方波信号的傅里叶变换

图4.2方波信号的傅里叶级数例4―1试将图4.2所示的方波信号f(t)展开为傅里叶级数。方波信号f(t)展开为傅里叶级数解我们将信号按式(4―6)分解成傅里叶级数,并按式(4―7)、(4―8)、(4―9)分别计算an,　bn及c。例3.3-1试画出f(t)的振幅谱和相位谱。解f(t)为周期信号，题中所给的f(t) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式可视为f(t)的傅里叶级数展开式。据可知，其基波频率Ω=π(rad/s)，基本周期T=2s，ω=2π、3π、6π分别为二、三、六次谐波频率。且有振幅谱和相位谱例题其余图3.3-1例3.3-1信号的频谱 振幅谱；(b)相位谱图3.3-2例3.3-1信号的双边频谱(a)振幅谱；(b)相位谱例3.4-2求指数函数f(t)的频谱函数。图3.4-2单边指数函数e-αt及其频谱(a)单边指数函数e-αt;(b)e-αt的幅度谱单边指数函数f(t)的频谱函数其振幅频谱及相位频谱分别为解(4―41)(4―40)单边指数信号的频谱例4―4求单边指数信号的频谱。解单边指数信号是指图4.7单边指数信号及其频谱例3.4-3求图3.4-3(a)所示双边指数函数的频谱函数。偶对称双边指数函数的频谱函数图3.4-3双边指数函数及其频谱(a)双边指数函数；(b)频谱(4―42)从频谱函数的定义式出发(4―43)例4―5求双边指数信号的频谱。解双边指数信号是指偶对称双边指数信号的频谱图4.8双边指数信号及其频谱例3.4-4求图3.4-4(a)所示信号f(t)的频谱函数。图3.4-4例3.4-4图(a)信号f(t);(b)频谱奇对称双边指数函数的频谱函数(a>0)解图示信号f(t)可表示为例3.4-1图3.4-1(a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度为τ，高度为1，通常用符号gτ(t)来表示。试求其频谱函数。解门函数gτ(t)可表示为门函数的频谱函数图3.4-1门函数及其频谱(a)门函数；(b)门函数的频谱；(c)幅度谱；(d)相位谱图4.6矩形脉冲信号及其频谱矩形脉冲信号gτ(t)的频谱例4―3求矩形脉冲信号gτ(t)的频谱。(4―36)gτ(t)的傅里叶变换为(4―37)(4―38)(4―39)解矩形脉冲信号gτ(t)是一个如图4.6（a）所示的门函数。其定义为例3.4-5求单位冲激函数δ(t)的频谱函数。图3.4-5信号δ(t)及其频谱(a)单位冲激信号δ(t);(b)δ(t)的频谱δ(t)的频谱函数解可见，冲激函数δ(t)的频谱是常数1。也就是说，δ(t)中包含了所有的频率分量，而各频率分量的频谱密度都相等。显然，信号δ(t)实际上是无法实现的。根据分配函数关于δ(t)的定义，有(4―34)(4―35)冲激信号δ(t)的频谱例4―2求冲激信号δ(t)的频谱。解由频谱函数的定义式有图4.5冲激信号及其频谱(4―75)移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数例4―12求移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数。解由于已知冲激函数δ(t)的频谱函数为1,求移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数，此时可利用傅里叶变换的时移特性式(4―74)。例3.4-6求直流信号1的频谱函数。图3.4-6直流信号f(t)及其频谱(a)直流信号f(t);(b)频谱直流信号1的频谱函数解直流信号1可表示为(4―45)(4―46)例4―6求单位直流信号的频谱。解幅度为1的单位直流信号可表示为f(t)=1,-∞<t<∞(4―44)它可以看作是双边指数信号在α取极限趋近0时的一个特例,即单位直流信号的频谱(4―47)(4―48)(4―49)图4.9单位直流信号及其频谱例3.4-7求符号函数Sgn(t)的频谱函数。考察例3.4-4所示信号f(t)符号函数Sgn(t)的频谱函数当α→0时，其极限为符号函数Sgn(t)。因而可以用求f(t)的频谱函数F(jω)当α→0的极限的方法来求得Sgn(t)的频谱函数。例3.4-4所示信号的频谱函数为 ，从而有图3.4-7符号函数Sgn(t)及其频谱(a)Sgn(t)的波形；(b)频谱(4―50)符号函数的频谱例4―7求符号函数的频谱。