时间序列分析知识点
总结
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本课程主要内容•时间序列简介•时间序列的预处理•平稳时间序列模型•ARMA模型的特性•平稳时间序列模型的建立•平稳时间序列预测3一.时间序列简介一一..时间序列的定义时间序列的定义二二..时间序列的主要分类时间序列的主要分类三.宽平稳(WeakStationary)四四..白噪声序列白噪声序列(WhiteNoise)(WhiteNoise)五五..随机游走随机游走(RandomWalk)(RandomWalk)序列序列一.时间序列的定义41.从统计的角度讲:时间序列是某一个指标在不同的时间上的不同数值按时间先后顺序排成的序列.时间序列是一组随机变量X(t)(或一个随机过程)在一系列时刻t1,t2,t3,…,tN(t1<t2<…<tN)的一次样本实现.2.从数学意义上讲:3.从系统意义上讲:时间序列是某一系统在不同时间（条件）下的响应.5二.时间序列的主要分类按序列的统计特性分:平稳序列,非平稳序列.u平稳序列：时间序列的统计特性不随时间而变化。u非平稳序列：时间序列的统计特性随时间而变化。平稳时间序列平稳时间序列平稳时间序列严平稳序列严平稳序列严平稳序列宽平稳序列宽平稳序列三.宽平稳(WeakStationary)•满足如下条件的序列称为宽平稳序列2(1)(),.tEXtT<¥"Î均值为常数均值为常数方差有界方差有界自协方差函数只依赖于时间的间隔长度,而与时间的起止点无关自协方差函数只依赖于时间的间隔长度,而与时间的起止点无关(3)(,)(,)(,0),,,.tsthshsttshstTggg=++=-"-Î且(2)(),,.tEXtTmm="Î为常数67严平稳与宽平稳的关系•一般关系–严平稳条件比宽平稳条件苛刻，通常情况下,严平稳（低阶矩存在）能推出宽平稳成立,而宽平稳序列不能反推严平稳成立;宽平稳宽平稳严平稳严平稳低阶矩存在低阶矩存在8四.白噪声序列(WhiteNoise)•白噪声序列{at}也称为纯随机序列,它满足如下两条性质:2(1)0,,(2)(,),,0,tEatTtststsTtssg="Îì=="Îí¹î白噪声序列{at}记为:2~(0,)taWNs白噪声序列是一种典型的宽平稳序列9五五..随机游走随机游走(RandomWalk)(RandomWalk)序列序列11AR(1)j=时的模型：1tttXXa-=+11tttXXaj-=+其中:at为白噪声序列,那么就称该模型为随机游走模型,这样的时间序列称随机游走过程.注意:随机游走过程是非平稳时间序列.注意:随机游走过程是非平稳时间序列非平稳时间序列.()tVarX=¥10二.时间序列的预处理一一..差分二二..后移算子三.差分方式的选择差分方式的选择四.季节差分差分11时间序列的非平稳性及处理方法2.方差和自协方差非平稳：Box-Cox变换1.均值非平稳：差分12v一阶差分(相距一期的两个序列值之间的减法运算称为1阶差分运算)一.差分1tttXXX-Ñ=-其中∇称为差分算子.差分是通过逐项相减消除前后期数据相关性的方法，可剔除序列中的趋势性，是非平稳序列的均值平稳化的预处理.13111dddtttXXX---Ñ=Ñ-Ñ对1阶差分后序列再进行一次1阶差分运算称为2阶差分:高阶差分依此类推，对d-1阶差分后序列再进行一次1阶差分运算称为d阶差分:21tttXXX-Ñ=Ñ-Ñ14v后移算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个后移算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻.,1dtdtXBXd-="³二.后移算子(BackshiftOperator)v记B为后移算子，有1ttBXX-=15011)(;B=1()()(2),;tttBCXCBXCXC-==为任意常数11()(;3)ttttBXYXY--±=±(4);nttnBXX-=0(1)(1(5))nniiiniBCB=-=-å!.!()!innCini=-其中后移算子的运算性质11(1),niiiniCB==+-å16二者的关系1BÞÑ=-1tttXXX-Ñ=-ttXBX=-(1)tBX=-(1)ddttXBXÑ=-从而1[1(1)]dkkkdtkCBX==+-å!.!()!kddCkdk=-其中17三.差分方式的选择•序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳;•序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响;•一般而言，若序列具有二次趋势，则两次差分后可变换为平稳序列;•对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算，通常可以较好地提取周期信息.18四.季节差分反映经济现象的序列,不少都具有周期性.设Xt为一含有周期为S的周期性波动序列，则Xt,Xt+s,Xt+2s,…为各相应周期点的数值，它们则表现出非常相近或呈现某一趋势的特征，如果把每一观察值同下一周期相应时刻的观察值相减，这就叫季节差分.季节差分可以消除周期性的影响.季节差分季节差分运算（S为周期）.stttsXXX-Ñ=-20三.平稳时间序列模型三三.ARMA(.ARMA(nn,,mm))模型模型二.MA(m)模型一.AR(n)模型2()0,(),()0,ttatsEaVaraEaasts===¹2(0,)taWNs:12212(0,)()0,ttttntntastXXXXaaWNEXastsjjj---=ìïíï+"+<++=î:L21AR模型描述的是系统对过去自身状态的记忆.一.AR(n)模型11222(0,)ttttmtmtaXaaaWNaaqqqs---=-ì---ïíïîL:22二.MA(m)模型MA模型描述的是系统对过去时刻进入系统的噪声的记忆三.ARMA(n,m)模型23()11121(0,)0,ttnttastnttmtmXXXaaaaWNEXastqsjjq----=+ìïíï×="++---<îL:LARMA模型则是系统对过去自身状态以及各时刻进入的噪声的记忆。24四.ARMA模型的特性一.差分方程二.格林函数和平稳性三.逆函数和可逆性四.时间序列模型的统计特性低阶模型均值函数方差函数自协方差函数自相关函数偏自相关函数25五.平稳时间模型的建立三类平稳时间序列的自相关函数(ACF)和偏自相关函数(PACF)的统计特性:?26下题中第一张为ACF图,第二张为PACF图-1-0.500.5112345678-1-0.500.5112345678该随机过程应建模为（指出滞后阶数）AR(1)过程.27-1-0.500.5112345678-1-0.500.5112345678下题中第一张为ACF图,第二张为PACF图该随机过程应建模为（指出滞后阶数）MA(1)过程.28-1-0.500.5112345678-1-0.500.5112345678下题中第一张为ACF图,第二张为PACF图该随机过程应建模为（不需指出滞后阶数）ARMA过程.29六.平稳时间预测一.条件期望预测三.预测的三种形式12ˆ()(|,,,)ttltttXlEXXXX+--=L二.条件期望的性质用差分方程形式进行预测作超前一步和两步预测给出95%的置信区间
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