概率论与数理统计 茆诗松 第二版课后

1第六章参数估计习题6.11．设X1,X2,X3是取自某总体容量为3的 样本 保单样本pdf木马病毒样本下载上虞风机样本下载直线导轨样本下载电脑病毒样本下载 ，试证下列统计量都是该总体均值µ的无偏估计，在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？（1）3211613121ˆXXX++=µ；（2）3212313131ˆXXX++=µ；（3）3213326161ˆXXX++=µ．证：因µµµµµ=++=++=613121)(61)(31)(21)ˆ(3211XEXEXEE，µµµµµ=++=++=313131)(31)(31)(31)ˆ(3212XEXEXEE，µµµµµ=++=++=326161)(32)(61)(61)ˆ(3213XEXEXEE，故321ˆ,ˆ,ˆµµµ都是总体均值µ的无偏估计；因2222321136143619141)Var(361)Var(91)Var(41)ˆVar(σσσσµ=++=++=XXX，2222321231919191)Var(91)Var(91)Var(91)ˆVar(σσσσµ=++=++=XXX，222232132194361361)Var(94)Var(361)Var(361)ˆVar(σσσσµ=++=++=XXX，故)ˆVar()ˆVar()ˆVar(312µµµ<<，即2µˆ有效性最好，1µˆ其次，3µˆ最差．2．设X1,X2,…,Xn是来自Exp(λ)的样本，已知X为1/λ的无偏估计，试说明X/1是否为λ的无偏估计．解：因X1,X2,…,Xn相互独立且都服从指数分布Exp(λ)，即都服从伽玛分布Ga(1,λ)，由伽玛分布的可加性知∑==niiXY1服从伽玛分布Ga(n,λ)，密度函数为01e)()(>−−ΙΓ=yynnYynypλλ，则λλλλλλλ1)1()(e)(e)(110201−=−Γ⋅Γ=Γ=Γ⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∞+−−∞+−−∫∫nnnnndyynndyynynYnEXEnnynnynn，故X/1不是λ的无偏估计．3．设θˆ是参数θ的无偏估计，且有0)ˆ(Var>θ，试证2)ˆ(θ不是θ2的无偏估计．证：因θθ=)ˆ(E，有2222)ˆVar()]ˆ([)ˆVar(])ˆ[(θθθθθθ>+=+=EE，故2)ˆ(θ不是θ2的无偏估计．4．设总体X~N(µ,σ2)，X1,…,Xn是来自该总体的一个样本．试确定常数c使∑=+−niiiXXc121)(为σ2的无偏估计．解：因E[(Xi+1−Xi)2]=Var(Xi+1−Xi)+[E(Xi+1−Xi)]2=Var(Xi+1)+Var(Xi)+[E(Xi+1)−E(Xi)]2=2σ2，2则2211211121)1(22)1(])[()(σσ−=⋅−⋅=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∑∑−=+−=+ncncXXEcXXcEniiiniii，故当)1(21−=nc时，21121)(σ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∑−=+niiiXXcE，即∑−=+−1121)(niiiXXc是σ2的无偏估计．5．设X1,X2,…,Xn是来自下列总体中抽取的简单样本，⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤−=.,0;2121,1);(其他θθθxxp 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 样本均值X及)(21)()1(nXX+都是θ的无偏估计，问何者更有效？证：因总体⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−21,21~θθUX，有)1,0(~21UXY+−=θ，则21−+=θYX，21)1()1(−+=θYX，21)()(−+=θnnYX，即21)(21)(21)()1()()1(−++=+θnnYYXX，可得θθθ=−+=−+=21)(21)()(YEYEXE，nYnYX121)Var(1)Var()Var(===，因Y的密度函数与分布函数分别为pY(y)=I0<y<1，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(yyyyyFY有Y(1)与Y(n)的密度函数分别为10111)1()()](1[)(<<−−Ι−=−=ynYnYynypyFnyp，1011)()]([)(<<−−Ι==ynYnYnnyypyFnyp，且(Y(1),Y(n))的联合密度函数为)()1()()()]()()[1(),()()1(2)1()()()1(1nyynYYnYnYnnypypyFyFnnyyp<−Ι−−=102)1()()()1())(1(<<<−Ι−−=nyynnyynn，则11)2()()2()1()(101)1(+=+ΓΓΓ⋅=−⋅=∫−nnnndyynyYEn，1)(101)(+=⋅=∫−nndynyyYEnn，)2)(1(2)3()()3()1()(10122)1(++=+ΓΓΓ⋅=−⋅=∫−nnnnndyynyYEn，2)(10122)(+=⋅=∫−nndynyyYEnn，∫∫∫∫−−−−⋅⋅=−−⋅=1001)1()()()1()(100)1(2)1()()()1()()()1()()()()1())