南航数理方程试卷 (25页)

南航数理方程试卷南航数理方程试卷篇一：数理方程试卷工程数学一.(10分)填空题1.初始位移为?(x),初始速度为?(x)的无界弦的自由振动可表述为定解问题:2?u?auxx,???x???,t?0?tt?u??(x),u??(x).?tt?0?t?02.为使定解问题?ut?a2uxx???ux?0?0,ux???ut?0?0x?l?u0（u0为常数）中的边界条件齐次化,而设u(x,t)?v(x,t)?w(x),则可选w(x)?3.方程uxyu0x?0的通解为u(x,y)?F(x)?G(y)132xy?x2?cosy?164．只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题.5．方程uxy?x2y满足条件u(x,0)?x2,u(0,y)?cosy?1的特解为u(x,y)?二.(10分)判断方程uxx?y2uyy?0的类型，并化成标准形式．解：因为???y2?0(y?0)，所以除x轴外方程处处是椭圆型的。……2分?dy?它的特征方程是???y2?0……5分?dx?即特征线为lny?ix?c1,lny?ix?c22dy??iydx???lny作变换：?……7分???x求偏导数??ux?u??uxx?u??????u?1yyu?????u1yy?y2(u???u?)将二阶偏导数代入原方程，便可得到标准形式u???u???u?三.(10分)求解初值问题??utt?4uxx,???x???,t?0???u2t?0?x,utt?0?cosx解：a?2,?(x)?x2,?(x)?cosx利用达朗贝尔公式u(x,t)?11x2[?(x?at)??(x?at)]?2a??atx?at?(?)d?得u(x,t)?12[(x?2t)2?(x?2t)2]?1x?2t4?x?2tcos?d??x2?4t2?14[sin(x?2t)?sin(x?2t)]?x2?4t2?12cosxsin2t四.(15分)用分离变量法解定解问题10分……5分……10分……?utt?a2uxx,0?x?l,t?0???uxx?0?0,ux|x?l?0???ut?0?x,utt?0?0.u(x,t)?X(x)T(t)……2分解先求满足方程和边界条件的解.设解为代入方程得X(x)T??(t)?a2X??(x)T(t)除以a2X(x)T(t)有X??(x)TX(x)???(t)a2T(t)???得到两个常微分方程X??(x)??X(x)?0T??(t)??a2T(t)?0由边界条件得X?(0)T(t)?0,X?(l)T(t)?0由T(t)?0，得X?(0)?0,X?(l)?0于是固有值问题为??X??(x)??(x)?0,?X?(0)?0,X?(l)?0解之得一系列固有值???n?l)2n?(,n?0,1,2,?相应的固有函数为Xn?n(x)?cosx再解方程T??(t)?(n?all)2T(t)?0，通解为Tn?an(t)?Cncoslt?Dn?ansinlt利用解的叠加原理，可得满足方程和边界条件的级数形式解?u(x,t)??(Cn?ancoslt?Dn?an?nsinlt)cosn?1lx由初始条件ut|t?0?0，得Dn?0，……3分……4分……5分……8分……10分……12分……13分?n?由ut?0?x,得x??Cncoxln?11ll其中C0??xdx?l021ln?2lCn??xcosdx?[(?1)n?1],n?1,2,?……14分2l0l(n?)将Cn,Dn代入u(x,t)得定解问题解u(x,t)?l?2l??(?1)n?1cosn?a2?2tcosn?xn?1n2ll五.(15分)解非齐次方程的混合问题???ut?uxx?x,0?x??,t?0?ux?0?0,ux???0,t?0???ut?0?0.0?x??解先确定固有函数Xn(x).令u(x,t)?X(x)T(t)代入相应的齐次方程和齐次边界条件得固有值问题??X??(x)??X(x)?0,X(?)?0?X(0)?0固有函数为Xn(x)?sinnx,n?1,2,?设解为?u(x,t)??Tn(t)sinnx（1）n?1其中Tn(t)是待定函数.显然u(x,t)满足边界条件.为确定函数Tn(t),先将方程中的非齐次项展为固有函数级数?x??fn(t)sinnx（2）n?1……15分5分……7分……8分……其中fn(t)?2??(?1)n?12x?sinnxdx?……9分?n再将（1）,(2)代入方程得?????T2(?1)n?12?n?(t)?nTn(t)??sinx?0n?1n?n比较系数,有(?1)n?1Tt)?n2Tt)?2n?(n(n,n?1,2,?由初始条件得??Tn(0)sinnx?0n?1所以Tn(0)?0解初值问题?(?1)n?1??T??(t)?n2T2nn(t)??n?Tn(0)?0,n?1得T(t)?