《常考二级结论及其应用》理科版含答案

常考二级结论及其应用纵观中学数学教材基本上是由 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 组成的除了部分概念的介绍而高考试题大部分都源于教,(),材.编教材离不开题授课离不开题学数学离不开题考试更离不开题.实际上高考试题大都是通过,,,对教材例题和习题加工改造引申推广而成的不仅如此试题的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现方式和语言表达也尽可能与、、、,,教材保持一致使考生有一种似曾相识的感觉所以我们要仔细琢磨把教材上的题研究到位.结合高,,,考真题最终我们独创了题型模型的全新教学法本篇将把高考试题中经常出现而且教材上有所,“+”,体现的部分二级结论呈现给大家部分结论对学生的解题有很好的指导作用同时对演算结果有精准,,的验证作用以便同学们在解答高考题时做到准确快捷.,、结论一.子集交集并集补集之间的一个关系式ABAB=AAB=BAIB=IA1、、、:⊆⇔∩⇔∪⇔∩∁∅⇔∁∪BI其中I为全集.=,当A=B时显然成立(1),;当AB时图如图-所示结论正确.(2)⫋,Venn21,图2-1n.子集个数的问题若一个集合A含有nnN*个元素则集合A的子集有个非空子集有2:(∈),2,n-个.真子集有n-个非空真子集有n-个.2121,22理解A的子集有n个从每个元素的取舍来理解例如每个元素都有两种选择则n个元素共有:2,,,n种选择.该结论需要掌握并会灵活应用.2x2y2例1设集合A=xy+=B=xy|y=x则AB的子集的个数是.{(,)1},{(,)3},∩()416....A4B3C2D1变式1已知集合A={x|x2-x+=xR}B={x|xxN}则满足条件A320,∈,0<<5,∈,CB的集合C的个数为.⊆⫋()....A1B2C3D4例2已知MN为集合I的非空子集且MN不相等若NIM=则MN=.,,,,∩∁∅,∪()MNIA.B.C.D.∅变式1设集合A=x|x2-x+=B=x|ax-=若AB=B则由实数a的所有可{650},{10},∩,能取值组成的集合C为.()111111A.{1,}B.{,}C.{0,1,}D.{0,,}523523临门一脚(含密押三套卷)(理科版)结论二交并补且或非之间的关系德·摩根定律.、、(、、)()集合形式IAB=(IA)(IB)IAB=(IA)(IB)(1):∁(∩)∁∪∁,∁(∪)∁∩∁;命题形式pq=pqpq=pq.(2):౑(∧)(౑)∨(౑),౑(∨)(౑)∧(౑)例3设全集U=abcd集合A=abB=bcd则(UA)(UB)=.{,,,},{,},{,,},∁∪∁变式1已知全集U=AB中有m个元素(UA)(UB)中有n个元素.若AB非空则∪,∁∪∁∩,AB的元素个数为.∩()mnm+nn-mm-nA.B.C.D.变式2写出下列命题的否定.命题pqA=或B=(1)∨:00;命题pqA=且B=.(2)∧:00结论三奇 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数的最值性质已知函数fx是定义在区间D上的奇函数则对任意的xD都有fx+:(),∈,()f-x=.特别地若奇函数fx在定义域Df上有最值则fx+fx=且若Df()0,(),()max()min0,0∈,则f=.(0)0证明因为fx为奇函数所以xD-xD且f-x=-fx即fx+f-x=.:(),∀∈,∈,()(),()()0若Df令x=则有f+f-=即f=.0∈,0,(0)(0)0,(0)0若奇函数fx在Df上有最值设fx=fx则fxfxxD(),()max(0),(0)≥()(∈),所以f-x=-fx-fx=f-x-xD即fx=f-x.(0)(0)≤()()(∈),()min(0)由fx+f-x=得fx+fx=.(0)(0)0,()max()min0x+x-+x例4设函数fx=(1)(4)tan的最大值为M最小值为m则M+m=.()x2-,,4æö变式ç÷1已知函数fx=(+x2-x)+则f+f1=.()ln1931,(lg2)èlgø()2-A.1B.0C.1D.2变式2对于函数fx=ax+bx+c其中abRcZ选取abc的一组值计算f和()sin(,∈,∈),,,(1)f-所得出的正确结果一定不可能是.(1),()和和和和A.46B.31C.24D.122常考二级结论及其应用结论四-x若函数x是定义在非空数集D上的单调函数则存在反函数1x.特别地a与y=f(),y=f(),y=y=axa且a互为反函数两函数图像在同一直角坐标系内关于直线y=x对称即log(>0≠1),,-xfx与fxx分别在函数y=fx与反函数y=f1x的图像上.(0,(0))((0),0)()()例5设点P在曲线y=1x上点Q在曲线y=x上则|PQ|的最小值为.e,ln(2),()2-.-.+.+A.1ln2B2(1ln2)C1ln2D2(1ln2)变式1若x满足x+x=x满足x+x-=则x+x=.1225,222log2(1)5,12().5.7.AB.3CD422结论五函数周期性问题已知定义在R上的函数fx若对任意的xR总存在非零常数T使得fx+:(),∈,,(Tx则称x是周期函数T为其一个周期.)=f(),f(),除周期函数的定义外还有一些常见的与周期函数有关的结论如下,:如果fx+a=-fxa那么fx是周期函数其中的一个周期T=a(1)()()(≠0),(),2;如果fx+a=1a那么fx是周期函数其中的一个周期T=a(2)()x(0),(),2;f()≠如果fx+a+fx=ca那么fx是周期函数其中的一个周期T=a(3)()()(≠0),(),2;如果fx=fx+a+fx-aa那么fx是周期函数其中的一个周期T=a.