8：高考真题解答1.在公差为d的等差数列｛a｝中，已知a二10，且a,2a+2,5a成等比数列.n1123(1)求d,a；(2)若d<0,求IaI+IaI+1aI+A+IaI.n123n2•等差数列｛a｝的前n项和为S，已知S=a2，且S,S,S成等比数列，求｛a｝的通项式.nn32124n3.(2013年高考江西卷(理))正项数列｛a｝的前项和｛a｝满nn足：s2一(n2+n-1)s一(n2+n)=0nn(1)求数列｛a｝的通项公式a;nn⑵令b=+1，数列｛b｝的前n项和为T•证明:对于任意的neN*，都有T
2).n1122nnnn一1n一1设数列｛a｝的前n项和为S，数列｛S｝的前n项和为T，满足T=2S-n2，neN*.nnnnnn(I)求a的值；1仃I)求数列｛a｝的通项公式.n｛a｝2a+3a—1,a2—9aaTOC\o"1-5"\h\z6.已知等比数列n的各项均为正数，且12326.求数列｛an｝的通项公式.｛I｝b=loga+loga+L+logab设n°31°32°3n，求数列n的前n项和.数列高考试题汇编1.【2014・全国卷II(文5)】等差数列｛a｝的公差为2,若a,a,a成等比数列，则｛a｝n248n的前n项和S=n(A)n(n+1)(B)n(n-1)C）n(n+1)n(n-1)(D)【2014•全国大纲卷（理10）】等比数列｛a｝中，a二2,a二5，则数列｛lga｝的前8TOC\o"1-5"\h\zn45n项和等于（）A．6B．5C．4D．3【2014•全国大纲卷（文8）】设等比数列｛a｝的前n项和为S,若S=3,S=15,则S=（）nn24631B.32C.63D.644.【2014•北京卷（理5）】设｛a｝是公比为q的等比数列，则"q>1"是"｛a｝"为递增数nn列的（）A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【2014•天津卷（文5）】没｛a｝是首项为a，公差为T1的等差数列，S为其前n项和.TOC\o"1-5"\h\zn1n若S,S,S成等比数列，则a=（）124111（A）2（B）-2（C）（D）--22【2014•福建卷（理3）】等差数列｛a｝的前n项和S，若a=2,S=12，则a=（）nn136A.8B.10C.12D.147.【2014•辽宁卷（文9）】设等差数列｛a｝的公差为d,若数列｛2a1an｝为递减数列，则n）A.d>0B.d<0C.ad>0D.ad<011&【2014•陕西卷（理文4）】根据右边框图，对大于2的整数N,得出数列的通项公式是（）a=2nna=2（n一1）na=2nna=2n-1n9.【2014•重庆卷（理2）】对任意等比数列｛。｝，下列说法一定正确的是（nA.a,a,a成等比数列139C.a,a,a成等比数列248B.a,a,a成等比数列236D.a,a,a成等比数列36910.【2014•重庆卷(文2)】在等差数列｛a｝中，a=2,a+a=10，则a=(n1357A.5B.8C.10D.1411.【2014•全国卷11（文16）】数列n+112.【2014•安徽卷（理⑵】数列｛a｝是等差数列，若a+1,a+3,a+5构成公比n135为q的等比数列，则q=.第12题图【2014•安徽卷（文12）】如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=2'2，过点A作BC的垂线，垂足为A；过点A作AC的垂线，垂足为A；过点A作AC的11221垂线，垂足为A;…，以此类推，设BA=a，AA=a，TOC\o"1-5"\h\z3112AA=a，•…AA=a，贝0a=-1235677【2014•北京卷（理12）】若等差数列｛a｝满足时｛a｝的前n项和最大.nna+a+a>0，a+a<0，则当n=789710公差为-1的等差数列，S为其前n项n15-【2014•天津卷（理⑴】设｛an｝是首项为a1'和•若S1，S2,S4成等比数列,【2014•江西卷（文13）】在等差数列｛a｝中，a=7，公差为d，前n项和为Sn1n当且仅当n=8时S取最大值，则d的取值范围.n【2014•广东卷（理13）】若等比数列｛｝的各项均为正数，且aa+aa=2e5,n1011912则lna+lna+L+lna=。1220【2014•广东卷（文13）】等比数列｛a｝的各项均为正数且aa=4，则n15loga+loga+loga+loga+loga=2122232425题型一等差、等比数列的基本运算例1已知等差数列｛an｝的前5项和为105，且al0=2a5.求数列｛an｝的通项公式；对任意mWN*，将数列｛an｝中不大于72m的项的个数记为bm.求数列｛bm｝的前m项和Sm.破题切入点(1)由已知列出关于首项和公差的方程组，解得al和d,从而求出an.(2)求出bm，再根据其特征选用求和
方法
快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载
