．（必修1P55习题10改编）如果函数 的图象与函数 的图象关于坐标原点对称，则 的表达式为 . 5．（必修1P33习题13改编）若集合 ，若 是 到 的函数，则满足条件的集合 有 个. 【能力摸底】 思考 （核心问题） 1．求函数的单调区间应注意的问题是什么？ 2．函数的单调性的证明方法有哪些？ 3．如何识图、作图和用图？ 质疑 (我的问题) 1、 2、 （1） 课堂导学案 【分类解析】 目标1 、单调性、奇偶性、周期性的应用 例1已知函数 . （1）若 ，且函数 在区间（2,+∞）上是减函数，求 的值； （2）若 ，且函数 在 上的最小值为7，求 的取值范围。 解析：（1） ， 由于函数在（2,+∞）上单调递减，所以 即 。 又 ，所以 或者 。 注：也可以用定义法证明。 （2）令 EMBED Equation.3 ， 当 ，即 时， ， 当且仅当 ，即 时取等号. ，解得 . 当 时，可证得 在 上为增函数. 所以 在 上无最小值. 综上， . 变式1：已知集合 ， （1）证明： ； （2）某同学注意到 是周期函数，也是偶函数，于是他着手探究： 中的元素是否都是周期函数？是否都是偶函数？对这两个问题，给出并证明你的结论. 解析：（1）∵ ∴ . （2）① 是周期是6的周期函数，猜测 也是周期为6的周期函数. 由 得 ， 两式相加可得 即 是周期为6的周期函数，故 中的元素是否都是周期函数. ② 令 ，同上可证得 ， ∴ ，但 是奇函数不是偶函数， ∴ 中的元素不都是偶函数. 目标2、函数的图象及应用 例2（2010年广州市高三调研）已知 ，函数 ． （1）若函数 在区间 内是减函数，求实数 的取值范围； （2）求函数 在区间 上的最小值 ； （3）对（2）中的 ，若关于 的方程 有两个不相等的实数解，求实数 的取值范围． 解析：（1）∵ ，∴ . ∵函数 在区间 内是减函数，∴ 在 上恒成立 即 在 上恒成立， ，∴ ． 故实数 的取值范围为 ． （2）∵ ，令 得 。 ①若 ，则当 时， ，所以 在区间 上是增函数， 所以 ． ②若 ，即 ，则当 时， ，所以 在区间 上是增函数，所以 ． ③若 ，即 ，则当 时， ；当 时， ．所以 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数． 所以 ． ④若 ，即 ，则当 时， ，所以 在区间 上是减函数．所以 ． 综上所述，函数 在区间 的最小值 （3）由题意 有两个不相等的实数解， 即（2）中函数 的图像与直线 有两个 不同的交点．而直线 恒过定点 ， 由右图知实数 的取值范围是 ． 变式2：设 是定义在 上的偶函数, 与 的图象关于直线 对称,且当 时 ( 为常数). (1)求 的解析式; (2)若 在 上是增函数,求实数 的取值范围; (3)若 ,问能否使 的最大值为4？ 解析:(1)∵ 与 的图象关于直线 对称,∴ = . 当 时有 ,∴ , 又∵ 是偶函数,∴ 时, , ∴ (2) ,∵ 是 上的增函数,∴ ,∴ 在 上恒成立. ∵ 时 ,∴ ,即 的取值范围是 . (3)只考虑在 上的情况,由 ,得 , 由 得 ,此时 ∴当 时, 的最大值不可能是4. 目标3、函数的定义域、值域的应用 例3（2010年启东中学调研测试）设函数 ，函数 ，其中 为常数，且 ，令函数 . （1）求函数 的表达式，并求其定义域； （2）当 时，求函数 的值域； （3）是否存在自然数 ，使得函数 的值域恰为 ？若存在，试写出所有满足条件的自然数 所构成的集合；若不存在，请说明理由. 解析：（1） . （2）由 得函数 的定义域为 ， 令 ，则 ， . ，又当 时， 单调递减， 故 在区间 上单调递增 . 所以 ，即函数 的值域为 . （3）假设存在自然数 满足条件，令 ， 则 . 由 得 ， . 当且仅当 ，即 时等号成立，此时 为最大值. 由 ，则 所以 .所以 . 又 在 上是增函数，在 上是减函数， ， 所以 .所以 . 综上得 ，即 . 变式3：(1)已知： ，求函数 的单调区间和值域； (2) ，函数 ，判断函数 的单调性并予以证明； (3)当 时，上述(1)、(2)小题中的函数 ，若对任意 ，总存在 ，使得 成立，求 的取值范围. 解析：解:(1) ，设 则 任取 ， ， 当 时， 单调递减； 当 时， 单调递增. 由 得 的值域为 . (2) ，由 ，所以 所以 在 上单调递减. (3)由 的值域为： 所以满足题设仅需： 解得 . 【案例研究】 【例】（1）已知函数 ，若 恒成立，求实数 的取值范围； （2）已知函数 ，若 有解，求实数 的取值范围. 错解：（1）若 恒成立，所以 ，即 （2）若 有解，所以 ，即 错因：“有解”要求某范围内存在 使不等式成立即可，故 有解 ， 有解 ；“恒成立”要求对某范围内任意 ，不等式都成立，故 恒成立 ， 恒成立 . 正解：（1）若 恒成立，则 的图象全部在直线 的上方，即 ，易知 ， 。 （2）若 有解，则 的图象上有点在直线 的上方即可，即 ，易知 ， 。 （2） 课后达标案 1．（2010年金陵中学高三调研）函数 的定义域是 . 2．已知定义在 上的奇函数 满足 ，且在区间 上是增函数，则 从小到大排列是 . 3．设 ，则对任意实数 ，“a+b≥0”是“f(a)+f(b)≥0”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”） 4．（2010年南通市高三调研）若函数 （a为常数）在定义域上为奇函数，则k= ． 5．函数 是定义在实数集 上的不恒为零的偶函数， ，且对任意实数 都有 ，则 的值是 . 6．已知函数 ，则 ，则 的图象的交点个数为 　 　 ． 7． 若f(x) 是R上的减函数，f(x)的图象过点A(0,3),B ,则当不等式 的解集为 时，t的值为 . 8． 四位同学在研究函数 f (x) = EQ \F(x,1 + | x |) (x∈R) 时，分别给出下面四个结论：① 函数 f (x) 的值域为 (－1,1)；② 若x1≠x2，则一定有f (x1)≠f (x2)；③函数 f (x) 的图像关于原点对称；④对任意 n∈N* 恒成立.其中正确的命题序号是 . 9．已知定义在R上的函数 ，对于任意实数x，y都满足 ，且当 试判断函数的奇偶性与单调性，证明你的结论. 10． 如图, 中, ,一个边长 的正方形由位置Ⅰ沿AB边平行移动到位置Ⅱ,若移动的距离为 ,正方形和三角形的公共部分的面积为 . (1)求 的解析式； (2)在坐标系中画出函数 的草图； (3)根据图象,指出函数 的单调区间和最大值. 11． 定义在R上的函数满足：对任意实数 ，总有，且当 时， ． （1）试求 的值； （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）设 ，若 ，试确定的取值范围； （4）试举出一个满足上述条件的函数 ． 