(?1)2n(1?e?n2t)n3将Tn(t)代入级数(1)，得定解问题的解.?u(x,t)?2?(?1)n?1(1?e?n2t)sinnxn?1n3六.(15分)用积分变换法解无界杆热传导问题???ut?a2uxx,???x???,t?0??ut?0??(x).x22本题所用公式：F?1[e?a2?t]?14at2ate?解对x作傅氏变换，记……10分11分……14分……15分……篇二：数理方程试卷及答案2长沙理工大学考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………试卷编号拟题教研室（或教师）签名教研室主任签名…………………………………………………………………………………………………………………课程名称（含档次）数学物理方程与特殊函数课程代号专业层次（本、专）本科考试方式（开、闭卷）闭卷一．判断题：（本题总分25分，每小题5分）1．二阶线性偏微分方程2uxx?4uxy?2uyy?2ux?6uy?0属于椭圆型；（）2．定解问题的适定性包括解的稳定性、解的唯一性和解的存在性；（）3．如果格林函数G(M,M0)已知，且它在???上具有一阶连续偏导数，又若狄利克雷(x,y,z)??,　　　??u?0　　问题?在???上具有一阶连续偏导数的解存在，那么其解可?u|??f(x,y,z).　　　　　表示为u(M0)????f(x,y,z)??G；（）?n14．设Pn(x)为n次Legendre多项式，则?P358(x)P1050(x)dx?0；（）?15．设Jn(x)为n阶Bessel函数，则二．解答题：（本题总分65分）d?xJ1(ax)??a2xJ0(ax)．（）dx1．（本小题15分）设有一根长为l的均匀细杆，它的表面是绝热的，如果它的端点温度为u(0,t)?u1，u(l,t)?u2，而初始温度为T0，写出此定解问题．2．（本小题20分）利用固有函数法求解下面的定解问题?x?2u?au?Asin?tcos　　(0?x?l,t?0),xx??ttl?u(x,0)?0,　ut(x,0)?0,　　　　　　　　　　???ux(0,t)?0,　ux(l,t)?0.其中A,?是常数．3．（本小题15分）求出方程uxx?uyy?xy的一个特解．第1页（共2页）4．（本小题15分）用试探法求解拉普拉斯方程狄氏问题：(r?R,0???2?)??u(r,?)?0,　　?22u(R,?)?Acos??Bsin?　.　　　?三．证明题：（本题总分10分）证明：函数u(x,t)??(x?at)??(x?at)21??(s)ds是下面的齐次方程的初值问题?2ax?atx?at?utt?a2uxx　　(???x???,t?0),?u(x,0)??(x),　　　　　　　　　??u(x,0)??(x).?t的解．第2页（共2页）长沙理工大学试卷标准答案课程名称：数学物理方程与特殊函数(B)试卷编号：03一．判断题：（本题总分25分，每小题5分）1．×；2．√；3．√；4．√；5．×．二．解答题：（本题总分65分）1．（本小题15分）泛定方程：ut?a2uxx，(0?x?l,t?0)；…………………5分边界条件：u(0,t)?u1，u(l,t)?u2；…………………10分初始条件：u(x,0)?T0．…………………15分2．（本小题20分）n?x??泛定方程相应的齐次方程满足齐次边界条件的固有函数系为?cos?，故可设方程l??的解为u(x,t)??un(t)cosn?0?n?x，……………5分l将它代入泛定方程，得2??n?x?x?n?a???u(t)?u(t)cos?Asin?tcos，……………10分??n??n?ll?l?n?0?????于是?n?a???(t)??un(n?1),?un(t)?0　　?l???a???(t)???u1(t)?Asinu1?t.……………12分l??由初始条件，得22?(0)?0　　　un(0)?un(n?1,2,?)…………14分显然，当n?1时，un(t)?0；当n?1时，解上面的微分方程得l?au1(t)?Asin??sin(t??)d??a?l0第1页（共3页）t?Al??a?at?a???sin?sin?t??，……………18分2ll???a???2????l?11故所求的解为u(x,t)?Al??a?at?a?x??。……………20分?sin?sin?tcos??2lll???a???2????l?3．（本小题15分）由于f(x,y)?xy是自变量x,y的二次多项式，设它的特解为u(x,y)?Ax3y?Bx3y，……………7分代入方程，得6(A?B)xy?xy，……………10分故u(x,y)?Ax3y?Bxy3中满足6(A?B)?1都是其特解，如u(x,y)?4．（本小题15分）22??Bcos??因为u(R,?)?Asin13xy．