(4)()()()(≠0),(),6证明略.:(1),(2),(3)若fx=fx+a+fx-a(4)()()()①则fx+a=fx+a+fx()(2)()②+得fx+fx+a=fx+a+fx-a+fx+a+fx①②,()()()()(2)(),即fx-a+fx+a=fx+a=-fx-a所以fx+a=fx+a+a=()(2)0,(2)(),(6)[(4)2]-fx+a-a=-fx+a=-fx+a+a=fx+a-a=fx.[(4)](3)[()2][()]()故fx是周期函数其中的一个周期T=a.(),6例6已知函数fx满足f=1fxfy=fx+y+fx-yxyR():(5),4()()()()(,∈),4则f=.(2015)-xx变式1定义在R上的函数fx满足fx=log2(1)(≤0)则f=()(){fx--fx-x,(2017)(1)(2)(>0).().-..A1B.0C1D2æö变式2已知定义在R上的函数fx满足fçx+3÷=-fx且f-=f-=-f=()èø(),(2)(1)1,(0)2则f+f+f++f+f=.2,(1)(2)(3)…(2016)(2017)().-.-..A2B1C0D13临门一脚(含密押三套卷)(理科版)结论六复合函数单调性已知函数y=fgx是定义在D上的函数若fx与gx的单调性相:[()],()()同则x在D上是增函数若x与x的单调性相反则x在D上是减,y=f[g()];f()g(),y=f[g()]函数即同增异减.特别地若x是定义域D上的单调函数且方程xx在D上有解为,“”,f(),f[f()]=x则fx=x.0,(0)0例7对于定义域为的连续函数fx如果同时满足以下个条件[0,1](),3:对任意的x总有fx(1)∈[0,1]()≥0;f=(2)(1)1;若xxx+x都有fx+xfx+fx成立.则称函数fx为理(3)1≥0,2≥0,12≤1,(12)≥(1)(2)()想函数.若函数fx为理想函数假定存在x使得fx且ffx=x.求(),0∈[0,1],(0)∈[0,1],[(0)]0证fx=x.:(0)0变式1设函数fx=x+x-aaR为自然对数的底数.若曲线y=x上存在点x()e(∈,e)sin(0,y使得ffy=y则a的取值范围是.0)((0))0,()--1+1+A.[1,e]B.[e,1]C.[1,1e]D.[e,e1]变式2若函数y=ax2-ax+a且a在上为增函数则实数a的取值范围是log(1)(>0≠1)(1,2),.结论七二次函数解析式的三种表达式.ìax2bxc一般式ï++()ïïæbö2ac-b2二次函数fx=íaçx+÷+4axR顶点式.()ïèaøa(≠0,∈)()ï24îax-xx-x双根式(1)(2)()二次函数的性质.æbùébö当a时fx在ç--ú上为减函数在ê-+÷上为增函数(1)>0,()è∞,aû,ëa,∞ø,22bæböac-b2且在x=-处取得最小值为fç-÷=4无最大值aèaøa,;224æbùébö当a时fx在ç--ú上为增函数在ê-+÷上为减函数(2)<0,()è∞,aû,ëa,∞ø,22bæböac-b2且在x=-处取得最大值为fç-÷=4无最小值aèaøa,;224bb对称轴为x=-若fx=fx则x+x=-.(3)a,(1)(2),12a2抛物线y=fx与y轴的交点为c.(4)()(0,)4常考二级结论及其应用例8已知a则x满足关于x的方程ax=b的充要条件是.>0,0().xR1ax2-bx1ax2-bx.xR1ax2-bx1ax2-bxA∃∈,≥00B∃∈,≤002222.xR1ax2-bx1ax2-bx.xR1ax2-bx1ax2-bxC∀∈,≥00D∀∈,≤002222变式1若函数fx=-x2x2+ax+b的图像关于直线x=-对称则fx的最大值()(1)()2,()是.fxfxgx变式2定义fxgx=(),()≤().若函数fx=x2+tx+s的图像经过两点min[(),()]{gxfxgx()(),()>()xx且存在整数m使得mxxm+成立则.(1,0),(2,0),,<1<2<1,().fmfm+1.fmfm+1Amin[(),(1)]44.fmfm+=1.fmfm+1Cmin[(),(1)]Dmin[(),(1)]≥44fxfxgx变式3设fxgx=(),()>()若函数hx=x2+px+qpqR的图max{(),()}{gxfxgx,()(,∈)(),()≤()像经过不同的两点αβ且存在整数n使得nαβn+成立则.(,0),(,0),,<<<1,().hnhn+.hnhn+Amax{(),(1)}>1Bmax{(),(1)}<1.hnhn+1.hnhn+1Cmax{(),(1)}>Dmax{(),(1)}<22结论八经典不等式.对数形式x+xx-当且仅当x=时取等号(1):ln(1)≤(>1),0;指数形式xx+xR当且仅当x=时取等号.(2):e≥1(∈),0-x证明令fx=x+-xx-则f'x=1-=.:(1)()ln(1)(>1),()x+1x+11令f'x=解得x=.f'xfx随x的变化如表-所示.()0,0(),()21表2-1x-+(1,0)0(0,∞)f'x+-()0fx极大值()↗↘所以fx在-上单调递增在+上单调递减且当x=时fx有最大值为.()(1,0),(0,∞),0,()0即x-x+-xf=所以x+xx-恒成立当且仅当x=时∀>1,ln(1)≤(0)0,ln(1)≤(>1),0取等号.令gx=x-x-xR则g'x=x-.令g'x=解得x=.(2)()e1(∈),()e1()0,0g'xgx随x的变化如表-所示.(),()22表2-2x-+(∞,0)0(0,∞)g'x-+()0gx极小值()↘↗所以gx在-上为减函数在+上为增函数且当x=时gx有最小值为.()(∞,0),(0,∞),0()0即xRx-x-g=.所以xx+xR恒成立当且仅当x=时取等号.∀∈,e1≥(0)0e≥1(∈),05临门一脚(含密押三套卷)(理科版)例9已知函数fx=1则y=fx的图像大致为.()x+-x,()()ln(1)A.B.C.D.x变式1已知函数fx=xR.求证曲线y=fx与曲线y=1x2+x+有唯一公共点.()e,∈:()12x变式2设函数fx=--x.求证当x-时fx.