近世代数试题库

文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）近世代数 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 库近世代数一、单项选择题1、若A={1，2，3，5}，B={2，3，6，7}，则=（）A、{1，2，3，4}B、{2，3，6，7}C、{2，3}D、{1，2，3，5，6，7}答案：C2、循环群与交换群关系正确的是（）A、循环群是交换群B、交换群是循环群C、循环群不一定是交换群D、以上都不对答案：A3、下列命题正确的是（）A、n次对换群的阶为B、整环一定是域C、交换环一定是域D、以上都不对答案：A4、关于陪集的命题中正确的是（）设H是G的子群，那么对于有或以上都对答案：D5、设A=R（实数域），B=R+（正实数域）f:a→10aaA则f是从A到B的（）A、单射B、满射C、一一映射D、既非单射也非满射答案：D6、有限群中的每一个元素的阶都（）A、有限B、无限C、为零D、为1答案：A7、整环（域）的特征为（）A、素数B、无限C、有限D、或素数或无限答案：D8、若S是半群,则()A、任意都有a(bc)=(ab)cB、任意都有ab=baC、必有单位元D、任何元素必存在逆元答案：A9、在整环Z中，6的真因子是（）A、B、C、D、答案：B10、偶数环的单位元个数为（）A、0个B、1个C、2个D、无数个答案：A11、设和都是非空集合，而是到的一个映射，那么（）A、集合中两两都不相同；B、的次序不能调换；C、中不同的元对应的象必不相同；D、一个元的象可以不唯一。答案：B12、指出下列那些运算是二元运算（）A、在整数集上，；B、在有理数集上，；C、在正实数集上，；D、在集合上，。答案：D13、设是整数集上的二元运算，其中（即取与中的最大者），那么在中（）A、不适合交换律；B、不适合结合律；C、存在单位元；D、每个元都有逆元。答案：C14、设为群，其中是实数集，而乘法，这里为中固定的常数。那么群中的单位元和元的逆元分别是（）A、0和；B、1和0；C、和；D、和。答案：D15、设和都是群中的元素且，那么（）A、；B、；C、；D、。答案：A16、设是群的子群，且有左陪集分类。如果6，那么的阶（）A、6；B、24；C、10；D、12。答案：B17、设是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（）A、的同态核是的不变子群；B、的不变子群的逆象是的不变子群；C、的子群的象是的子群；D、的不变子群的象是的不变子群。答案：D18、设是环同态满射，，那么下列错误的结论为（）A、若是零元，则是零元；B、若是单位元，则是单位元；C、若不是零因子，则不是零因子；D、若是不交换的，则不交换。答案：C19、下列正确的命题是（）A、欧氏环一定是唯一分解环；B、主理想环必是欧氏环；C、唯一分解环必是主理想环；D、唯一分解环必是欧氏环。答案：A20、若是域的有限扩域，是的有限扩域，那么（）A、；B、；C、；D、答案：D二、填空题1、集合A的一个等价关系需满足自反性、对称性和（）。答案：传递性2、设A,B都为有限集，且则（）.答：mn3．设是集合A＝｛平面上所有直线｝上的关系：∥或（），则（）等价关系。答：是4、设群G中的元素的阶为m，则的充要条件是（）。答：5、群G的非空子集H作成G的一个子群的充要条件是（）。答：有6、次对称群的阶是（）。答：7、设是有限群，是的子群，且在中的指数为，则（）。答：8、设G是一个群,e是G的单位元，若且a=a,则（）答：a=e9、最小的数域是（）。答：有理数域10、设集合A=｛1,2｝,则A×A=（）,2A＝（）。答：｛（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）｝，｛Φ，｛1｝，｛2｝，｛1，2｝｝11、设是A的一个变换，，则（）。答：12、设是集合A上的等价关系，（）等价关系。答：是13、若群G中每一个元素都适合方程，则是（）群。答：交换群14、阶群是循环群的充要条件是（）。答：中存在阶的元素15、设是有限循环群，则是的同态象的充要条件是（）。答：16、如果环R的乘法满足交换律，即，有，则称R为（）环答：交换环17、数集关于数的加法和乘法作成的环叫做（）环。答：数环18、设有限域的阶为81，则的特征（）。答：319、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于（）。答：2520、一个有单位元的无零因子（）称为整环。答：交换环21、如果1是一个国际标准书号，那么（）。答：622.剩余类加群Z12有（）个生成元.答：623、设群G的元a的阶是n，则ak的阶是（）答：n/(k,n)（(k,n) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示k和n的最大公约数）24、6阶循环群有（）个子群.答：326、模8的剩余类环Z8的子环有（）个.答：627、设集合；，则有（）。答：28、如果是与间的一一映射，是的一个元，则（）。答：29、设集合有一个分类，其中与是的两个类，如果，那么（）。答：31、凯莱定理说：任一个子群都同一个（）同构。答：变换群32、给出一个5-循环置换，那么（）。答：33、若是有单位元的环的由生成的主理想，那么中的元素可以表达为（）。答：34、若是一个有单位元的交换环，是的一个理想，那么是一个域当且仅当是（）。答：一个最大理想35、整环的一个元叫做一个素元，如果（）。答：p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子36、若域的一个扩域叫做的一个代数扩域，如果（）。