(1()(nnynnnnynnnnnyydnyydydyyynnyydyYYE∫∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅−+−−=−−100)1()(1)1()(01)1()()()1()()()()()(nnynnnynnnndyyyynyyynydy2121)(102)(10)(1)(100)1()()()()(+=+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⋅−=++∫∫nyndyyyyydynnnnnynnnnn，即)2()1(11)2)(1(2)Var(22)1(++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−++=nnnnnnY，)2()1(12)Var(22)(++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=nnnnnnnYn，3且)2()1(111121),Cov(2)()1(++=+⋅+−+=nnnnnnYYn可得θθ=−++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+21)]()([21)(21)()1()()1(nnYEYEXXE，)2)(1(21)2()1(422)],Cov(2)Var()[Var(41)(21Var2)()1()()1()()1(++=+++=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+nnnnnYYYYXXnnn，因θ=)(XE，θ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+)(21)()1(nXXE，故X及)(21)()1(nXX+都是θ的无偏估计；因当n>1时，)2)(1(21)(21Var121)Var()()1(++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+>=nnXXnXn，故)(21)()1(nXX+比样本均值X更有效．6．设X1,X2,X3服从均匀分布U(0,θ)，试证)3(34X及4X(1)都是θ的无偏估计量，哪个更有效？解：因总体X的密度函数与分布函数分别为θθ<<Ι=xxp01)(，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.,1;0,;0,0)(θθθxxxxxF有X(1)与X(3)的密度函数分别为θθθ<<Ι−=−=xxxpxFxp03221)(3)()](1[3)(，θθ<<Ι==xxxpxFxp032233)()]([3)(，则443223)(3)(043223032)1(θθθθθθθθ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⋅−⋅=−⋅=∫xxxdxxxXE，43433)(043032)3(θθθθθ=⋅=⋅=∫xdyxxXE，1054233)(3)(205432303222)1(θθθθθθθθ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⋅−⋅=−⋅=∫xxxdxxxXE，53533)(205303222)3(θθθθθ=⋅=⋅=∫xdyxxXE，即803410)Var(222)1(θθθ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=X，8034353)Var(222)3(θθθ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=X，因θθ=⋅=44)4()1(XE，θθ=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛433434)3(XE，4故4X(1)及)3(34X都是θ的无偏估计；因5380316)4Var(22)1(θθ=⋅=X，1580391634Var22)3(θθ=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛X，有⎟⎠⎞⎜⎝⎛>)3()1(34Var)4Var(XX，故)3(34X比4X(1)更有效．7．设从均值为µ，方差为σ2>0的总体中，分别抽取容量为n1和n2的两独立样本，1X和2X分别是这两个样本的均值．试证，对于任意常数a,b（a+b=1），21XbXaY+=都是µ的无偏估计，并确定常数a,b使Var(Y)达到最小．解：因µµµµ=+=+=+=)()()()(21babaXbEXaEYE，故Y是µ的无偏估计；因22222121222122221212)1()(Var)(Var)(Varσσσ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+=⋅−+⋅=+=nanannnnnanaXbXaY，令022)(Var222121=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅+=σnannnnYdad，得211nnna+=，且02)(Var2212122>⋅+=σnnnnYadd，故当211nnna+=，2121nnnab+=−=时，Var(Y)达到最小2211σnn+．8．设总体X的均值为µ，方差为σ2，X1,…,Xn是来自该总体的一个样本，T(X1,…,Xn)为µ的任一线性无偏估计量．