()1e:>1,()≥x+1结论九函数的对称性已知函数x是定义在R上的函数.:f()a+b若fa+x=fb-x恒成立则y=fx的图像关于直线x=轴对称(1)()(),(),2特别地若axax恒成立则x的图像关于直线xa轴对称.,f(+)=f(-),y=f()=æa+bcö若fa+x+fb-x=c则y=fx的图像关于点ç÷中心对称(2)()(),()è,ø,22特别地若fa+x+fa-x=b恒成立则y=fx的图像关于点ab中心对称.,()()2,()(,)æö例10已知函数fx=Aωx+φ的图像如图-所示fçπ÷=-2则f=.()cos()22,èø,(0)()23-22-11A.B.C.D.3322图2-26常考二级结论及其应用变式1已知函数y=gx的图像由fx=x的图像向右平移φφ个单位得到这两()()sin2(0<<π),个函数的部分图像如图-所示则φ=.23,图2-3éù变式2设函数fx=Aωx+φAωφ是常数Aω.若fx在区间êππú上具()sin()(,,,>0,>0)()ë,û62æöæöæö有单调性且fçπ÷=fç2π÷=-fçπ÷则fx的最小正周期为.,èøèøèø,()236结论十三点共线结论设平面上OAB三点不共线则平面上任意一点P与AB共线的充要条件是存在:,,,,实数λ与μ使得OP→=λOA→+μOB→且λ+μ=.特别地当P为线段AB的中点时OP→=1OA→+,,1,,21OB→.2证明先证必要性.如图-所示因为PAB三点共线所以AP→AB→即存在tR:24,,,,∥,∈,使得AP→=tAB→故OP→-OA→=t(OB→-OA→)所以OP→=OA→+tOB→-tOA→=-tOA→+tOB→.,,(1)设-t=λt=μ则OP→=λOA→+μOB→且λ+μ=.1,,,1再证充分性.若OP→=λOA→+μOB→且λ+μ=则λ+μOP→=λOA→+μOB→,1,(),即λOP→-λOA→=μOB→-μOP→也即λAP→=μPB→.所以AP→PB→故APB三点共线.,∥,,,综上所述PAB三点共线的充要条件是存在实数λ与μ使得OP→=λOA→+μOB→且λ+μ=.,,,,,1图2-4例11在ABC中AB→=cA→C=b.若点D满足BD→=D→C则AD→=.△,,2,().2b+1c.5c-2b.2b-1c.1b+2cABCD33333333变式1若在直线l上存在不同的三点ABC使得关于实数x的方程x2OA→+xOB→+B→C=0有解,,,点O不在直线上则此方程的解集为.(),()A.∅B.{-1,0}-+--1515C.{-1}D.{,}22变式2已知两个单位向量ab的夹角为c=ta+-tb若bc=则t=.,60°,(1),·0,7临门一脚(含密押三套卷)(理科版)结论十一.若向量O→AO→B不共线且点P为线段AB的中点则O→A·O→B=|O→P|2-|P→A|2=|O→P|2-|P→B|2=1,,,æAB→ö2|OP|2-ç÷→èø;2.在矩形ABCD所在平面内向量|OA→|2+|O→C|2=|OB→|2+|OD→|2点O为平面内一点.2,()证明.如图-所示在OAB中因为点P为线段AB的中点所以PA→+PB→=0故OA→·OB→=:125,△,,,(OP→+PA→)·(OP→+PB→)=(OP→+PA→)·(OP→-PA→)=|OP→|2-|PA→|2=|OP→|2-|PB→|2=æAB→ö2|OP|2-ç÷.→èø2.如图-所示设矩形ABCD的对角线AC与BD的交点为点P则点P为AC和BD的中点.226,,因为OA→+O→C=OP→OA→-O→C=CA→则OA→+O→C2+OA→-O→C2=|OP→|2+|CA→|22,,()()4,|CA→|2即|OA→|2+|O→C|2=|OP→|2+|CA→|2所以|OA→|2+|O→C|2=|OP→|2+.2()4,22|B→D|2同理|O→B|2|O→D|2=|O→P|2+.又|A→C|=|B→D|所以|O→A|2+|O→C|2=|O→B|2+|O→D|2.,2,2图2-5图2-6例12在ABC中点M是BC的中点AM=BC=则AB→A→C=.△,,3,10,·变式1在ABC中设点P是AB边上一定点满足PB=1AB且对于AB边上任一点P恒有△,0,0,,4PB→P→CPB→P→C则.·≥0·0,()ABC=BAC=AB=ACAC=BCA.∠90°B.∠90°C.D.变式2点P是棱长为的正方体ABCDABCD的底面ABCD上一点则PA→PC→的取值111111111,·1范围是.()éùéùéùê--1úê-1-1ú-ê-1úA.ë1,ûB.ë,ûC.[1,0]D.ë,0û4242变式3已知圆Mx2+y-2=圆Nx2+y+2=直线ll分别过圆心MN且l与圆:(1)1,:(1)1,1,2,,1y2x2M相交于AB两点l与圆N相交于CD两点点P是椭圆+=上的任意一动点则,,2,,1,43P→AP→B+P→CPD→的最小值为.··例13在平面上AB→AB→OB→=OB→=AP→=AB→+AB→.若OP→1则OA→的取值,1⊥2,121,12<,2范围是.()æúùæúùæúùæúùç5úç57úç5úç7úA.è0,ûB.è,ûC.è,2ûD.è,2û222228常考二级结论及其应用|PA|2+|PB|2变式1在ABC中点D是斜边AB的中点点P为线段CD的中点则=.Rt△,,,|PC|2()....A2B4C5D10结论十二若数列an为等差数列an-an-=dnnN*an+-an=dnN*an+=an+an+{}⇔1(≥2,∈)⇔1(∈)⇔212对任意nN*恒成立通项公式an=kn+bkb为常数nN*为一次型前n项和公式∈⇔(,,∈)⇔SnSn=An2+BnAB为常数nN*为二次型数列也为等差数列.(,,∈)⇔{n}Sn已知等差数列an其公差为d前n项和为Sn求证也为等差数列.{},,,:{n}aan·n1+nn-证明由通项公式an=a+n-d知其前n项和为Sn=()=na+(1)·d=:1(1),122dædöSnddn2+ça-÷nnN*所以=n+a-è1ø(∈),n1①2222Sn-dædö当n时1=n-+ça-÷≥2,n-(1)è1ø②122SnSn-dSnSd式-式得-1=nnN*.