答：E的每一个元都是F上的一个代数元三、判断题1、设与都是非空集合，那么。（×）2、设、、都是非空集合，则到的每个映射都叫作二元运算。（×）3、只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射。（√）4、如果循环群中生成元的阶是无限的，则与整数加群同构。（√）5、如果群的子群是循环群，那么也是循环群。（×）6、群的子群是不变子群的充要条件为。（√）7、如果环的阶，那么的单位元。（√）8、若环满足左消去律，那么必定没有右零因子。（√）9、中满足条件的多项式叫做元在域上的极小多项式。（×）10、若域的特征是无限大，那么含有一个与同构的子域，这里是整数环，是由素数生成的主理想。（×）四、解答题1、A={数学系的全体学生}，规定关系R：，证明R是A的一个等价关系。答案：自反性：自己与自己显然在同一个班级对称性：若a与b同在一个班级,显然b与a同在一个班级传递性：若a与b同在一个班级,b与c同在一个班级,显然a与c同在一个班级.2、在R中的代数运算是否满足结合率和交换率（等式右边指的是普通数的运算）答：因为对于，有，根据实数的加法与乘法的运算率得。又。所以，R的代数运算既满足结合率，又满足交换率。3、设集合，求。答案：4、设，，求关于子群的左陪集分解。答：，，。因而，关于子群的左陪集分解为。5、设半群既有左单位元，又有右单位元，证明，而且是的唯一单位元。答：证明（因是右单位元），（因是左单位元），得；若还有单位元，则，故是的唯一单位元。6、对于下面给出的Z到Z的映射计算。答案：7、设是的不变子群，则，有。答：因是的不变子群，故对于，有，于是。8、设0是环的零元，则对于，。答：因为，有，由于关于加法作成群，即对于加法满足消去律，在上式中两边同时消去，得。同理可得。9、如果半群有一个左单位元，并且对于，存在左逆元，使得，则是一个群。答：，由条件知，有左逆元，使得，而对于在中也存在左逆元，使得，则有所以，的左逆元也是的右逆元，即在中有逆元，又由于，知是的单位元。故是一个群。10、证明为无零因子环的充分必要条件是在环中关于乘法左消去律成立。答：设环没有左零因子，如果有，则有，当时，由于没有左零因子，得，即，中关于乘法左消去律成立。反之，若在中关于乘法左消去律成立，如果，有，即，左消去得，即中非零元均不是左零因子，故为无零因子。11、若是的两个理想，则也是的一个理想。答：，则有，，从而；；。所以，是的一个理想。12、设,,则H是G的一个子群，写出G关于H的所有左陪集的分解.答案：,,,因而，G关于H的左陪集的分解为.13、在Q中的代数运算是否满足结合率和交换率答：取则，又。所以，Q的代数运算既不满足结合率，又不满足交换率。14、设，，求关于子群的右陪集分解。答：，，。因而，关于子群的右陪集分解为。15、设是有单位元的半群，，若有左逆元，又有右逆元，则是可逆元，且是的唯一的逆元。答：证明由条件知，则有若都是的逆元，同理有故有唯一的逆元。16、设是环，则，有。答：由，得，同理，由，得。17、设是的子群，若对于，，有，则是的不变子群。答：任取定，对于，由于，则存在，使得；，由于，故存在，使得。因此，对于，有。故是的不变子群。18、如果是半群，则是群的充分必要条件是：，方程和在中有解。答：必要性。因是群，则在中有逆元，则，分别代入方程和，有，，即分别为方程和的解。充分性。因是半群，则是非空集合，取定，则方程在中有解，即存在中的元素，使得。下证是的左单位元。，方程和在中有解，即，于是，则是的一个左单位元。又，方程在中有解，即，得是的一个左逆元。从而得中的每一个元素都有左逆元。故是群。19、证明为无零因子环的充分必要条件是在环中关于乘法右消去律成立。答：设环没有左零因子，则也无右左零因子。于是由，得，当时，由于没有右零因子，得，即，中关于乘法右消去律成立。反之，若在中关于乘法右消去律成立，如果，有，即，右消去得，即中非零元均不是右零因子，故为无零因子。20、设为交换环，，，证明：是的理想。答：（1），则，从而，即。（2），有，由于为交换环，从而，即。因此是的理想。21、=（z，+），对规定结合法“”证明是一个群。证明：为G的一个二元运算显然，设是G中任意三个元，=。G中结合法满足结合律。又，易知2是的单位元。，直接验算得是在中的逆元。所以是一个群。22、设G是非Abel群，证明存在非单位元a,b，a≠b使ab=ba。证：利用元素和它的逆可交换，或元素和它的幂可交换。但要求元素和它的逆（幂）不等。由于G是非Abel群，必有阶数大于2的元素a，因而a≠a-1，取b=a-1，则ab=ba。23、设H≤G，a,b∈G，证明以下命题等价：（1）a-1b∈H,(2)b∈aH,(3)aH=bH,(4)aH∩bH≠。证本题主要熟悉陪集性质。用循环证法。（1）=>（2）：a-1b∈H=>a-1b=h=>b=ah=>b∈aH。（2）=>（3）：b∈aH=>bh∈aH=>bH属于aH，另一方面，b∈aH=>b=ah=>a=bh-1=>aH属于bH，综上得aH=bH。（3）=>（4）：aH=bH显然有aH∩bH≠。（4）=>（1）：aH∩bH≠=>存在h1,h2∈H使ah1=bh2=>a-1b=h1h2-1=>a-1b∈H。24、叙述群的定义。答：封闭律、结合律、有单位元、每元有逆元。25、列出2个群的实例，其中一个是有限群，另一个是无限群。答：加群Zn与Z。26、整数环的商域（分式域）是什么域答：有理数域。27、证明有理数域不包含真子域。答案：有理数域Q的任何子域F一定含单位元1，因此F包含整数环Z，而一个域含整数环Z则必含Z的分式域Q，因此F=Q