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用转化思想解决立体几何问题

用转化思想解决立体几何问题数学篇．思路．方法．技巧．《数理化解题研究)) ! 用转化思想髓决立休八何问题云南省开远市第一中学 (661600) 何垒 ● 佘维平 ● 茎SC S暮C AEF C ，只要证 _L平面， ‘_＼⋯⋯。．夕只要证 c_上_ E(如图1)．例2 设矩形ABCD．E、，分别为AB、CD的中点，以 EF为棱将矩形折成二面角一 E，一C (如图2)．求证：平面 AB EII平面 C DF． c，田 2 分析一 (纵向转化)：。．‘AE I／DF，AE≮平面 ClD...

数学篇．思路．方法．技巧．《数理化解题研究)) ! 用转化思想髓决立休八何问题云南省开远市第一中学 (661600) 何垒 ● 佘维平 ● 茎SC S暮C AEF C ，只要证 _L平面， ‘_＼⋯⋯。．夕只要证 c_上_ E(如图1)．例2 设矩形ABCD．E、，分别为AB、CD的中点，以 EF为棱将矩形折成二面角一 E，一C (如图2)．求证：平面 AB EII平面 C DF． c，田 2 分析一 (纵向转化)：。．‘AE I／DF，AE≮平面 ClDF，．AE||平面 ClDF．理．BlE|l平面 C’DF．又 AE(、＼BlE=E．．平面 A E|l平面 C DF．分析= (横向转化)：。．’ E上EF，B'E_上_EF，且 AEn =E，．‘．EF_上_平面AB ．同理，EF_L平面 C DF．以而平面 AB E|l平面 C|DF． 2．降维转化由三维空间向二雏平面转化，是研究立体几何问题的重要数学方法之一．降维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一个平面中去，用同学们比较熟悉的平面几何知识来解决问题．如线面垂直的判定定理就是转化为三角形全等的平面问题．例3 设正三棱锥S-ABC的底边长为a，侧棱长为 2口，过作与侧棱 SB、SC都相交的截面 AEF (如图3)，求这个截面周长的最小值． S S c 图 3 图 4 分析这类问题通常都是将几何体的侧面展开成平面图形来解决．沿侧棱 SA将三棱锥剪开，得侧面展开图(如图 4)，则求截面AAEF周长最小值问题就转化为侧面展开图中求、两点的最短连线长的问题(解略)．又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最终都是转化为平面上两相交直线成的角来进行的．实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展开法和辅助面法等等． 3．割补转化 “割形与“补形是解决立体几何问题的常用方法之一，通过“割或“补可化复杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口．如教材中斜棱柱侧面积公式的推导，就是通过割补法转化为直棱柱后进行的．例 4 如图5，三棱锥P— ABC中，已知 _l_BC，PA= BC ，l，、 C的公垂线E1) = h，求证：三棱锥P—ABC的体积 V=n h／6．图5口 C 此题证法很多，下面用割补法证明．分析一如图5，连结AD、PD，-．’BC_l_DE，BC L PA，．’．BC上平面APD．又 DE_LAP，一 = _ z~a-k - APD "~÷ c· m=吉n ．维普资讯 http://www.cqvip.com 数学篇 ·思路·方法·技巧· 《数理化解题研究》2004年第5期三角函数中参数取值范围问题的解答策略山东省沂南县第一中学 (276300) 田宝运 ● 三角函数中参数取值范围的求解，一直被学生视为难点．因为此类问题综合性强，灵活性大，相似问题容易混淆，解题时容易出现错误甚至运算十分冗繁．本文归纳这类问题的解法，以供参考．一、分离参数法例 1 已知不等式 COS 0+2rosin0—2m一2<0 对任意实数 0恒成立，求实数m的取值范围．解原不等式可化为 2m(1一sin0)> 0—2．若sin0=l，则cos0=0，不等式显然成立．若sin0≠1，则 1一sin0>0，．。一 > = 恒成立．一 m> = = 但厩 ’ 分析二如图6，以三棱锥P—ABC的底面为底面，侧棱为侧棱，补成三棱柱 ℃ ABC．连结是菱形，连结 lCl、ECl、ACl、AD ，则VA，一 BeDU2V ￡Bf =2 _AIEB— M =丢即 =吉正方体=吉令 f= m> ．。 ·。f=一专[(卜sin0)+南】+l≤一2、／2 × 1 + 1 =1一√ ，．·．t一=1一√ ，．·．m>1一√ 即为所求．评析上例利用分离参数t的方法，把其转化成 ①r≥ 恒成立§ f≥ ⋯；② f≤9(x)恒成立铮 t≤ ( i 来解决，达到直观、简捷求解目的．二、构造单位圆例 2 关于 0的方程 (1—2m)sin0cos0=(m+1) 5．抽象向具体转化例6 A、B、C是球 D面上三点，弧 AC、BC 的度数分别是 90。、90~、60~．求球 D夹在二面角 B— AO—C间部分的体积．分析此题难点在于空间想象，即较抽象．认真审读条件，即 AOB= AOC=90~， BOC=60。，然后给出图形 C (如图 8)。则可想象此题意即图8 为用刀沿 60~二面角，以直径为棱将一个西瓜切下一块，求这一块西瓜的体积(答：2nr3／9)．问题于是变得直观具体多了．例7 三条直线两两垂直，现有一条直线与其中两条直线都成 60。角，求此直线与另外一条直线所成的角．分析由条件想象到长 D 图 9 D 方体的三条棱也两两垂直，于是问题可以转化为如下问题：长方体一条对角线与同一顶点上的三条棱所成的角分别是 60。、60。、。[，求。[的大小．根据长方体的性质，有COS2~+cos26&+cos 600=1．可求得 =45。．维普资讯 http://www.cqvip.com

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