所以数列是以1=a为首项为公差的①②,nn-(≥2,∈){n}1,1212等差数列.SS32例14已知等差数列an的前n项和为Sn且满足-=则数列an的公差是.{},1,{}()321A.B.1C.2D.32变式1已知等差数列an的前n项和为Sn且S=S=则S=.{},10100,10010,110结论十三已知等差数列an的前n项和为Sn等比数列bn的前n项积为TnmnstN*.{},{},,,,∈若m+n=t则am+an=atbm·bn=bt2(1)2,2,;n-Sn-=n-·anTn-=bn21(2)21(21),21;anSn-21等差数列anbn的前n项和分别为SnTn则=.(3){},{},,bnTn-21例15在等差数列an中已知a+a=则该数列前项和S=.{},4816,1111()....A58B88C143D176变式1等差数列an的前n项和为Sn.已知am-+am+-a2m=Sm-=则m=.{}110,2138,Ann+变式2已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn且=745nN*则使{}{},Bnn+(∈),3an得为整数的正整数n的个数是.bn()....A2B3C4D59临门一脚(含密押三套卷)(理科版)结论十四已知等比数列an公比为前n项和为Sn.{},q,数列{1}也为等比数列其公比为1(1)an,q;若q=则Sn=na且an同时为等差数列(2)1,1,{};na-qa-anqaaæaö1111nnç1÷若q则Sn=(1)==-·q=λ-λ·qλ=.(3)≠1,-q-q-q-qè-qø11111例16已知an是首项为的等比数列Sn是an的前n项和且S=S则数列1的前项和36{}{}1,{},9,an5为.().15或.31或.31.15A5B5CD816168变式1在等比数列an中公比为q其前n项和为Sn.已知S=31a=1则1+1+1+1+1={},,5,3,aaaaa16412345.x例17等比数列an的前n项和为Sn已知对任意的nN*点nSn均在函数y=b+{},∈,(,)rb且bbr为常数的图像上求r的值.(>0≠1,,),n-变式1已知等比数列an的前n项和Sn=t2-1nN*则实数t=.{}·5,∈,()5...4.1A4B5CD55n+变式2设fn=+3+5+7++29(nΝ)则fn=.()3333…3∈,()结论十五已知数列an的前n项和为Sn前n项乘积为Tn.{},若an为等差数列公差为d则SnSn-SnSn-Sn…仍为等差数列公差为n2d(1){},,,2,32,,,;若an为等比数列公比为q则SnSn-SnSn-Sn…仍为等比数列当n为偶数时(2){},,,2,32,,(,q-公比为qn≠1),;TnTn23n2若an为等比数列公比为q则Tn…仍为等比数列公比为q.(3){},,,Tn,Tn,,,210常考二级结论及其应用SS69例18设等比数列an的前n项和为Sn若=则=.{},S3,S()36.7.8.A.2BCD333变式1设等比数列an的前n项和为Sn若S=S=则S=.{},23,415,6()....A31B32C63D64SS48变式2设Sn是等差数列an的前n项和若=1则=.{},S,S()8316.3.1.1.1ABCD10398结论十六.已知圆O的方程为x-m2+y-n2=R2点Pab直线la-mx-m+b-ny-1()(),(,),:()()()(nR2.)=若点P在圆O上则直线l与圆O相切点P为切点l为切线.(1),,,若点P在圆O外则直线l与圆O相交两交点分别为过点P作圆的两切线的切点l为切点弦(2),,,所在的直线.若点P在圆O内不是圆心则直线l与圆O相离圆心到直线l的距离d满足R2=|OP|·d.(3)(),,.过圆或圆锥曲线上一点Pxy的切线方程.2(0,0)过圆Cx-a2+y-b2=R2上一点Pxy的切线方程为(1):()()(0,0)x-ax-a+y-by-b=R2.(0)()(0)()x2y2xxyy过椭圆+=上一点Pxy的切线方程为0+0=.(2)a2b21(0,0)a2b21过抛物线Cy2=pxp上一点Pxy的切线方程为yy=px+x.(3):2(≠0)(0,0)0(0).已知点Mxy抛物线Cy2=pxp和直线lyy=px+x.3(0,0),:2(≠0):0(0)当点M在抛物线C上时直线l与抛物线C相切其中点M为切点l为切线.(1),,,当点M在抛物线C外时直线l与抛物线C相交其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切(2),,线即直线l为切点弦所在的直线.,当点M在抛物线C内时直线l与抛物线C相离.(3),理解求过圆锥曲线上或外一点的切线方程时可以借助直线与圆锥曲线的位置关系的解题:(1)(),套路联立方程看判别式.(,)在求过圆外一点Pxy的圆的切线方程时应注意理解如下两点(2)(0,0),:所求切线一定有两条设直线方程之前应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.①;②,例19过点作圆x-2+y2=的两条切线切点分别为AB则直线AB的方程为.(3,1)(1)1,,,()x+y-=x-y-=x-y-=x+y-=A.230B.230C.430D.430变式1已知点Mab在圆Ox2+y2=外则直线ax+by=与圆O的位置关系是.(,):1,1()相切相交相离不确定A.B.C.D.x2y2æö变式2若椭圆+=的焦点在x轴上过点ç1÷作圆x2+y2=的切线切点分别为AB两a2b21,è1,ø1,,2点直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点则椭圆方程是.,,11临门一脚(含密押三套卷)(理科版)结论十七x2y2.