Princeton的拓扑和逻辑

2 一z r 戥，n 招 } ，逻籀， 耘扣卦 Princeton的拓扑和逻辑 S 配M ad ， a s ne (=)7 ／ V J 在 1920--1935期间，一般认为在美国的头三个数学系是 (依字母顺序)Chic~ ,,H 一 yard和 Princeton．因为我除 了访 问过 Princeton以外，没在那边果过 ，因此在介绍 Princeton 钓某些卓越成就对，只能限于两个我较为熟悉的方面——代数拓扑和数理逻辑——的进展来 说说． Princeton开始是只收男生的一个学院，到了1920年左右才开始改为大学．在1902年， 当Woodrow Wilson任它的校长时，他决定通过委任一批年轻人为 “教导 者” (preceptor) 来改进教学和研究．在数学方面，Princeton委任了三位刚在 Chicago大学获得博士学位的年 青数学家{George D．Birkhoff(1909--1911在 Princeton)，Robert Lee Moore(190{~--1908 在 Princeton)和Oswald Veblen(教导者，1905--1910)．(他们三位后来都当过美国数学会 的主席)．Birkhoff和 Moore先后离 开Princeton，而 vcbhn留了下 来 (那时，H．B．Fine (1859--1928)可能是数学系里最有影响的高级人士．从1903到1928他是系主任)． 从在 Chicago开始，Veblen就积极在几何方面工作，例如他完成了有关射影几何的两本 好 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf (第一卷与 J．W．Young合写)．在拓扑方面，Jordan曲线定理那时是大家关注的问题， 原因之一是它在某种形式的 Cauchy积分定理中有用．但是在已发 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 的众多 证 明中，没有一 个是完垒的、正确的。在1905年，Veblen提供了 Jordan曲线定理第一个漂亮的证明． Poincar6在研究流形的拓扑学时，他曾通过将流形剖分为胞腔 (例如，单形)而定义了 梳形的 Bettl数和挠 系数 ．并且由胞腔的关联系数定出 Betti数．所得到的这些数，看来是不 依赖于胞腔剖分，而完垒由流形决定．可是这一点并没有得到证明．为了证明这一结果，曾 经希望去证明所谓的 “拓扑学中的主猜测”——大意是说，同一个流形的任意两个剖分，都 可进一步剖分为组合同构的剖分，因此就给出同一组 Betti数．然而这个猎和 很难 证明．在 1915年，J．W．Alexander(曾是 Veblen的学生，当时在 Princeton)给了一 个 关 于 流 形 的 Bctti数和挠系数是不变量的证明．但是他并没有证明主猜测 (他的办法使 他绕 开了这个困 难的问题)．他对两个单纯剖分都傲进一步的重心重舟，使得每一个都可用一个适 当的单纯 逼近来形变为另一个．这样就证明了不变性．这是一步巨大的进展．多年来，这个证明仍然 是不变性证明中可供选 择 的 方珐 (那时，在欧洲恐怕还不完垒了解它的重要性．这一点可 由著名微分几何学家 Wilhelm Blasehke发表在 ]ahrbueh 6 r die Forsehritte der Mathcm— atik 45(19l5)，PP．728~729上的随手评论看出．) 在1916筚，Veblen选了位置 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 (analysis situs)，用夸天的术语就是代 数 拓扑，傲为 他在AMS的普及报告的题目．在1922年，这个报告傲为普及系列丛书之一而刊行 (1931年 出第=版)．这是第一本将 Poincar6(和 Brouwer)关于多面俸的组合拓扑以书的 形 式予以 ● P M A T I 2 本文下载来源:世纪图书馆 www.redlib.cn 完善阐述的书，它既有关联矩阵的严格定义，还宥把它们简化以决定连逮数(印楱2台。 数 以及挠系数和Bettl数本身．在那个年代，群论还没用到， 因此这些数并不做为同谓群的不 变量出现．Vehlen的书还介绍了多面体的基本群 (Poincar6群)． Jordan曲线定理是说，一条简单闭曲线将平面分成两块连通的区域，固此将曲线的Be i 数和它的余集的 Betti数联系起来了．它的高维推广应如何呢?是 J-W -Alexander(~1928) 提供了一个明确的结果；对于 R 中的多面体 Q，我们 有 口 (Q)= 。(R 一Q)一l， (Q) = t (R 一O)， f≠ —1． 第二年，Alexander发现了著名的 带角球 ——Ha8sler Whitney在本书的第一卷中有 文章予以介绍和图示． Solomon Lefsohetz在 Clark大学取得博士学位，在Kansas大学当的教授， 在代数几何 里面使用Betti数取得深射的成果．1923年他到了Princeton大学，1924年在那儿 发 现 了他 的不动点指数． 代数拓扑本质上是数学中的--f]新 (20世纪的)分支， 在 Princeton发生的这一系列事 实}Veblen的书，Alexander的关于不变性的证明，他的对偶定理和带角球，加上 Lefaehetz 的不动点指数，使得这所大学成为世界上在这领域的带头者．在1926--1927年，两位年青的 拓扑学家，Moscow的 Paul Alexanderoff和Berlin的 Heinz Hopf得到 Rockefeller基金的资 助出洋工作而到达 Princeton．在这里 Hopf发现了他的有关 Lefschctz指数的著名 推广 (后 来，他在 G6ttingen报告这项工作时，是 Emmy Noether使他领悟到，用同调群来代替 Betti 数，证明将更好)． 