解圆锥曲线大题的精髓_设而不求_侯胜哲

解题技巧与方法62JIETIJIQIAOYUFANGFA解圆锥曲线大题的精髓———设而不求◎侯胜哲(华南师范大学数学科学学学院，广州510000)【摘要】主要针对高中成绩在中等的学生，让他们对解系统①:交点坐标系统:x1，x2(注:知x1，x2等同知y1，y2)．圆锥曲线大题有一定方向性的认识，理清解题思路．对成绩系统②:方程系数系统:a，b，k，m．较好的学生有解题思路的补充参考价值，对老师有教学参假若我们知道①和②中任意四个量，就能根据韦达定考价值，希望老师先将复杂问题简化，先解决主要矛盾，使理解出其他两个量．题有一定的规律感，最后再使之丰满、提升．但实际解题中，题设往往没给出那么多量，所给条件比【关键词】圆锥曲线;韦达定理;设而不求较苛刻．一般只给出②中的部分未知量，不给出①中的量．那怎么办?我们便尽可能简化，即用韦达定理表示出x1+很多高中学生觉得求解圆锥曲线大题很困难，这让我x2和x1·x2，代入等量关系式中，以解决问题．们陷入思考:求解圆锥曲线大题难在哪?它和初中的几何 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 至此，我们试想:什么样的等量关系式中会出现表题有什么不同呢?很多同学可能和我有同感:对圆锥曲线达式x1+x2，x1·x2?我们可以联系到弦长公式AB=题的思路大体都知道，可就是解不出．现阶段的解题方法与1+k2(x+x)2－4x·x，()槡槡1212中点公式对称问题初中几何的解题不同，需要优化思路，可试着用“设而不求”x+xy+yx+x+xy+y+y(12，12)，重心公式(123，123)，以及的思想．2233如果真正理解其含义，就会自信的说:“不建立坐标系，y－y斜率k=12，……我也能把答案写出了”．x1－x2一、回顾韦达定理结合高考题目，大部分圆锥曲线题都不会让你直接求“设而不求”的方法的依据是韦达定理，很多老师对韦解x1，x2，而是替换x1+x2和x1·x2，化简等量关系式，然后达定理的理解只是形式上的理解，没有让学生明确韦达定解出所求．理最主要也是最重要的用途是什么，遇到何种情况适用．体会到这一点时，相信学生找到新的解题方向，明白出首先，让我们欣赏一下韦达定理的美丽．题老师的一贯手法，解题压力轻松了许多．任给一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，设它的三、实战训练(涉及:抛物线，向量，求轨迹问题)两根为x1，x2．则根和系数的关系表达式2c例1已知抛物线C:y=4x，O为坐标原点，动直线l:x·x=，12ay=k(x+1)与C交于A，B两个不同的点．为:{b(1)求k的取值范围;x+x=－．12→→→a(2)求满足OM=OA+OB的点M的轨迹方程．根据观察，如果已知a，b，c，我们通过应用韦达定理，可解(1)容易求出k∈(－1，0)∪(0，1)．以不用知道x1，x2的具体值，就能求出x1+x2，x1·x2的值．(2)要求点M的轨迹方程，就得求点M(x，y)中坐标x二、深入探索(结合圆锥曲线)→→→与y的关系．设A(x1，y1)和B(x2，y2)，根据OM=OA+OB，x2y2设直线l:y=kx+m，圆锥曲线C:+=1(a＞0，b＞x=x1+x2，a2b2有{y=y1+y2．0)，直线l与曲线C相交于两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)．要想得到x，y表达式，得先处理x1+x2和y1+y2．一见x2y22+2=1，到这种形式，就让我们想到韦达定理．联立方程求解:联立方程:ab{24－2ky=kx+m．x+x=，y2=4x，12k2可求出交点横坐标所满足的一元二次方程:{y=k(x+1)，{422222222y+y=k(x+x+2)=．(ak+b)x+2amkx+a(m－b)=0．1212k根据题设条件，经过计算，得到此方程的判别式为:4－2k22222222222x=，Δ=(ak+b)－4(ak+b)［a(m－b)］＞0．k22222∴－2amka(m－b){4∴x1+x2=，x1·x2=．y=．a2k2+b2a2k2+b2k经过观察思考，发现有两个字母系统:消去k可得y2=4x+8．数学学习与研究2016.1解题技巧与方法JIETIJIQIAOYUFANGFA6324－2k22－8mk又由x=2，且k∈(－1，0)∪(0，1)，经计算，得出xyx1+x2=，k+=1，3+4k43(已验证Δ＞0)x＞2．