在椭圆E+=ab中.1:a2b21(>>0)如图-所示若直线y=kxk与椭圆E交于AB两点过AB两点作椭圆的切线ll'(1)27,(≠0),,,,,b2有ll'设其斜率为k则k·k=-.∥,0,0a2如图-所示若直线y=kx与椭圆E交于AB两点点P为椭圆上异于AB的点若直线(2)28,,,,,b2PAPB的斜率存在且分别为kk则k·k=-.,,1,2,12a2如图-所示若直线y=kx+mk且m与椭圆E交于AB两点点P为弦AB的(3)29,(≠0≠0),,b2中点设直线PO的斜率为k则k·k=-.,0,0a2x2y2xxyy注常变形为椭圆+=上任意一点xy处的切线方程为0+0=:(1):a2b21(0,0)a2b21;x2y2b2x常变形为椭圆+=内以任意一点xy为中点的弦AB的斜率k=-·0.(3):221(0,0)2abay0图2-8图2-7图2-9x2y2.在双曲线E-=ab中类比上述结论有2:a2b21(>0,>0),:b2b2b2k·k=k·k=k·k=.(1)0a2;(2)12a2;(3)0a2p.在抛物线Cy2=pxp中类比的结论有k=y.3:2(0)1(3)(00)>y0≠证明.首先由椭圆的对称性知ll'.设AxyBxy由结论十六知直线l的方程:1(1)∥(1,1),(2,2),3,xxyyb2xyyæb2xöb2为1+1=则k=-1.又k=1则k·k=1·ç-1÷=-切线问题.a2b21,0a2x,0xèa2øa2()y111y1设Axy则B-x-yPxyx±x(2)(0,0),(0,0),(,),≠0,x2y2x2y2x2-x2y2-y2则0+0=+=则0+0=a2b21,a2b21,a2b20,y-yy+yy2-y2b2所以k·k=0·0=0=-中心弦问题.12x-xx+xx2x2a2()00-0如图-所示联结BO并延长交椭圆E于另一点Q联结AQ(3)210,,,,因为点P为AB的中点由椭圆的对称性知点O为BQ的中点则OP,,为BAQ的中位线所以k=kAQ.又k=kAB所以由结论十七△,0,1(2)b2b2图2-10知kAQ·kAB=-即k·k=-中点弦问题.,a2,0a2().双曲线与抛物线中的相关结论请读者们自己证明.212常考二级结论及其应用x2例20直线m与椭圆+y2=分别交于点PP线段PP的中点为P设直线m的斜率为11,2,12,2kk直线OP的斜率为k则kk的值为.1(1≠0),2,1·2()1.-1A.2B.-2C.D22变式1过抛物线y2=x的焦点作直线与此抛物线相交于PQ两点那么线段PQ中点的轨迹方程4,,是.()y2=xy2=xy2=-x.y2=-x+A.2-1B.2-2C.2+1D22x2y2例21已知椭圆E+=ab的右焦点为F过点F的直线交椭圆于AB两点.:a2b21(>>0)(3,0),,若AB的中点坐标为-则E的方程为.(1,1),()x2y2x2y2x2y2x2y2+=+=+=+=A.1B.1C.1D.1453636182718189x2y2变式1椭圆C+=的左右顶点分别为AA点P在椭圆C上且直线PA的斜率的取值范围是:1、1,2,243--那么直线PA的斜率的取值范围是.[2,1],1()éùéùéùéù.ê13ú.ê33ú.ê1ú.ê3úAë,ûBë,ûCë,1ûDë,1û248424x2y2变式2如图-所示在平面直角坐标系xOy中过坐标原点的直线交椭圆+=于PA两211,,1,42点其中点P在第一象限过点P作x轴的垂线垂足为点C联结AC并延长交椭圆于点B设直,,,,,,线PA的斜率为k.对任意k求证PAPB.>0,:⊥结论十八图2-11在圆锥曲线椭圆双曲线抛物线中曲线上的一定点P非顶点与曲线上的两动点AB满足直(、、),(),线PA与直线PB的斜率互为相反数倾斜角互补则直线AB的斜率为定值.(),x2y2如图-所示已知椭圆+=ab定点Pxyxy在椭圆上设AB(1)212,a2b21(>>0),(0,0)(00≠0),,是椭圆上的两个动点直线PAPB的斜率分别为kPAkPB且满足kPA+kPB=则直线AB的斜,,,,0,b2x0率kAB为定值.a2y0x2y2如图-所示已知双曲线-=ab定点Pxyxy在双曲线上设A(2)213,a2b21(,>0),(0,0)(00≠0),,B是双曲线上的两个动点直线PAPB的斜率分别为kPAkPB且满足kPA+kPB=则直线AB,,,,0,b2x0的斜率kAB为定值-.a2y0如图-所示已知抛物线y2=pxp定点Pxyxy在抛物线上设AB(3)214,2(>0),(0,0)(00≠0),,是抛物线上的两个动点直线PAPB的斜率分别为kPAkPB且满足kPA+kPB=则直线AB的,,,,0,p斜率kAB为定值-.y013临门一脚(含密押三套卷)(理科版)yyPPOxOAxABB图图2-122-14图2-13下面以双曲线为例给出证明椭圆与抛物线中的相关证明方法可参考本结论后面的例题和变式.,证明设AxyBxy设直线PA的方程为y=kx-x+y令m=y-kx:(1,1),(2,2),(0)0,00,ì=kx+mïy联立方程íx2y2整理得b2-a2k2x2-a2kmx-a2m2-a2b2=ï-=,()20,îa2b21a2m2+a2b2a2y-kx2+a2b2a2y+kx2+a2b2则xx=-解得x=-(00)同理x=-(00).10b2-a2k2,1b2-a2k2x,2b2-a2k2x()0()0yykxykxkxykxkxkxx2-1-2+0+0-1+0-00-1+2故直线AB的斜率kAB==()()=2()=xxxxxx2-12-12-1b2x-0为定值.a2y0x2y2æö例22已知椭圆C+=点A为椭圆上的定点若其坐标为Aç3÷EF是椭圆C上的两个动点:1,,è1,ø,,,432如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数.求证直线EF的斜率为定值并求出这个定值.:,变式1已知抛物线Cy2=x定点P在抛物线上设AB是抛物线上的两个动点直线PAPB的斜率:2,(8,4),,,,分别为kPAkPB且满足kPA+kPB=.