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不等式的证明的方法
不等式的性质及常用的证明方法主要有:比较法、
分析
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法、综合法、数学归纳法等. 要明确分析法、反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围. 若能够较灵活的运用常规方法(即通性通法)、运用数形结合、函数等基本数学思想,就能够证明不等式的有关问题.
一、不等式的证明方法
(1)比较法:作差比较:
.
作差比较的步骤:
①作差:对要比较大小的两个数(或式)作差.
②变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和.
③判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号.
注意:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小.
(2)综合法:由因导果.
(3)分析法:执果索因.基本步骤:要证……只需证……,只需证……
①“分析法”证题的理论依据:寻找结论成立的充分条件或者是充要条件.
②“分析法”证题是一个非常好的方法,但是书写不是太方便,所以我们可以利用分析法寻找证题的途径,然后用“综合法”进行
表
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达.
(4)反证法:正难则反.
(5)放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.
放缩法的方法有:
①添加或舍去一些项,如:
;
;
②将分子或分母放大(或缩小);
③利用基本不等式,如:
;
;
④利用常用结论:
;
;
(程度大)
; (程度小)
(6)换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元.
如:已知
,可设
;
已知
,可设
(
);
已知
,可设
;
已知
,可设
;
(7)构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式;
证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.
⑻数学归纳法法:数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中专门研究.
二、题型示例
例1 若水杯中的b克糖水里含有a克糖,假如再添上m克糖,糖水会变得更甜,试将这一事实用数学关系式反映出来,并证明之.
分析:本例反映的事实质上是化学问题,由浓度概念(糖水加糖甜更甜)可知
.
解:由题意得
.
证法一:(比较法)
.
,
,
.
证法二:(放缩法)
,
.
证法三:(数形结合法)如图,在Rt
ABC及Rt
ADF中,
AB=a,AC=b,BD=m,作CE∥BD.
,
.
例2 已知a,b∈R,且a+b=1. 求证:
.
证法一:(比较法)
即
(当且仅当
时,取等号).
证法二:(分析法)
因为显然成立,所以原不等式成立.
点评:分析法是基本的数学方法,使用时,要保证“后一步”是“前一步”的充分条件.
证法三:(综合法)由上分析法逆推获证(略).
证法四:(反证法)假设
,则
.
由a+b=1,得
,于是有
.
所以
,这与
矛盾.
所以
.
证法五:(放缩法)∵
∴左边=
EMBED Equation.DSMT4 =右边.
点评:根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点,选用基本不等式
.
证法六:(均值换元法)∵
,
所以可设
,
,
∴左边=
=右边.
当且仅当t=0时,等号成立.
点评:形如a+b=1结构式的条件,一般可以采用均值换元.
证法七:(利用一元二次方程根的判别式法)
设y=(a+2)2+(b+2)2,由a+b=1,有
,
所以
,
因为
,所以
,即
.
故
.
例3 设实数x,y满足y+x2=0,0
内容
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的方方面面.如与数列的结合,与“二次曲线”的结合,与“三角函数”的结合,与“一元二次方程,一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约,这些也是近年命题的重点.
在不等式证明中还要注意数学方法,如比较法(包括比差和比商)、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等,还要注意一些数学技巧,如数形结合、放缩、分类讨论等.
比较法是证明不等式最常用最基本的方法.
分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用,两个重要策略原则是:正难则反原则,即若从正面考虑问题比较难入手时,则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法,即我们常说的逆向思维,由结论向条件追溯;简单化原则,即寻求解题思路与途径,常把较复杂的问题转化为较简单的问题,在证明较复杂的不等式时,可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化,得到一个较易证明的不等式.
凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法.
换元法(主要指三角代换法)多用于条件不等式的证明,此法若运用恰当,可沟通三角与代数的联系,将复杂的代数问题转化成简单的三角问题.
含有两上字母的不等式,若可化成一边为零,而另一边是关于某字母的二次式时,这时可考虑判别式法,并注意根的取值范围和题目的限制条件.
有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证,放缩时要看准目标,做到有的放矢,注意放缩适度.
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