数字信号处理第二章z变换（2.3）主讲：熊美英E-mail：wax8301@126.com九江学院电子工程学院第二章z变换 2.1引言 2.2z变换的定义及收敛域 2.3z反变换 2.4z变换的基本性质和定理 2.5z变换与拉普拉斯变换、傅立叶变换的关系 2.6序列的傅里叶变换 2.7傅里叶变换的一些对称性质 2.8离散系统的系统函数及频率响应回顾：2.2z变换的定义及收敛域几种序列的收敛域及特例： 收敛域 特殊情况收敛域 有限长序列 右边序列 因果序列 左边序列 反因果序列 双边序列 当不收敛常用z变换可写成公式形式： 序列 Z变换 收敛域 注意：只有z变换和它的收敛域两者在一起才和序列相对应。其它序列见p54：表2-1几种序列的z变换2.3z反变换一.z反变换的定义：已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作z反变换。即：z反变换是z变换的逆运算。例：上一节课，我们算出的z变换和收敛域是：现作逆运算，已知X(z)和它的收敛域，求x(n).用什么方法求x(n)?展开X(z)的定义:求x(n)，实质上是求X(z)的幂级数展开式的系数。二、求z反变换的方法：1、围线积分法（留数法）；2、部分分式展开法；3、长除法。1、围线积分法（留数法）根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域内解析，则在此区域可展开成罗朗级数的形式：其中：C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.对比和z变换的定义可知：但直接计算围线积分比较麻烦，一般都用留数定理来求解。留数定理：若函数在围线c上连续，在c内有K个极点zk，在c外有M个极点zm（K,M为有限值），则有：Res[]表示极点处的留数。 所以：注意：应用第二式计算时，要求的分母多项式中z的阶次比分子多项式z的阶数高二阶或以上。求留数的方法：1、当Zr为一阶极点时的留数：2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：[例2-5]:已知，求z反变换。解:是极点。如图所示，取收敛域的一个围线c，分两种情况讨论：（1）n≥－1时，不构成极点，所以这时C内只有一个一阶极点 ，因此（2）当n<-1时，zn+1构成|n+1|阶极点，极点为z=0。因此C内有极点：z=1/4(一阶),z=0为|n+1|阶极点；而在C外仅有z=4(一阶)这个极点:[例2-6]:已知，求z反变换。解:由收敛域可知，x(n)为因果序列，所以当n<0时，x(n)=0。只需考虑n≥0时的情况。如图所示，取收敛域的一个围线c，可知当n≥0时,C内有两个一阶极点 ，所以所以：2、部分分式展开法通常，X(z)可表示成有理分式形式：如果能将X(z)展开成几个简单的分式的和的形式，而简单形式的z反变换可通过查表2-1直接求得。如果能将X(z)展开成几个简单的分式的和的形式，而简单形式的z反变换可通过查表2-1直接求得。也就是：如：收敛域在的原序列是:然后各部分查表作z反变换，再相加。部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式的和，使各分式具有或的形式，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原分式的“部分分式”。因此，X(z)可以展成以下部分分式形式(负指数幂形式)其中，M≥N时，才存在Bn，M=N时只有B0(常数)；Zk为X(z)的各单极点;Zi为X(z)的一个r阶极点。系数Ak，Ck分别为：整式项单根项重根项系数Ak，Ck分别为（留数定理求出）：阶数不高时，用待定系数法更简单些。[例2-7]：利用部分分式法，求的z反变换。解：由于X(z)的分母含有单根，用X(z)/z的留数求展开系数。去掉z的负幂次：求系数A1、A2:又|z|>2，收敛域在两个极点之外，是什么序列？若用待定系数法求系数A1、A2:则分子相等应对所用z成立。[例]：利用部分分式法，求的z反变换。解：又|z|<0.5，收敛域在两个极点之内，是什么序列？[例]：利用部分分式法，求的z反变换。解：又0.5<|z|<2，收敛域在两个极点之间，是什么序列？对极点z=2,收敛域在由它的模组成的的圆内，z/(z-2)对应着什么序列？3、长除法因为x(n)的z变换为z-1的幂级数，即所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。如收敛域为|z|>Rx+，x(n)为因果序列，则X(z)展成z的负幂级数。若收敛域|Z|<Rx-,x(n)必为左边序列，主要展成z的正幂级数。[例2-6]试用长除法求 的z反变换。解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序列，极点z=4对应左边序列(双边序列)。*双边序列可分解为因果序列和反因果序列。*应先展成部分分式再做除法。回顾：2.3z反变换求z反变换的方法：1、围线积分法（留数法）；2、部分分式展开法；3、长除法。重点：留数法和部分分式展开法 部分分式展开法:然后各部分查表作z反变换，再相加。
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