求证直线AB的斜率kAB为定值并求出该定值.,,0:,14常考二级结论及其应用结论十九若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合则斜边所在直线过定点.具体结论及证明,如下:x2y2对于椭圆+=ab上异于右顶点的两动点AB以AB为直径的圆经过右顶点(1)a2b21(>>0),,ææ22ööçça-b÷÷a则直线lAB过定点a.同理当以AB为直径的圆过左顶点-a时直线(,0),èèa2+b2ø,0ø,(,0),ææ22ööçça-b÷÷lAB过定点-a.èèa2+b2ø,0øx2y2对于双曲线-=ab上异于右顶点的两动点AB以AB为直径的圆经过右顶(2)a2b21(>0,>0),,ææ22ööçça+b÷÷点a则直线lAB过定点a.同理对于左顶点-a则定点(,0),èèa2-b2ø,0ø,(,0),ææa2+b2öö为ç-ç÷a÷.èèa2-b2ø,0ø对于抛物线y2=pxp上异于顶点的两动点AB若OA→·OB→=则弦AB所在直线过定(3)2(>0),,0,点p.同理抛物线x2=pyp上异于顶点的两动点AB若OA→OB→则弦AB过定点(2,0),2(>0),,⊥,p.下面以椭圆为例给出证明双曲线和抛物线的证明方法可参考本结论后面的例题和变式.(0,2),证明如图-所示设AxyBxyAa设直线l的方程为x=ty+mma.:215,(1,1),(2,2),1(,0),(≠)x2y2+=联立a2b21消x得a2+b2t2y2+b2mty+b2m2-a2b2={,()20,x=ty+myïìΔ=b2mt2-a2+b2t2b2m2-a2b2(2)4()()>0Aïb2mtïy+y=-2A1í12a2+b2t2Oxï(*)b2m2-a2Bïyy=()î12a2+b2t2因为以AB直径的圆过椭圆的右顶点A所以AA→·AB→=图2-151,110,即x-ay·x-ay=(1,1)(2,2)0,即xx-ax+x+a2+yy=12(12)120,ty+mty+m-aty+y+m+a2+yy=(1)(2)[(12)2]120,整理得t2+yy+m-aty+y+m-a2=.(1)12()(12)()0t2+b2m2-a2-b2mt将式代入上式得(1)()+m-at·2+m-a2=(*)a2+b2t2()a2+b2t2()0,a2-b2aæa2-b2aö化简得m=()因此直线l过定点ç()÷.a2+b2,èa2+b2,0øæ-aa2-b2ö同理可证若以AB为直径的圆过左顶点-a则l过定点ç()÷.,(,0),èa2+b2,0øx2y2类比椭圆对于双曲线-=ab上异于右顶点的两动点AB若以AB为直径的圆过右,a2b21(,>0),,æ22öçaa+b÷顶点a则lAB过定点().同理若该圆过左顶点-a则lAB过定(,0),èa2-b2,0ø,(,0),æ-aa2+b2ö点ç()÷.èa2-b2,0ø下面以一道例题和三道变式题来说明一下该结论.15临门一脚(含密押三套卷)(理科版)x2y2例23已知椭圆+=直线ly=kx+m与椭圆交于AB两点AB不是左右顶点且以1,:,(,、),43AB为直径的圆过椭圆的右顶点.求证直线l过定点并求出该定点的坐标.:,变式1已知抛物线y2=pxp上异于顶点的两动点AB满足以AB为直径的圆过顶点.求证2(>0),:AB所在的直线过定点并求出该定点的坐标.,变式2如图-所示点O为坐标原点直线l在x轴上的截距为aa且交抛物线y2=px216,,(>0),2p于MxyNxy两点当a=p时求MON的大小.(>0)(1,1),(2,2),2,∠图2-16变式3已知直线y=a交抛物线y=x2于AB两点.若该抛物线上存在点C使得ACB=则a,,∠90°,的取值范围为.16常考二级结论及其应用结论二十pAB是过抛物线y2=pxp焦点F的弦焦点弦过点AB分别作准线lx=-的垂线垂2(>0)(),,:,2足分别为点AB点E为AB的中点.1,1,11如图-所示以AB为直径的圆与准线l相切于点E(1)217,;如图-所示以AB为直径的圆与弦AB相切于点F且EF2=AA·BB(2)218,11,11;如图-所示以AF为直径的圆与y轴相切.(3)219,图图2-182-19图2-17证明如图-所示由抛物线的定义知AA=AFBB=BF设点P为弦AB的中点则EP=:(1)217,,1,1,,AA+BBAB11=故点E在以AB为直径的圆上.又EPAA所以EPAB故准线与圆P,∥1,⊥11,22相切切点为E.,如图-所示联结AFBF由抛物线定义知AA=AF所以AAF=AFA.同理(2)218,1,1,,1,∠1∠1BBF=BFB.又因为AABB所以BBF+AAF=故AFA+BFB=∠1∠11∥1,∠1∠1180°,2∠12∠1即BFA=亦即AFBF.因此点F在以AB为直径的圆上则EA=EF=EB所以180°,∠1190°,1⊥111,11,BFE=EFB+BFB=EBF+BBF=即EFBF所以EFAB故以AB为直∠∠1∠1∠1∠190°,⊥,⊥,11径的圆与弦AB相切于点F.结合本结论可知AEBE.又在AEB中EFAB所以BEFEAF即(1),⊥Rt△,⊥,Rt△∽Rt△,BFEF=所以EF2=AF·BF=AA·BB.EFAF,11如图-所示设准线与x轴的交点为FAF的中点为P过点P作PQy轴垂足为点Q(3)219,1,,⊥,,AA+FFAApAA延长PQ交准线l于点P则由点P为AF的中点知PP=11=1+即PQ=1=1,,1,2222AF所以点Q在以AF为直径的圆上.又PQy轴所以以AF为直径的圆与y轴相切切点为Q.,⊥,,2例24已知抛物线Cy2=x与点M-过C的焦点且斜率为k的直线与C交于AB两点若:8(2,2),,,M→AM→B=则k=.·0,().1.2..ABC2D222变式1过抛物线y2=pxp的对称轴上一点Aaa的直线与抛物线相交于MN两2(>0)(,0)(>0),17临门一脚(含密押三套卷)(理科版)p点自点MN向直线lx=-a作垂线垂足分别为点MN.