证明：X与T的相关系数为)Var()Var(TX．证：因T(X1,…,Xn)为µ的任一线性无偏估计量，设∑==niiinXaXXT11),,(L，则µµ===∑∑==niiniiiaXEaTE11)()(，即11=∑=niia，因X1,…,Xn相互独立，当i≠j时，有Cov(Xi,Xj)=0，则nanXXnaXaXnXaXnTXniiniiiiniiiiniiinii2121111),Cov(,1Cov,1Cov),Cov(σσ===⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑∑∑∑∑=====，因),Cov()Var(1)Var(2TXnXnX===σ，故X与T的相关系数为)Var()Var()Var()Var()Var()Var()Var(),Cov(),Corr(TXTXXTXTXTX===．9．设有k台仪器，已知用第i台仪器测量时，测定值总体的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差为σi（i=1,…,k）．用这些仪器独立地对某一物理量θ各观察一次，分别得到X1,…,Xk，设仪器都没有系统误差．问a1,…,ak应取何值，方能使∑==kiiiXa1θˆ成为θ的无偏估计，且方差达到最小？5解：因θθθ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑∑∑∑====kiikiikiiikiiiaaxEaxaEE1111)()ˆ(，则当11=∑=kiia时，∑==kiiixa1θˆ是θ的无偏估计，因∑∑∑=====⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=kiiikiiikiiiaxaxa122121)(VarVar)ˆ(Varσθ，讨论在11=∑=kiia时，∑=kiiia122σ的条件极值，设拉格朗日函数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=∑∑==1),,,(11221kiikiiikaaaaLλσλL，令⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=−=∂∂=+=∂∂=+=∂∂∑=,01,02,02122111kiikkkaLaaLaaLλλσλσLLLLL得2212−−++−=kσσλL，2212−−−++=kiiaσσσL，i=1,…,k，故当2212−−−++=kiiaσσσL，i=1,…,k时，∑==kiiixa1θˆ是θ的无偏估计，且方差达到最小．10．设X1,X2,…,Xn是来自N(θ,1)的样本，证明g(θ)=|θ|没有无偏估计（提示：利用g(θ)在θ=0处不可导）．证：反证法：假设T=T(X1,X2,…,Xn)是g(θ)=|θ|的任一无偏估计，因∑==niiXnX11是θ的一个充分统计量，即在取定xX=条件下，样本条件分布与参数θ无关，则)|(XTES=与参数θ无关，且S是关于X的函数，||)()()]|([)(θθ====gTEXTEESE，可得)(XSS=是g(θ)=|θ|的无偏估计，因X1,X2,…,Xn是来自N(θ,1)的样本，由正态分布可加性知X服从正态分布⎟⎠⎞⎜⎝⎛nN1,θ，则∫∫∞+∞−+−−∞+∞−−−⋅⋅=⋅=dxxSndxnxSSExnxnnxnθθθ22222)(2e)(eπ2eπ2)()(，因E(S)=|θ|，可知对任意的θ，反常积分∫∞+∞−+−⋅dxxSxnxnθ22e)(收敛，6则由参数θ的任意性以及该反常积分在−∞与+∞两个方向的收敛性知∫∞+∞−⋅⋅+−⋅dxxSxnxn||||22e)(θ收敛，因xnxSxSxnxnxnxn⋅⋅=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅∂∂+−+−θθθ2222e)(e)(，且|y|≤e|y|，有||)1||(2222eexnxnxnxnxn⋅+⋅+−+−≤⋅θθ，则由∫∞+∞−⋅+⋅+−⋅dxxSxnxn||)1|(|22e)(θ的收敛性知∫∞+∞−+−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅∂∂dxxSxnxnθθ22e)(一致收敛，可得∫∞+∞−+−−⋅⋅=dxxSnSExnxnnθθ2222e)(eπ2)(关于参数θ可导，与E(S)=|θ|在θ=0处不可导矛盾，故g(θ)=|θ|没有无偏估计．11．设总体X服从正态分布N(µ,σ2)，X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本，为了得到标准差σ的估计量，考虑统计量：∑=−=niiXXnY11||1，∑==niiXnX11，n≥2，∑∑==−−=ninjjiXXnnY112||)1(1，n≥2，求常数C1与C2，使得C1Y1与C2Y2都是σ的无偏估计．