第一课时函数的图象与性质答案 （一）课前预习案 【回归教材】 1． ； 2． ； 3． ； 4． ； 5．8． （三）课后达标案 1． ； 2． ； 3．∵ ，x∈R，∴ 为奇函数；又 在R上为增函数， 所以当a≥-b时，f(a)≥f(-b)= - f(b)，即f(a)+f(b)≥0，充分性成立， 当f(a)+f(b)≥0时，f(a)≥- f(b) =f(-b)，f(a)≥f(-b)，从而a≥-b，即a+b≥0，必要性成立. 故填充要条件. 4． 。 解析：考虑 恒成立. 5． 0。. 6． 4。 7．1. 8． ①②③④； 9．证明： 定义在R上，定义域关于原点对称. 令 令 即 为奇函数. 在R上任取 ， 即 ， 在R上为增函数. 10.解:(1)由题设,当 时, ;当 时, (2 (2 - EMBED Equation.3 ( - ( ( = ; 当 时, = ( . ∴ (2)函数 的图象如右; (3)由图象观察知,函数 单调增区间为 ,单调减区间为 , 当 时, 函数 取最大值为3. 11.（1）在中，令 ．得： ． 因为 ，所以， ． （2）函数在R上单调递减． 证明：任取 ，且设 ．取， 则已知条件可化为：． 由于 ，所以 ． 在 中，令 ， ，则得 ． ∵ 时， ，∴ 当 时， ． 又 ，所以，可知，对于任意 ，均有 ． ∴ ．∴ 函数在R上单调递减． （3）由函数的单调性可得， ，即 由 ，所以直线 与圆无公共点． 所以 ．解得： ． （4）如 ． O a � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ���O � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 1 3 2 5 y x O 6 4 1 A B C Ⅰ Ⅱ PAGE 10 _1319546041.unknown _1341665540.unknown _1341669445.unknown _1341669701.unknown _1341669998.unknown _1341670222.unknown _1344968058.unknown _1346940900.unknown _1346940943.unknown _1345099455.unknown _1344968074.unknown _1341670973.unknown _1344968047.unknown _1341670954.unknown _1341670036.unknown _1341670164.unknown _1341670013.unknown _1341669918.unknown _1341669959.unknown _1341669977.unknown _1341669940.unknown _1341669743.unknown _1341669844.unknown _1341669725.unknown _1341669604.unknown _1341669649.unknown _1341669681.unknown _1341669626.unknown _1341669521.unknown _1341669584.unknown _1341669503.unknown _1341669300.unknown _1341669378.unknown _1341669407.unknown _1341669429.unknown _1341669392.unknown _1341669338.unknown _1341669354.unknown _1341669321.unknown _1341665616.unknown _1341667910.unknown _1341669282.unknown _1341667675.unknown _1341665583.unknown _1341665591.unknown _1341665564.unknown _1323600328.unknown _1341647206.unknown _1341647776.unknown _1341647965.unknown _1341647999.unknown _1341648115.unknown _1341647942.unknown _1341647833.unknown _1341647492.unknown _1341647727.unknown _1341647535.unknown _1341647458.unknown _1341647347.unknown _1330089899.unknown _1340871692.unknown _1340871896.unknown _1341647063.unknown _1340871977.unknown _1340871727.unknown _1340871770.unknown _1330089955.unknown _1330089990.unknown _1340871680.unknown _1340870550.unknown _1330089979.unknown _1330089921.unknown _1324335316.unknown _1324354933.unknown _1329979337.unknown _1329979350.unknown _1329979359.unknown _1325487928.unknown _1327236619.unknown _1325487278.unknown _1324336769.unknown _1324336868.unknown _1324336611.unknown _1323616482.unknown _1323616683.unknown _1323618790.unknown _1323618851.unknown _1324215597.unknown _1323618829.unknown _1323616700.unknown _1323616530.unknown _1323616619.unknown _1323616303.unknown _1323616361.unknown _1323616409.unknown _1323608116.unknown _1319546294.unknown _1319693795.unknown _1320077676.unknown _1320223320.unknown _1320223749.unknown _1322219066.unknown 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