在 Princeton的活跃气氛下，拓扑学出现了一些人材．Vehlen的学生有 T-Y．Thomas(微 分何)和 ，．H．c．Whitehead，后者后来做为牛津的 Wsyneflete教授培养了整整一 代的英国 拓扑学家．Lefsehetz在这一时期的好学生有 P．A．Smith，A．W．Tucker，Norman E．Steenr- od，Henry Wallman和 C．／-I．Dowker．1928年，Alexander发 现 他的著名的扭结多项式，而 1930年，Lefsohetz刊行了他的有影响的 (或许多有些难懂的)书，这书因为 Veblen已 经占 用了经典的位置分析为书名，Lefschetz就不得不改用一个新词一 所以书名为拓扑学． 在 P~inceton就是以这个光辉的起点延续至夸． 下面我来谈Princeton的逻辑学．在1924年 Oswald VebIen在他的AMS的主席退休讲话 中说： 结论似乎是肯定的：形式逻辑一定要由数学家来接管．目前的状况是不存在一 个夸人满意的逻辑学，徐非敷学家击创造一个，刺的人是不会有志于此曲． 退休词 中 的 这 段 话 产 生 了效果．Veblen自己 (至少)有两个取得逻辑 学 博 士学位 的学生，一个是 A．A．Bonnet，后来在 Brown大学当教授，他在那儿帮助成立了 符号逻辑学 会．另 一个 Veblen在逻辑学方面的学生是 Alonzo Church，他在1927年写了有关 "Zermelo 假定的抉择” (叩选择公理)的学位 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 ．Church果在 Princeton，并有一批对逻 辑做出巨 大贡献的博士学生}1934年的 J．Barkely Rosser和 Stephen c．Kleen~，1945年的 Leon He— nkin和 1959年的Dana Scott·Church自己发现了 一^算法 (现在广泛应用于 LISP和 其它计 算机科学语言)，并系统地介绍了他著名的学位论文，这篇文章实际上断言； “递归 ：图炅 可计算 = 决^定．” 征Princeton有关逻辑学以后的t要发煨中，我在此只提出先 是 Alau Tnring 接着是 Kurt GSdel抵选高等研究所，Oswald Veblen那时是那里舶领袖人物．显然，Veblen~他要 数学家从事形式逻辑研究的号召做得很有成绩． ‘ 代数拓扑和数理逻辑是 Princeton在数学方面两个最有领导地位的例子，我不l打算去总 结 Princeton在分析或者相对论，或者微分几何方面的成就，我只指出princeton的代数学家 们，按时间顺序：j．H．M．Wedderburn，Claude Chevalley和 Emit Artln的非凡地位． 在 Princeton，数学系长期设在范氏大楼的漂亮房间里．在那里，休息时间有 关于数学 的各个方面的活跃讨论．在许多方面，Solomon Lefschetz的沸腾热情创造了一个积 极 讨论 曲环境．侧如在1940年，当他写他的第二本拓扑书时，他将他手稿的一节寄给在Harvard的 Whitney和 Macla~e．这些手稿是不正确的，我们回信说了这些，于是以后的七八 天 里，我 们每天都收到 Lefschetz寄来用新看法写的新信息．难怪当地流行的有黄 Lefschetz的小 曲这 么说z 这就是 Lefschetz， 疯了似的控制不住 当他最终落人九泉 他就开始诰问上天 另一方面，Veblen更年长电更克制，他喜爱英国的花呢夹克，因此是 仅有的 穿戴工整的 名数学家． 最后，Alexander不善应酬．据说， 一次一位讨人嫌的访问者敲他在范氏大楼一层的办 公室的门，Alexander跳窗面去． 这是一个卓越的集体． ‘ 参 考 文 献 J．W ．AI exander。A proof of the invariance of certain constants in Analysis Sltus ． r4‘。． AmeT．．．!Ird拍 ．Roe·1B (1916) ，145一 l5t．A proof and extension of the Jordan．Brouwer separation theorem ．n 口#s．Amer．Ma* ． 00．25(1923) 。333— 3t9．TopologicaI invariant8 of kno and Iinks． r口4 ．AmB ．Me*h．8oe．30(1 28) 。2 5—3O0． W ．Aspray。The emergence of Princeton as a world center of modern m athematics le口6— 1969，3{6—366’His*cry a．d Philoso~fig of Modern Ma*hema*ies． W ． Aspray and Ph． Kitcher (editors) ，University of Minnesota Press，Minneapolis， 1998． Church，Alonzo，The calculi of —conve~*sion．Annals oF．】Ifa晒． 8~ndles． No．6 J PrinceLon University Press。 Princeton． 1945。82 PP． Hopf，Heinz，Zur Algebra des Abbildungen von Mannigfaltigkeiten ． ． Reins An e ．村 4n ． 1B；(1950) ·77—88． Lefschetz· 8·， Topolo~y． A m erican M ath． Soc． Colloquium 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