解：设),0(~2θNY，有θθθθθθθπ2eπ22eπ212eπ21|||][|02022222222=−=⋅=⋅=+∞−∞+−∞+∞−⋅−∫∫yyydyydyyYE，因XXi−是独立正态变量X1,X2,…,Xn的线性组合，且0)()()(=−=−=−µµXEXEXXEii，22211,Cov21),Cov(2)Var()Var()Var(σσσnnXnXnXXXXXXiiiii−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=−+=−，则⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−21,0~σnnNXXi，σσπ)1(21π2|][|nnnnXXEi−=−⋅=−，可得σσπ)1(2π)1(21|][|1)()(11111111nnCnnnnCXXEnCYECYCEnii−=−⋅⋅⋅=−⋅==∑=，故当)1(2π1−=nnC时，E[C1Y1]=σ，C1Y1是σ的无偏估计；当i≠j时，Xi与Xj相互独立，都服从正态分布N(µ,σ2)，有E(Xi−Xj)=E(Xi)−E(Xj)=µ−µ=0，Var(Xi−Xj)=Var(Xi)+Var(Xj)=σ2+σ2=2σ2，7则Xi−Xj~N(0,2σ2)，σσπ22π2|][|=⋅=−jiXXE，当i=j时，Xi−Xj=0，E[|Xi−Xj|]=0，可得σσπ2π2)()1(1|][|)1(1)()(2221122222CnnnnCXXEnnCYECYCEninjji=−⋅−⋅=−−⋅==∑∑==，故当2π2=C时，E[C2Y2]=σ，C2Y2是σ的无偏估计．习题6.21．从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试，得到如下数据（单位：h）：1050，1100，1130，1040，1250，1300，1200，1080，试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计．解：平均寿命µ的矩估计75.1143ˆ==xµ；标准差σ的矩估计8523.89*ˆ==sµ．2．设总体X~U(0,θ)，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本值为：0.5，1.3，0.6，1.7，2.2，1.2，0.8，1.5，2.0，1.6，试对参数θ给出矩估计．解：因X~U(0,θ)，有2)(θ=XE，即θ=2E(X)，故θ的矩估计68.234.122ˆ=×==xθ．3．设总体分布列如下，X1,…,Xn是样本，试求未知参数的矩估计．（1）NkXP1}{==，k=0,1,2,…,N−1，N（正整数）是未知参数；（2）P{X=k}=(k−1)θ2(1−θ)k−2，k=2,3,…，0<θ<1．解：（1）因21)]1(10[1)(−=−+++=NNNXEL，即N=2E(X)+1，故N的矩估计12ˆ+=XN；（2）因⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−=−−⋅=∑∑∑+∞=+∞=+∞=−22222222222)1()1()1()1()(kkkkkkddddkkXEθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ2221)1(1)1(322222222=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=dddd，则)(2XE=θ，故θ的矩估计X2ˆ=θ．4．设总体密度函数如下，X1,…,Xn是样本，试求未知参数的矩估计．（1）)(2);(2xxp−=θθθ，0<x<θ，θ>0；（2）p(x;θ)=(θ+1)xθ，0<x<1，θ>0；（3）1);(−=θθθxxp，0<x<1，θ>0；（4）θµθµθ−−=xxpe1),;(，x>µ，θ>0．8解：（1）因3322)(2)(032202θθθθθθθ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅=−⋅=∫xxdxxxXE，即θ=3E(X)，故θ的矩估计X3ˆ=θ；（2）因212)1()1()(10210++=+⋅+=+⋅=+∫θθθθθθθxdxxxXE，即)(11)(2XEXE−−=θ，故θ的矩估计XX−−=112θˆ；（3）因11)(101101+=+⋅=⋅=+−∫θθθθθθθxdxxxXE，即2)(1)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=XEXEθ，故θ的矩估计21ˆ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=XXθ；（4）因θµθµθµθµµθµµθµµθµµθµ+=−=+−=−⋅=⋅=+∞−−∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−∫∫∫xxxxxdxxdxdxxXEeeee)1(e1)(，)(2e2ee)1(e1)(22222XEdxxxdxdxxXExxxxθµθµθµµθµµθµµθµ+=+−=−⋅=⋅=∫∫∫∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−=µ2+2µθ+2θ2，则Var(X)=E(X2)−[E(X)]2=θ2，即)Var(X=θ，)Var()(XXE−=µ，故θ的矩估计*ˆS=θ，*ˆSX−=µ．5．设总体为N(µ,1)，现对该总体观测n次，发现有k次观测值为正，使用频率替换方法求µ的估计．解：因p=P{X>0}=P{X−µ>−µ}=1−Φ(−µ)=Φ(µ)，即µ=Φ−1(p)，故µ的矩估计⎟⎠⎞⎜⎝⎛Φ=Φ=−−nkp11)ˆ(µˆ．6．甲、乙两个校对员彼此独立对同一本书的样稿进行校对，校完后，甲发现a个错字，乙发现b个错字，其中共同发现的错字有c个，试用矩法给出如下两个未知参数的估计：（1）该书样稿的总错字个数；（2）未被发现的错字数．