{{4(m2－3)y=kx+m，x1·x2=2．继而，点M的轨迹方程为y2=4x+8(x＞2)．3+4k(3－4)从上题解题过程看出:我们并没有解出x1，x2，而是将而y1·y2=(kx1+m)·(kx2+m)x1+x2y1+y2整体解出，整体解题思路不变．是不是其他题22也可这样解题呢?=kx1·x2+mk(x1+x2)+m22(涉及:椭圆，弦长，两点间距离公式，斜率)3(m－4k)=2(3－5)例2已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，3+4k椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．将(3－4)、(3－5)代入(3－3)中，化简得到:22(1)求椭圆C的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程;7m+16mk+4k=0．(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点(A，把m看作未知数(把k看作未知数也可)解m=－2k，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．1得{2求证:直线l过定点，并求出该定点的坐标．m=－k．27x2y2解(1)容易求出椭圆的标准方程为+=1．43当m1=－2k时，l:y=k(x+1)，与直线l过椭圆右顶点(2)要想证明直线l过定点，求出定点，则要得到l的方(2，0)相矛盾．程．而现在l:y=kx+m中有两个参变量，我们只要一个参22当m2=－k时，直线方程为y=k(x－)，过定77数，所以要找到k与m的关系，消去一个参数．2 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 一:利用已知条件，列等量关系:点，0．(7)弦长=圆心到定点的距离．22综上可知，所求定点坐标为，0．(7):AB=1+k2(x+x)2－4x·x．(3－1)弦长槡槡1212 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf :这道题依然符合上题的解题规律，而且将设而不x1+x2y1+y2求的思想结合圆的知识，应用到椭圆领域．学会替换x+圆心:(，)，椭圆右顶点(2，0)．(3－2)122x2，x1·x2是设而不求思想的关键．若掌握了以上方法，利用(3－1)、(3－2)，:结合利用两点间距离公式得到条件的转化，以利于解决问题．1+k2(x+x)2－4x·x槡槡1212下面是两道分别来自广东和江西的高考题，让我们体2会一下设而不求在求解高考题中的应用．x+x2y+y2例3在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于=(12－2)－(12)．槡22坐标原点O的两不同动点A，B满足AO⊥BO(如图所示)．我们发现:在上式中又见到x1+x2，x1·x2了!同样，(Ⅰ)求△AOB的重心G(即我们又可应用韦达定理加以代换，做到简化运算．三角形三条中线的交点)的轨迹(注:y1·y2=(kx1+m)·(kx2+m))方程;但就算是理论上此种方法可行，我们依然觉得计算量(Ⅱ)△AOB的面积是否存大．如果想锻炼一下计算能力，可以一试．在最小值?若存在，请求出最小下面本文提供更为简便的方法．值;若不存在，请说明理由．方案二:解(Ⅰ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△AOB的重心为思路同样是先建立等量关系，寻找k与m的关系．不过G(x，y)．则这次我们利用圆的性质．x+xx=12，因为圆心角∠ADB为直角，所以kAD·kBD=－1，即3(3－6)y1y2{y1+y2·=－1．y=．x1－2x2－23整理，得我们只需要求出x1+x2，x1·x2即可．y1·y2+x1·x2－2(x1+x2)+4=0(3－3)设直线AB的方程为y=kx+m．由已知条件得到::x+x，x·x，2上式中又出现表达式1212下面替换掉y=x，x1+x2=k，(已验证＞0)它们．{{Δy=kx+m，x1·x2=－m．2所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=k+2．