当a=时求证AMAN.,,:,1,1,:1⊥12结论二十一焦点三角形的面积:x2y2在椭圆+=ab中FF分别为左右焦点P为椭圆上一点则PFF的面(1)a2b21(>>0),1,2、,,△12θ积SPFF=b2·其中θ=FPF△12tan,∠12;2x2y2在双曲线-=ab中FF分别为左右焦点P为双曲线上一点则(2)a2b21(>0,>0),1,2、,,b2PFF的面积SPFF=其中θ=FPF.△12△12θ,∠12tan2证明若PFF为一般三角形如图-所示则SPFF=1|PF||PF|θ用θ表示:(1)△12,220,△1212sin(2FPF.由余弦定理得|PF|2+|PF|2-|PF||PF|θ=|FF|2.∠12)12212cos12又|PF|+|PF|=a|FF|=c122,122,所以|PF|+|PF|2-|PF||PF|+θ=c2(12)212(1cos)4,所以|PF||PF|+θ=a2-c2=b2212(1cos)444,b2|PF||PF|=2所以SPFF=1|PF||PF|θ=12+θ,△1212sin1cos2θθb2图2-20b2θ2sincosθsin=22=b2.+θθtan1cos222cos2双曲线中的相关结论请同学们自己证明.(2)x2例25如图-所示FF是椭圆C+y2=与双曲线C的公共焦点AB分别是CC在221,1,21:12,,1,24第二四象限的公共点.若四边形AFBF为矩形则C的离心率是.、12,2()..A2B3.3.6CD22图2-2118常考二级结论及其应用x2y2变式1已知FF是椭圆C+=ab的两个焦点P为椭圆C上一点且PF→1,2:a2b21(>>0),,1⊥PF→.若PFF的面积为则b=.2△129,y2变式2已知双曲线x2-=的焦点为FF点M在双曲线上且MF→MF→=则点M到x轴11,2,1·20,2的距离为.().4.5.23.ABCD3333x2y2x2y2变式3已知椭圆与双曲线有相同的焦点F和F它们的一个交点为P设a2+b2=1m2-n2=112,,nFPFα求证α.∠12=2,:tan=b19临门一脚含密押三套卷理科版()()例3第二篇常考二级结论及其应用解析因为ABb所以(UA)UB∩={},∁∪(∁)=UABacd.∁(∩)={,,}例1例3变式1解析因为()即集x2y2UAUBUAB解析由题意知集合A为椭圆上∁∪(∁)=∁(∩),,+=1合UAB中有n个元素.又全集U中有m416∁(∩)所有点的集合集合B是指数函数yx图个元素所以AB中有mn个元素.,=3,∩-像上所有点的集合.故选.D如图-所示由图知集合AB中有个元评注本题若结合图求解会更快捷.222,∩2Venn素故AB的子集个数是2.故选.例3变式2,∩2=4A解析因为pqpq(1)౑(∨)=(౑)∧(౑),即pqA且B.౑(∨):≠0≠0因为pqpq(2)౑(∧)=(౑)∨(౑),即pqA或B.౑(∧):≠0≠0评注pqA或BAB(1)∨:=0=0⇔=0,pqABA且B.౑(∨):≠0⇔≠0≠0pqA且BA2B2(2)∧:=0=0⇔+=0,pqA2B2A或B.౑(∧):+≠0⇔≠0≠0例4图2-22xxx解析fx(+1)(-4)+tan()=x2=1+-4例变式xxxx11tan-3设gxtan-3.x2,()=x2解析由题意知AB因-4-4={1,2},={1,2,3,4},xx为ACB所以集合C是集合与集因为gxtan(-)+3gx⊆⫋,{1,2}(-)=x2=-(),合的任意一个真子集的并集即求集合-4{3,4},即gx为定义域上的奇函数.的真子集的个数故集合C的个数为(){3,4},所以gxgx故Mm2.故选.()max+()min=0,+=2-1=3Cgxgxgx例2[()+1]max+[()+1]min=2+()max+gx.()min=2解析如图-所示若NIM例变式223,∩∁=∅,41则NM所以MNM.故选.⊆,∪=A解析令gx(x2x)xR则()=ln1+9-3,∈,gx(x2x).(-)=ln1+9+3因为gxgx(x2x)()+(-)=ln1+9-3+(x2x)x2x2ln1+9+3=ln(1+9-9)=图2-23所以gx是定义在R上的奇函数.ln1=0,()例2变式1æö又1所以ggç1÷解析由题意知A若ABBlg=-lg2,(lg2)+èlgø=0,={1,5},∩=,22则æöæöBA.ffç1÷ggç1÷⊆(lg2)+èlgø=(lg2)+1+èlgø+若B则a22①=∅,=0;故选若B则B或B即a或..,,1=2D②≠∅1∈5∈-1=0例4变式2a解得a或a1.故集合C5-1=0,=1==解析令gxaxbxxR则gx5()=sin+,∈,(-)=axbxgx即gx是定义在R1.故选.sin(-)-=-(),(){0,1,}C上的奇函数.5评注求解本题要注意A.故gg所以ff∅⊆(-1)+(1)=0,(1)+(-1)=160参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 tgcgcc.点Q的横坐标所以Pt1Qtt.(1)++(-1)+=2,(1,2),(2,log22)又cZ所以ffc为偶数故因为函数yt与yt互为反函数所以点∈,(1)+(-1)=2,=2=log2,一定不可能是和.故选.PQ关于直线yx轴对称即tt,,122,12Dt==tlog例5t1所以ttt1t2=2,1+2=1+2=1+æöç÷x3t3.所以xxtt解析由题意知函数y1与yx互è1ø1212=e=ln(2)-=+=+1++1=222为反函数其图像关于直线yx对称如图37.故选.,=,+2=C-所示.22224两曲线上点之间的最小距离PQ恰好是|00|yx与y1x上点的最小距离的倍==e2,2设y1x上点Pxy处的切线与yx=e0(0,0)=2x平行有10解得xy,e=1,0=ln2,0=1,2所以yx与y1x上点的最小距离即为==e,2点P到直线yx的距离且为2图2-250=,(1-ln2),2例6故PQ的最小值为2||(1-ln2)×2=2(1-2解析因为f1且fxfy.