……15分6A?BA?Bcos2??22故可设其解为u(r,?)?Dr2sin2??Er2cos2??C，其中D,E,C为待定常数．……………5分易证u(r,?)?Dr2sin2??Er2cos2??C满足泛定方程．………………8分由边界条件有2??ER2cos2??C?u(R,?)?DR2sinA?BA?Bcos2??，22于是E?故原定解问题的解是A?BA?B,　C?,　D?0，…………………14分222R2A?BA?B?r?u(r,?)??s?．…………………15分??co222?R?三．证明题：（本题总分10分）证明：先证明u(x,t)满足泛定方程．ut?a???(x?at)???(x?at)??1??(x?at)??(x?at)?22第2页（共3页）a2????(x?at)????(x?at)??a???(x?at)???(x?at)?…………3分utt?22uxx?1????(x?at)????(x?at)??1???(x?at)???(x?at)?…………5分22aa2????(x?at)????(x?at)??a???(x?at)???(x?at)?故utt?221?1???(x?at)???(x?at)???a2?????(x?at)????(x?at)???22a???a2uxx；…………8分再证明u(x,t)满足初始条件．u(x,0)??(x)??(x)2??(x)；…………………9分a???(x)???(x)??1??(x)??(x)???(x)．22所以结论成立．…………………10分ut(x,0)?第3页（共3页）篇三：数理方程试题一．判断题（每题2分）.?2u?u1.?x?y是非线性偏微分方程.()?x?y?x2.绝对可积函数一定可做Fourier积分变化.()3.Fn(x)是n次Legendre正交多项式，则Fn(1)?1.()4.fxy(x,y)?0的解是调和函数.()5.已知u1*,u2*是线性偏微分方程uxx?uyy?f(x,y)的解，则u1*?u2*是?u?0的解.()二．填空题（每题2分）.1.ut?(uxx?uyy)?sinxt是____________型偏微分方程.2.内部无热源的半径为R的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为?(t)时，试建立方程的定解问题________________________.3.x2的Legendre正交多项式的分解形式为__________________.4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为?(x),初始速度为?a?(x),则弦振动规律为______________________________.5.L[eattm](s)?____________.三．求解定解问题（12分）ut?a2uxx?Asin?t;uxx?0?0,uxt?0x?l?0;u?0.四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分）uxy?1,x?0,y?0;（1）ux?0?y?1,?1.uy?0y???2y??3y?et（2）?yt?0?0,yt?0?1.五．某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为cosx，求弦的自由振动规律。（12分）六．设有长为a，宽为b的矩形薄板，两侧面绝热，有三边的温度为零，另一边的温度分布为x，内部没有热源，求稳定状态时板内的温度分布。（12分）七．判断下列方程所属类型并求其标准形式（8分）yuxx?xuyy?0八．叙述并证明Laplace变换的微分性质和卷积性质。（12分）数理方程试卷答案一判断题（1）X（2）X（3）V（4）V（4）V二填空题222?u?u?0,x?y?Rxxyy（1）抛物（2）??u????x2?y2?R21211x?at（3）P0(x)?P2(x)（4）[?(x?at)??(x?at)]??x?at?(t)dt3322（5）m!m?1(s?a)n?2)，l三解：有条件知固有值为?n?(固有函数系为：?n?cos设u(x,t)??T(t)ncosn?0?n?x,n?0,1,2,...（3分）ln?xln?a2n?)Tn(t)]cosx?Asin?t（2分）ll带入方程得?[Tn'(t)?(n?0??T0'(t)?Asin?(t)n?a2)Tn(t)?0（4分）lTn(0)?0Tn'(t)?(T0(t)?A?(?1c?ost),?得Tn(t)?0,nA1,2,（.4..分）?u(x,t)??(1?cos?t)（1分）四.(1)解;对u(x,y)关于y作Laplace变换，不妨设U(x,p)?L[u(x,y)](p)（1分）对方程两端同时作Laplace变换得d(pU(x,p)?1)1?,（3分）dxp?pdU(x,p)1?dxpdU(x,p)1?2（3分）dxp且U(0,p)??U(x,p)?11?p2p111x?