现在要消去一个参数．数学学习与研究2016.1解题技巧与方法64JIETIJIQIAOYUFANGFA22由已知条件AO⊥BO，知kOA·kOB=－1，即x0y0而2－2=1，比较，得x1x2+y1y2=－1．(3－7)aby·y=(kx+m)(kx+m)=k2x·x+mk(x+x)+16c3012121212b2=a2c2=a2+b2=a2e==槡．m2=m2．55a5(2)要求λ的值，先考察已知条件，看看λ与哪些量将x1·x2和y1·y2代入(3－7)式，得m=1．相关．x1+x2=k，设过双曲线右焦点且斜率为1的直线L:y=x－c，交双x1·x2=－1，经整理得:(3－8)曲线E于A，B两点，则不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y+y=k2+2，12y)，又3y1·y2=1．→→→()OC=λOA+OB=λx1+x2，λy1+y2，kx=，x3=λx1+x2，3所以{根据(3－6)，计算得．消去参数k，得重心y=λy+y．{2312k+2y=2223因点C在双曲线E上，即x3－5y3=5b．()2()2222λx+x－5λy+y=5bG(x，y)的轨迹方程为y=3x+．121232(22)(22)2λx1－5y1+2λx1x2－10λy1y2+x2－5y2=5b．11(Ⅱ)S=|OA||OB|=(x2+y2)(x2+y2)=(3－9)△AOB22槡1122(注意x1·x2和y1·y2的出现，利用韦达定理代换，另122222222x1x2+x1y2+x2y1+y1y2．2222222槡外注意x1－5y1=5b和x2－5y2=5b．)222注意y1=x1和y2=x2，代入上式，得联立直线L和双曲线E方程消去y得:4x－10cx+22122225c+a=0．S=xx+y·y(y+y)+yy．△AOB槡121212122由韦达定理得:(3－8)，S=22将中相关表达式代入上式得△AOB5c+ax1x2=，124槡4+k．2{5cx1+x2=．122而槡4+k≥1(当且仅当k=0等号成立)，所以2利用直线L的方程可计算得出:△AOB的面积存在最小值．存在最小值时，求得面积最小值5c2+a25c2yy=xx－c(x+x)+c2=－+c2．是1．12121242有了前面的训练，这道题的难度降低很多．值得注意的由此，利用(3－9)式，计算可得:22222222是，在处理x1y2+x2y1时，将y1=x1和y2=x2整体代入，这a(λ+4λ)=0λ=0，或λ=－4．也是“设而不求x1，x2”的一部分．这道题和例3有相似之处，处理下式时，222(22)(22)2xyλx1－5y1+2λx1x2－10λy1y2+x2－5y2=5b，例4P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E:2－2=1(aab222222将x1－5y1=5b和x2－5y2=5b整体代入，这也是“设＞0，b＞0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线而不求x1，x2”的一部分．1PM，PN的斜率之积为．总结:设而不求，实际上是利用韦达定理和整体代换，5简化运算步骤，而我们基本的解题思路不变．一般我们在出(1)求双曲线的离心率;现x1+x2，x1·x2或出现圆锥曲线表达式时使用，而弦长公(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线式，中点公式(对称问题)，斜率，向量关系，重心公式经常涉于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上的一点，满足→→→及到x1+x2，x1·x2．希望大家读完，在解圆锥曲线题时，能OC=λOA+OB，求λ的值．思路更加清晰．x2y2解(1)已知双曲线E:－=1(a＞0，b＞0)，a2b2【参考文献】P(x0，y0)在双曲线上．M、N分别为双曲线E的左右顶点，所［1］汪克明．“设而不求”在圆锥曲线中的应用:中学数以M(－a，0)，N(a，0)，直线PM，PN斜率之积为222学［J］．2008(9):19－20．y0y0y01x05y0KPM·KPN=·=22=2－2［2］2005年广东高考17题(理科)．x0+ax0－ax0－a5aa=1．［3］2011年江西省高考数学试卷．数学学习与研究2016.1