2016年湖南省高中数学竞赛
试题
中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载
及答案一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．每小题所提供的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.设集合，在上定义运算“”为：，其中为被除的余数，则满足关系的的个数为（）A．1B．2C．3D．4答案：B．提示：因为，设，所以即，故或答案：A．2.一个骰子由1-6六个数字组成，根据如图所示的三种状态显示的数字，可推得“？”的数字是（）A．6B．3C．1D．23.设函数是公差为的等差数列，则（）A．B．C．D．答案：D．提示：因为是公差为的等差数列，且即，所以即记，则，即在为增函数，有唯一零点，所以所以4.设为非零实数，为虚数单位，，则方程与方程在同一复平面内的图形（其中是焦点）是（）答案：B．提示：表示以为焦点的椭圆且表示以为焦点的双曲线的一支．由，知故双曲线的一支靠近点．5.给定平面向量，那么，平面向量是将向量经过变换得到的，答案是（）A．顺时针旋转所得B．顺时针旋转所得C．逆时针旋转所得D．逆时针旋转所得答案：C．提示：设两向量所成的角为，则又，所以．又，所以正确．6.在某次乒乓球单打比赛中，原
计划
项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载
每两名选手各比赛一场，但有3名选手各比赛了两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛场数是（）A．0B．1C．2D．3答案：B．提示：设这3名选手之间比赛的场数是，共名选手参赛，依题意有，即因为，所以分4种情况讨论：①当时，有，即，但它没有正整数解，故；②当时，有，解得，故符合题意；③当时，有，即但它没有正整数解，故；④当时，有，即，但它没有正整数解，故二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，满分48分，解题时只需将正确答案直接填在横线上．）7.
规定
关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定
：对于，当且仅当时，．则不等式的解集是．答案：提示：所求不等式为关于的一元二次不等式．由，得，故，即8.在三棱锥-中，则三棱锥的体积的最大值为．答案：．提示：设，根据余弦定理有，故由于棱锥的高不超过它的侧棱，所以事实上，取，且面时，可以满足已知条件，此时9．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数字，两个面上标以数字，一个面上标以数字。将这个正方体的抛掷两次，则向上的数之积的数学期望是答案；提示：由题意知，抛掷小正方体向上的数为的概率为，向上的数为的概率为，向上为的概率为，如下表所示： 第一次抛掷第二次抛掷 0 1 2 0 1 2 于是所得向上的数之积的分布列为： 0 1 2 4 10．观察下列等式：；；；。。。。。。由以上等式推测出一般的结论：对于答案：11．方程的解的集合是答案：．提示：当时，，当且仅当时取“”．而，当且仅当时取“”号．于是，当时，方程只有一个解由奇函数的性质可知，是方程的另一个解．故方程的解集合为12．当一个非空数集满足条件“如果，则，且当时，”时，我们称就是一个数域。以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域。其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）答案：①②④．提示：根据数域的定义判断，①②④均正确．取，则，但，即③错误．三、简答题（本大题共4个小题，满分72分）13．（本小题满分16分）已知椭圆经过点，离心率为，经过椭圆的右焦点交椭圆于两点，点在直线的射影依次是。（1）求椭圆的的方程；（2）连接，试探求当直线的倾斜角变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标并给予证明；否则，说明理由。解：（1）由经过点，得由离心率为，得，得故椭圆的方程为（2）当直线的斜率不存在时，直线轴，则为矩形，由对称性知，直线与相交于的中点，由此猜想直线与相交于定点证明：设直线的方程为，联立椭圆的方程消去得，即又因为，当时，，即点在直线上．同理可证，点在直线上，所以，当直线的倾斜角变化时，直线与相交于定点14．（本小题满分16分）已知四边形是正方形，是边上一点（点不与顶点重合），延长与的延长线交于点。设，，的内切圆半径分别是。（1）证明：，并指出点在什么位置时等号成立；（2）若试求证：。证明：（1）如图所示，因为△∽△∽△，所以而，故，即当且仅当，即为的中点时，等号成立．（2）由（1）得，所以有记，则令，则，且故它是关于的单调递增函数，所以即15．已知函数（1）当时，求函数的所有零点；（2）若有两个极值点，且，求证：。解：（1）当时，设则，于是在上为增函数．又，所以，当时，函数有唯一零点（2）若有两个极值点，则导函数有两个零点由，可知要证，可转化为证明：由可得由可得两式联立，得进一步，得设，则，下面证只须证明：，即证当时恒成立．设函数，则故函数在上为增函数，所以，当时恒成立，即16．已知互异的正实数满足不等式。求证：从可任取3个数作为边长，共可构成4个不同的三角形。证明：由于，故从中任取3个数作为边长，共可构成4个不同的三角形，即是任取3个数作为边长均可构成不同的三角形．下面用反证法给出证明：若存在某三个数为边长的不能构成三角形，由对称性可知不妨设这三个数为，且满足因为由，知，并设，得由条件，得，即事实上，当时，这与上面所得结论矛盾．所以，原命题成立．10
浙公网安备 33021202002483