故选.(5)=,4()()=ln2)B4fxyfxyxyR(+)+(-)(,∈),所以令y=5,则fxfxfx()=(+5)+(-5)①故fxfxfx(+5)=(+10)+()②由得fxfx①+②(+10)+(-5)=0,即fxfx(+10)=-(-5),得fxfxT.(+15)=-(),=30因此fff1.(2015)=(5+30×67)=(5)=4例6变式1解析当x时有>0,图2-24fxfxfx()=(-1)-(-2)①例变式同理有fxfxfx51(+1)=()-(-1)②得fxfxxx()(),解析因为x所以x-15.①+②+1=--22+2=5,+2=即fxfx.2(+3)=-()所以fxfxfxT.同理xx5令tx则x(+6)=-(+3)=(),=62(),,+log-1==-1=于是fff2(2017)=(1+6×336)=(1)=t即t是tt3的解t是ttff.+1,1+2=,2+log2=(0)-(-1)=log21-log22=0-1=-12故选.A3的解且txtx.如图-所例变式,1=1-1,2=2-1225622æö示t为函数yt与y3t图像交点P的解析因为fçx3÷fx,1=2=-è+ø=-(),22æö横坐标t为函数yt与y3t图像交所以fxfçx3÷fxT.,2=log2=-(+3)=-è+ø=(),=322161临门一脚含密押三套卷理科版()()则有ff(1)=(-2)=-1,ffff(2)=(-1)=-1,(3)=(0)=2,于是fff(1)+(2)+(3)=0,所以ffff(1)+(2)+…+(2016)+(2017)=ffff[(1)+(2)+(3)]+…+[(2014)+fff(2015)+(2016)]+(2017)=672×fffff[(1)+(2)+(3)]+(2017)=(1+3×ff.故选.672)=(1)=(-2)=-1B例7ab解析假设fxt则ffxft()()(0)=,[(0)]=()=图2-26x.当xt时由条件可推出函数fx00>,(3)()在上非减所以fxft即t[,],(0)(),éaö01≥≥当a时抛物线tgx在ê÷上为x与xt矛盾故当xt时不成立.②>1,=()ë,+∞ø0,0>,0>2同理当xt时有fxft即tx增函数yft在上为增函数,0<,(0)≤(),≤0,,=()(0,+∞),若复合函数ax2ax在上与xt矛盾.综上所述tx故fxx.y()(,)0<,=0,(0)=0=log-+112为增函数则需gx在上单调递增且例7变式1,()(1,2),ïìax解析令tgxxa则yttï≤1=()=e+-,=(≥2xg即í解得a..g'x因为g'x恒成立(1)≥0,ïa,1<≤20)()=e+1,()>0,ï2-≥0所以gx在定义域上为增函数幂函数yîa(),=>11在上也为单调增函数综上所述实数a的取值范围是.tt2,(1,2]=[0,+∞),评注复合函数利用同增异减判断其单调性由复合函数的单调性可知fx“”()=时一定要注意单调区间是定义域的子集.就x,xa在定义域上为增函数.若曲线ye+-=本题而言gx在上的函数值均为正数,()(1,2)x上存在点xy使得ffyy成才有意义sin(0,0)[(0)]=0.立即存在y使得ffyy,0∈[-1,1][(0)]=0例8成立由结论六知方程fxx在,,()=[-1,1]b解析由已知得axb即x.观察选项上有解即x使得xxax0=,0=a,,∃∈[-1,1],e+-=,x亦即axx2在上有解.令hx=e+-[0,1]()=发现与二次函数fx1ax2bxaxx()=-(>0,xx2xh'xx.2e+-,∈[0,1],()=e+1-2xR有关.当x时h'x恒成立故hx在∈)∈[0,1],()>0,()结合如图-所示图形可知抛物线yfx上单调递增所以hxhh227,=()[0,1],()∈[(0),(1)]=bæbùçú即a.故选.的对称轴为x在ú上单调递减在[1,e],∈[1,e]A=a,è-∞,aû,例7变式2éböbê÷上单调递增.若x则xR都ëa,+∞ø0=a,∀∈,解析令tgxx2ax则yftat.=()=-+1,=()=log当a时抛物线tgx的对称轴有fxfx即1ax2bx1ax2bx.①0<<1,=()()≥(0),-≥0-0aæö22xç1÷.如图-所示gx在=∈è0,ø226,()(1,反之若xR1ax2bx1ax2bx恒22,∀∈,-≥0-0上为增函数而yft在上为减222),=()(0,+∞)b成立则fx为fx的最小值即x.函数.所以复合函数yfgxax2,(0)(),0=a=[()]=log(-ax在上单调递减与已知条件不符.故选.+1)(1,2),C162参考答案xx且x所以排除选项{|>-1≠0},D;令gxxx则由经典不等式()=ln(+1)-,xx知gx恒成立故fxln(+1)≤,()≤0,()=1恒成立所以排除.故选.x,,g()<0ACB例9变式1图2-27æö解析令gxfxç1x2x÷例8变式1()=()-è++1ø=2解析因为的图像关于直线对fxxxx()=-21x2xxRg.'xx称且ff即xxe---1,∈()=e--1,,()(),1,221=-1=0=-1=1x是函数x的两个零点由经典不等式xxR恒成立可知f(),e≥+1(∈),所以方程x2axb也有两解分别为g'x恒成立所以gx在R上为单调递++=0,()≥0,()xx.增函数且g故函数gx有唯一零点3=-3,4=-5,(0)=0,(),则fxx2x2axbxx即两曲线有唯一公共点.()=(1-)(++)=-(+1)(-xxx2xx2x.例9变式21)(+3)(+5)=-(+4+3)(+4-5)令tx2xtt,[,),y()·x=+4∈-4+∞=-+3解析x时fxxtt2tt2.>-1,()≥x⇔>-1,(-5)=-(-2-15)=-(-1)+