解符号函数简记为sgn(t),它的定义为图4.10符号函数及其频谱(其中α>0)(4-51)符号函数sgn(t)也可看作是下述函数在α取极限趋近0时的一个特例:例3.4-8求阶跃函数ε(t)的频谱函数。由阶跃函数ε(t)的波形容易得到解从而就可更为方便地求出ε(t)的频谱函数，即阶跃函数ε(t)的频谱函数图3.4-8阶跃函数及其频谱(a)ε(t)的波形；(b)频谱例3.5-1求图3.5-1(a)所示信号的频谱函数。图3.5-1例3.5-1的图(a)f(t)的波形；(b)相位谱门(平移后)信号的频谱函数解例4―11已知求gτ(2t)的频谱函数解根据傅里叶变换的尺度变换性质,gτ(2t)的频谱函数为尺度变换求频谱图4.13尺度变换图4.11单边指数信号及其频谱例4―9利用奇偶虚实性求图4.11单边指数信号f(t)=2e-αtu(t)的频谱。利用奇偶虚实性求频谱解从波形图（a）上可见,单边指数信号f(t)是非偶非奇函数,但可分解为如图（b）,（c）所示的偶函数和奇函数两部分,见下式。f(t)=2e-αtu(t)=fe(t)+fo(t)其中例3.5-2求高频脉冲信号f(t)(图3.5-2(a))的频谱。图3.5-2高频脉冲信号及其频谱(a)f(t)的波形；(b)频谱高频脉冲信号f(t)的频谱解图3.5-2(a)所示高频脉冲信号f(t)可以表述为门函数gτ(t)与cosω0t相乘，即例4―13求高频脉冲信号p(t)=gτ(t)·cosω0t的频谱函数解由于高频脉冲信号的频谱函数故有根据频移特性有图4.14频移特性例3.5-4求图3.5-5(a)所示梯形信号f(t)的频谱函数。解若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jωt的繁复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。将f(t)求导，得到图3.5-5(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导，得到图3.5-5(c)所示的f2(t)，显然有梯形信号f(t)的频谱函数图3.5-5梯形信号及其求导的波形据时移性质有图3.5-6另一种梯形信号图4.15梯形脉冲的傅里叶变换梯形脉冲的傅里叶变换例4―14求图4.15所示梯形脉冲的傅里叶变换。解梯形脉冲可看作是两个不同宽度的矩形脉冲f1(t)与f2(t)的卷积，如图4.15所示。f(t)=f1(t)*f2(t)而矩形脉冲的傅里叶变换已在例4―3中求出,具体来说图4.16半波正弦脉冲图4.17三角形脉冲及其一、二街导的波形例3.6-1求图3.6-1(a)所示周期矩形脉冲f(t)的频谱函数F(jω)。图3.6-1周期矩形脉冲信号及其频谱(a)f(t)的波形；(b)复振幅Fn;(c)频谱函数F(jω)周期矩形脉冲f(t)的频谱函数解周期矩形脉冲f(t)的复振幅Fn为例3.6-2图3.6-2(a)为周期冲激函数序列δT(t)，其周期为T，δT(t)可表示为m为整数图3.6-2周期冲激序列及其频谱周期冲激函数序列δT(t)的频谱解先求δT(t)的复振幅Fn：设一周期信号fT(t)，其周期为T，fT(t)中位于第一个周期的信号若为fa(t)，则不难得到已经知道例3.8-1已知激励信号f(t)=(3e-2t-2)ε(t)，试求图3.8-1所示电路中电容电压的零状态响应uCf(t)。图3.8-1例3.8-1的图用频域分析法求响应注意到δ(ω)的取样性质，并为了较方便地求得UCf(jω)的逆变换，将UCf(jω)按如下形式整理:图4.19例4―20如图4.19所示,试分析单位阶跃信号u(t)通过RC高通网络传输后的波形。用频域法求响应则按H(ω)的定义有对于单位阶跃信号u(t)而言,此时解显然,当输入信号uS(t)为复指数信号ejωt时,如图有最后一步考虑了冲激函数的取样性质。因此例3.8-2如图3.8-2(a)所示系统，已知乘法器的输入s(t)的波形如图3.8-2(b)所示，系统函数用频域分析法求响应图3.8-2例3.8-2图(a)系统组成；(b)s(t)的波形先求f(t)的傅里叶变换F(jω)，由于再求s(t)的傅里叶变换S(jω)。由于s(t)为周期信号，T=1ms，则 ,因而有图3.8-3y(t)的求解例3.8-3已知系统函数H(jω)如图3.8-4(a)所示，试求在f(t)(图3.8-4(b))作用下系统的输出y(t)。解周期信号f(t)可以表示为傅里叶级数：由T=4s可知， 。考虑到H(jω)的低通特性，当|nΩ|≥π时H(jnΩ)=0，即|n|≥2时H(jnΩ)=0，则用频域分析法求响应图3.8-4例3.8-3图