解：（1）设N为该书样稿总错别字个数，且A、B分别表示甲、乙发现错别字，有A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)，使用频率替换方法，即NbNappNcpBAAB⋅===ˆˆˆ，得cabN=，故总错字个数N的矩估计cabN=ˆ；（2）设k为未被发现的错字数，因)()()(1)(1)(ABPBPAPBAPBAP+−−=−=U，使用频率替换方法，即NcNbNapppNkpABBABA+−−=+−−==1ˆˆˆ1ˆ，即k=N−a−b+c，故未被发现的错字数k的矩估计cbacabcbaNk+−−=+−−=ˆˆ．7．设总体X服从二项分布b(m,p)，其中m,p为未知参数，X1,…,Xn为X的一个样本，求m与p的矩估9计．解：因E(X)=mp，Var(X)=mp(1−p)，有)()Var(1XEXp=−，则)()Var(1XEXp−=，)Var()()]([)(2XXEXEpXEm−==，故m的矩估计22*ˆSXXm−=，p的矩估计XSp2*1ˆ−=．习题6.31．设总体概率函数如下，X1,…,Xn是样本，试求未知参数的最大似然估计．（1）1);(−=θθθxxp，0<x<1，θ>0；（2）p(x;θ)=θcθx−(θ+1)，x>c，c>0已知，θ>1．解：（1）因1,,,01212110121)()(<<−=<<−Ι=Ι=∏nixxxnnnixixxxxLLLθθθθθ，当0<x1,x2,…,xn<1时，)ln()1(ln2)(ln21nxxxnLL−+=θθθ，令0)ln(212)(ln21=+=nxxxndLdLθθθθ，得)ln(21nxxxnL−=θ，即221)ln(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=nxxxnLθ，故θ的最大似然估计221)ln(ˆ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=nXXXnLθ；（2）因cxxxnnnnicxinixxxcxcL>+−=>+−Ι=Ι=∏,,,)1(211)1(21)()(LLθθθθθθθ，当x1,x2,…,xn>c时，lnL(θ)=nlnθ+nθlnc−(θ+1)ln(x1x2…xn)，令0)ln(ln)(ln21=−+=nxxxcnndLdLθθθ，得cnxxxnnln)ln(21−=Lθ，故θ的最大似然估计cnXXXnnln)ln(ˆ21−=Lθ．2．设总体概率函数如下，X1,…,Xn是样本，试求未知参数的最大似然估计．（1）p(x;θ)=cθcx−(c+1)，x>θ，θ>0，c>0已知；（2）θµθµθ−−=xxpe1),;(，x>µ，θ>0；（3）p(x;θ)=(kθ)−1，θ<x<(k+1)θ，θ>0．解：（1）因θθθθθ>+−=>+−Ι=Ι=∏nixxxcnncnnixcicxxxcxcL,,,)1(211)1(21)()(LL，显然θ越大，ncθ越大，但只有x1,x2,…,xn>θ时，才有L(θ)>0，即θ=min{x1,x2,…,xn}时，L(θ)达到最大，故θ的最大似然估计},,,min{ˆ21)1(nXXXXL==θ；10（2）因µµθµθµθθµθ>⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=>−−Ι∑=Ι==∏nniiiixxxnxnnixxL,,,11211e1e1),(L，当x1,x2,…,xn>µ时，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=∑=µθθµθnxnLnii11ln),(ln，令01),(ln12=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−=∑=µθθθµθnxndLdnii，解得µµθ−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=xnxnnii11，且显然µ越大，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−∑=µθnxnii11e越大，但只有x1,x2,…,xn>µ时，才有L(θ,µ)>0，即µ=min{x1,x2,…,xn}时，L(θ,µ)才能达到最大，故µ的最大似然估计},,,min{ˆ21)1(nXXXXL==µ，θ的最大似然估计)1(ˆˆXXX−=−=µθ；（3）因θθθθθθθ)1(,,,1)1(121)()()(+<<−=+<<−Ι=Ι=∏kxxxnnikxnikkLL，显然θ越小，(kθ)−n越大，但只有θ<x1,x2,…,xn<(k+1)θ时，才有L(θ)>0，即},,,max{1121nxxxkL+=θ时，L(θ)达到最大，故θ的最大似然估计为},,,max{111ˆ21)(nnXXXkkXL+=+=θ．3．设总体概率函数如下，X1,…,Xn是样本，试求未知参数的最大似然估计．（1）θθθ||e21);(xxp−=，θ>0；（2）p(x;θ)=1，θ−1/2<x<θ+1/2；（3）12211),;(θθθθ−=xp，θ1<x<θ2．