第五章相交线与平行线知识点整理

相交线与平行线知识点整理5.1相交线1、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表： 图形 边的关系 大小关系 对顶角 ∠1与∠2 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等即∠1=∠2 邻补角 ∠3与∠4 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线。 邻补角互补∠3+∠4=180°注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；⑵如果是对顶角，那么一定有；反之如果，那么不一定是对顶角；⑶如果互为邻补角，则一定有；反之如果，则不一定是邻补角。⑷两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。2、垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。符号语言记作：如图所示：AB⊥CD，垂足为O⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记)⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。3、垂线的画法：直线，垂足，直角记号⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画直线，不要画成给人的印象是线段的线。4、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。记得时候应该结合图形进行记忆。如图，PO⊥AB，同P到直线AB的距离是PO的长。PO是垂线段。PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念⑴垂线与垂线段区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质)⑵两点间距离与点到直线的距离区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。⑶线段与距离距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。5.2平行线1、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作∥，读作：a平行于b。2、两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）3、平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行4、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行　　　　　　　　　　　　如左图所示，∵∥，∥　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∥　　　　　　　　　　　　注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行。5、三线八角　两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。　如图，直线被直线所截　①∠1与∠5在截线的同侧，同在被截直线的上方，叫做同位角（位置相同）　②∠5与∠3在截线的两旁（交错），在被截直线之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）　③∠5与∠4在截线的同侧，在被截直线之间（内），叫做同旁内角。　④三线八角也可以成模型中看出。同位角是“F”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。6、两直线平行的判定方法判定方法1　　两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行　　　　简称：同位角相等，两直线平行判定方法2　　两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行　　　　简称：内错角相等，两直线平行判定方法3　　两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行　　　　简称：同旁内角互补，两直线平行几何符号语言：　　　　　　　　　　　　　　解：∵　∠3＝∠2　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）　　　　　　　　　　　　　　∵　∠1＝∠2　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）　　　　　　　　　　　　　　∵　∠4＋∠2＝180°　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）注意：注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行。平行线的判定是写角相等或互补，然后写平行。典型例题：判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正：　⑴不相交的两条直线必定平行线。　⑵在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交。　⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行解答：⑴错误，平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”。“在同一平面内”是一项重要条件，不能遗漏。　　　⑵正确　　　⑶不正确，正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”。因为如果这一点不在已知直线上，是作不出这条直线的平行线的。典型例题：如图，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？解答：⑴∵∠2＝∠B，∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行。）　　　⑵∵∠1＝∠D，∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行。）　　　⑶∵∠3＋∠F＝180°，∴AC∥DF（同旁内角互补，两直线平行。）　　　　　　　　5.3平行线的性质　1、平行线的性质：　性质1：两直线平行，同位角相等；　性质2：两直线平行，内错角相等；　性质3：两直线平行，同旁内角互补。　2、命题：⑴命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。⑵命题的组成：每个命题都是题设、结论两部分组成。题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果……，那么……”的形式。具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。　注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述。3、平行线的性质与判定①平行线的性质与判定是互逆的关系　两直线平行　　　　　同位角相等；　两直线平行　　　　　内错角相等；　两直线平行　　　　　同旁内角互补。其中，由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质。典型例题：已知∠1＝∠B，求证：∠2＝∠C　　证明：∵∠1＝∠B（已知）　　　　　∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）　　　　　∴∠2＝∠C（两直线平行，同位角相等）注意：在了DE∥BC，不需要再写一次了，得到了DE∥BC，这可以把它当作条件来用了。典型例题：如图，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°，求∠2、∠3的度数解答：∵DE∥BC（已知）　　　∴∠2＝∠1＝65°（两直线平行，内错角相等）　　　∵AB∥DF（已知）　　　∴AB∥DF（已知）　　　∴∠3＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）　　　∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°5.4平移1、平移变换　①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。　②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点　③连接各组对应点的线段平行且相等2、平移的特征：　①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化。　②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。典型例题：如图，△ABC经过平移之后成为△DEF，那么：⑴点A的对应点是点＿＿＿＿＿＿＿＿＿；⑵点B的对应点是点＿＿＿＿＿＿。⑶点＿＿＿＿＿的对应点是点F；⑷线段AB的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；⑸线段BC的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；⑹∠A的对应角是＿＿＿＿＿＿。　　⑺＿＿＿＿的对应角是∠F。解答：　⑴D；⑵E；⑶C；⑷DE；⑸EF；⑹∠D；⑺∠ACB。思维方式：利用平移特征：平移前后对应线段相等，对应点的连线段平行或在同一直线上解答。4321�EMBEDEquation.3���PABO�EMBEDEquation.3����EMBEDEquation.3����EMBEDEquation.3����EMBEDEquation.3����EMBEDEquation.3����EMBEDEquation.3���12345678ABCDEF1234ABEDFC1234321FEDCBA几何符号语言：解：∵AB∥CD　∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）　∵AB∥CD　∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）　∵AB∥CD　∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）ADEBC12ADFBEC123ADBECFODCBA第1页_1175445626.unknown_1175446228.unknown_1328686285.unknown_1328686369.unknown_1328686370.unknown_1328686294.unknown_1328686368.unknown_1328686275.unknown_1328686280.unknown_1175446273.unknown_1328686267.unknown_1175446263.unknown_1175446097.unknown_1175446123.unknown_1175446212.unknown_1175446113.unknown_1175445645.unknown_1175446091.unknown_1175445874.unknown_1175445635.unknown_1175444417.unknown_1175445547.unknown_1175445607.unknown_1175445612.unknown_1175445601.unknown_1175445497.unknown_1175445522.unknown_1175444377.unknown_1175444411.unknown_1175444371.unknown_1174705645.unknown