（3分）22ppp?u(x,y)?xy?y?1（2分）（2）设Y(p)?L[y(t)](p)（1分）对原方程两端同时作Laplace变换得：p2Y(p)?1?2pY(p)?3Y(p)?1（4分）p?1?Y(p)??y(t)?311131??（3分）16p?14(p?1)216p?33t1t3?3te?te?e（4分）16416五．解：建立方程?utt?a2uxx0?x???,t?0?（3分）?ut?0?0,utt?0?cosx?u?xx?0?0由方程的边界条件，对原问题做偶延拓，得到无界弦的转动方程u'tt?a2u'xxu't?0?0,???x???,t?0ut't?0?cosx（4分）根据达兰贝尔公式得u'(x,t)?1x?at1cossds?sinxcosat（3分）?x?at2aa从而，原问题的解为u(x,t)?1x?at2a?x?atcossds?1asinxcosat（2分）六．解：定解问题为???uxx?uyy?00?x?a,0?y?b?u?x?0?0,ux?a?0（2分）??uy?0?0,uy?b?x由初值条件得固有值?n?(nxa)2,固有函数系为Xn?xn(x)?sina,n?1,2,...????方程的解为u(x,y)??Xn?n(x)Yn(y)=?sinaxYn(y)n?0n?0Yn??(y)??nYn(y)?0（2分）?Yn(y)?Cney?Dne?y??代入原方程得u(x,y)??(Cyne?D?ney)sinn?axn?1又u(x,0)?0,u(x,b)?xCn?Dn?0解得(Cn?bne?Dnne??b)sinn?（3分）ax??bn?0xsinaxdx?nCn?eben?b?e?n?b（3分）Denbn?en?b?e?n?b?u(x,y)????en?(b?y)?n?(b?y)?e?n?1e?e?sinnax（2分）七．解：显然x，y不同时为零，???xy，特征方程为y(dydx)2?x?0（1分）（1）当???xy?0时，方程式双曲型的。（1分）x?0,y?0时，特征方程是dydx?，解得(?x)33?y?c1,2，（1分）2分）（篇四：数理方程试卷A.cn/icbc/perbank/index.jsp一./trade/detail/trade_item_detail.htm?bizOrderId=129051553492180.cn/icbc/perbank/index.jsp/trade/itemlist/list_bought_items.htm?nekot=1330061587461#(10分)填空题先登录个人网上银行密码a521114电子密码器的开机密码是900114进入淘宝付款后需要同时使用电子密码器和网上交易总之：先登录个人网上银行，交易时打开电子密码器即可刘哲ab和132878760961.初始位移为?(x),初始速度为?(x)的无界弦的自由振动可表述为定解问题:2?u?auxx,???x???,t?0?tt?u??(x),u??(x).?tt?0?t?02.为使定解问题?u?a2utxx???ux?0?0,ux???ut?0?0x?l?u0（u0为常数）中的边界条件齐次化,而设u(x,t)?v(x,t)?w(x),则可选w(x)?3.方程uxy?0的通解为u(x,y)?F(x)?G(y)4．只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题.5．方程uxy?x2y满足条件u(x,0)?x2,u(0,y)?cosy?1的特解为u(x,y)?16xy?x?cosy?1322u0x二.(10分)判断方程uxx?yuyy?02的类型，并化成标准形式．解：因为???y2?0(y?0)，所以除x轴外方程处处是椭圆型的。……2分?dy?它的特征方程是???y2?0?dx?2……5分即dydx??iy特征线为lny?ix?c1,lny?ix?c2作变换：????lny???x7分求偏导数?ux?u???uxx?u?????u1?y?yu????u1yy?2(u?y???u?)将二阶偏导数代入原方程，便可得到标准形式u???u???u?10分三.(10分)求解初值问题??utt?4uxx,???x???,t?0???ut?0?x2,utt?0?cosx解：a?2,?(x)?x2,?(x)?cosx利用达朗贝尔公式u(x,t)?12[?(x?at)??(x?at)]?1x?at2a?x?at?(?)d?………………5分得u(x,t)?2122[(x?2t)?(x?2t)]?1412221?4x?2tx?2tcos?d??x?4t?[sin(x?2t)?sin(x?2t)]?x?4t?22cosxsin2t……10分