解：（1）因∑===−=−∏niiixnnnixL1||11||e21e21)(θθθθθ，有∑=−−−=niixnnL1||1ln2ln)(lnθθθ，令∑=+⋅−=niixndLd12||11)(lnθθθθ，得∑==niixn1||1θ，故θ的最大似然估计∑==niiXn1||1θˆ；（2）因2/1,,,2/112/12/121)(+<<−=+<<−Ι=Ι=∏θθθθθnixxxnixLL，即θ−1/2<x(1)≤x(n)<θ+1/2，可得当x(n)−1/2<θ<x(1)+1/2时，都有L(θ)=1，故θ的最大似然估计θˆ是(x(n)−1/2,x(1)+1/2)中任何一个值；（3）因221121,,,1211221)(11),(θθθθθθθθθθ<<=<<Ι−=Ι−=∏nixxxnnixLL，11显然θ1越大且θ2越小时，L(θ1,θ2)越大，但只有θ1<x1,x2,…,xn<θ2时，才有L(θ1,θ2)>0，即θ1=min{x1,x2,…,xn}且θ2=max{x1,x2,…,xn}时，L(θ1,θ2)达到最大，故θ1的最大似然估计},,,min{ˆ21)1(1nXXXXL==θ，θ2的最大似然估计},,,max{ˆ21)(2nnXXXXL==θ．4．一地质学家为研究密歇根湖的湖滩地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数．假设这100次观察相互独立，求这地区石子中石灰石的比例p的最大似然估计．该地质学家所得的数据如下：样本中的石子数012345678910样品个数016723262112310解：总体X为样品的10块石子中属石灰石的石子数，即X服从二项分布B(10,p)，其概率函数为xxppxxp−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=10)1(10)(，x=1,2,…,10，因∑−∑⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===−==−∏∏1001100110001001110)1(10)1(10)(iiiiiixxiinixxippxppxpL，即)1ln(1000ln10ln)(ln100110011001pxpxxpLiiiiii−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⋅+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑∑∑===，令01110001)(ln10011001=−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=∑∑==pxpxdppLdiiii，得∑==100110001iixp，即∑==100110001ˆiiXp由于49909137261101001=+×+×+×+×+=∑=iix，故比例p的最大似然估计499.049910001ˆ=×=p．5．在遗传学研究中经常要从截尾二项分布中抽样，其总体概率函数为mkpppkmpkXPmkmk,,2,1,)1(1)1(};{L=−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==−．若已知m=2，X1,…,Xn是样本，试求p的最大似然估计．解：当m=2时，X只能取值1或2，且pppppXP−−=−−−==222)1(1)1(2}1{2，ppppXP−=−−==2)1(1}2{22，即ppppppppxXPxxxx−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==−−−−2)22(2222};{1212，x=1,2，因nnxxnnixxpppppppLniiniiii)2()22(2)22()(112112−∑∑−=−−=−−=−−==∏，即)2ln(ln)22ln(2)(ln11pnpnxpxnpLniinii−−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑∑==，12令02112222)(ln11=−−⋅−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑∑==pnpnxpxndppLdniinii，得xxnpnii22221−=−=∑=，故p的最大似然估计Xp22ˆ−=．6．已知在文学家萧伯纳的“AnIntelligentWoman’sGuidetoSocialism”一书中，一个句子的单词数X近似地服从对数正态分布，即Z=lnX~N(µ,σ2)．今从该书中随机地取20个句子，这些句子中的单词数分别为52,24,15,67,15,22,63,26,16,32,7,33,28,14,7,29,10,6,59,30，求该书中一个句子单词数均值22e)(σµ+=XE的最大似然估计．解：因Z=lnX~N(µ,σ2)，则µ的最大似然估计09.3)30ln24ln52(ln201ln11ˆ11=+++====∑∑==Lniiniixnznzµ，σ2的最大似然估计51.0])09.330(ln)09.324(ln)09.352[(ln201)(12221222=−++−+−=−==∑=∗∧Lniizzznsσ，故由最大似然估计的不变性知22e)(σµ+=XE的最大似然估计31.28ee)(251.009.322*===++∧zszXE．7．总体X~U(θ,2θ)，其中θ>0是未知参数，又X1,…,Xn为取自该总体的样本，X为样本均值．（1）证明X32ˆ=θ是参数θ的无偏估计和相合估计；（2）求θ的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？解：（1）因X~U(θ,2θ)，有θθθ2322)(=+=XE，2212112)2()Var(θθθ=&minus