.解(1)设数列｛an｝的公差为d，前n项和为Tn，由T5=105,a10=2a5,得5a1+5X(5-1)2d=105，a1+9d=2(a1+4d),解得a1=7，d=7.因此an=a1+(n-1)d=7+7(n-1)=7n(nWN*).(2)对mWN*，若an=7nW72m,则nW72m—1.因此bm=72m—1.所以数列｛bm｝是首项为7,公比为49的等比数列，故Sm=b1(1—qm)1—q=7X(1—49m)1—49=7X(72m—1)48=72m+1—748.题型二等差、等比数列的性质及应用例2(1)已知正数组成的等差数列｛an｝,前20项和为100,则a7・a14的最大值是()A.25B.50C.100D.不存在(2)在等差数列｛an｝中，a1=—2013，其前n项和为Sn，若S1212—S1010=2，则S2013的值为()A.—2011B.—2012C.—2010D.—2013破题切入点(1)根据等差数列的性质，a7+a14=a1+a20,S20=20(a1+a20)2可求出a7+a14,然后利用基本不等式.⑵等差数列｛an｝中，Sn是其前n项和，贝Snn也成等差数列.答案(1)A(2)D解析(1)TS20=a1+a202X20=100,・・・a1+a20=10.°.°a1+a20=a7+a14,.°.a7+a14=10.Van>0,Aa7・a14Wa7+a1422=25.当且仅当a7=al4时取等号.故a7・a14的最大值为25.⑵根据等差数列的性质，得数列Snn也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项S11=al=—2013，公差d=l,故S=—2013+(2013—l)Xl=—l,所以S2013=—2013.题型三等差、等比数列的综合应用例3已知数列｛an｝的前n项和Sn满足条件2Sn=3(an—1),其中nWN*.证明：数列｛an｝为等比数列；⑵设数列｛bn｝满足bn=log3an，若cn=anbn,求数列｛cn｝的前n项和.破题切入点(1)利用an=Sn—Sn—1求出an与an一1之间的关系，进而用定义证明数列｛an｝为等比数列.由(1)的结论得出数列｛bn｝的通项公式，求出cn的表达式，再利用错位相减法求和.证明由题意得an=Sn—Sn—1=32(an—an—1)(n三2),.°.an=3an—1,.°.anan—1=3(n三2),又S1=32(a1—1)=a1，解得a1=3,・•・数列｛an｝是首项为3,公比为3的等比数列.解由(1)得an=3n，则bn=log3an=log33n=n,・.cn=anbn=n・3n,设Tn=1・31+2・32+3・33——(n—1)・3n—1+n・3n,3Tn=1・32+2・33+3・34——(n—1)・3n+n・3n+1.—2Tn=31+32+33+…+3n—n・3n+1=3(1—3n)1—3—n・3n+1,••・Tn=(2n—1)3n+1+34.
总结
初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf
提高(1)关于等差、等比数列的基本量的运算，一般是已知数列类型，根据条件,设出a1,an,Sn,n,d(q)五个量的三个，知三求二，完全破解.(2)等差数列和等比数列有很多相似的性质，可以通过类比去发现、挖掘.⑶等差、等比数列的判断一般是利用定义，在证明等比数列时注意证明首项a1M0,利用等比数列求和时注意公比q是否为1.已知｛an｝为等差数列，其公差为一2,且a7是a3与a9的等比中项，Sn为｛an｝的前n项和，nWN*，贝S10的值为()A.—110B.—90C.90D.110答案D解析°.°a3=al+2d=al—4,a7=al+6d=al—12,a9=al+8d=al—16,又Ta?是a3与a9的等比中项，.°.(al—12)2=(al—4)・(al—16),解得al=20..\S10=10X20+12X10X9X(—2)=110.(2014•课标全国II)等差数列｛an｝的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列，贝V｛an｝的前n项和Sn等于()A.n(n+l)B.n(n—1)(n+l)(n—l)2答案A解析由a2,a4,a8成等比数列，得a24=a2a8,即(al+6)2=(al+2)(al+14),•°.al=2..•・Sn=2n+n(n—l)2X2=2n+n2—n=n(n+1).等比数列｛an｝的前n项和为Sn,若2S4=S5+S6，则数列｛an｝的公比q的值为()A.—2或IB.—1或2C.—2D.1答案C解析方法一若q=1,则S4=4a1,S5=5a1,S6=6a1,显然不满足2S4=S5+S6,故A、D错.若q=—1,贝9S4=S6=0,S5=a5M0,不满足条件，故B错，因此选C.方法二经检验q=1不适合，则由2S4=S5+S6,得2(l—q4)=l—q5+l—q6，化简得q2+q—2=0,解得q=1(舍去)，q=—2.(2014・大纲全国)等比数列｛an｝中，a4=2,a5=5,则数列｛lgan｝的前8项和等于()A.6B.5C.4D.3答案C解析数列｛lgan｝的前8项和S8=lga1+lga2lga8=lg(a1・a2a8)=lg(a1・a8)4=lg(a4・a5)4=lg(2X5)4=4.(2014•大纲全国)设等比数列｛an｝的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则S6等于()A.31B.32C.63D.64答案C解析在等比数列｛an｝中，S2、S4—S2、S6—S4也成等比数列，故(S4—S2)2=S2(S6—S4),则(15—3)2=3(S6—15),解得S6=63.已知两个等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别为An和Bn，且AnBn=7n+45n+3，则使得anbn为整数的正整数n的个数是()A.2B.3C.4D.5答案D解析由等差数列的前n项和及等差中项，可得anbn=12(a1+a2n—1)12(b1+b2n—1)=12(2n—1)(a1+a2n—1)12(2n—1)(b1+b2n—1)=A2n—1B2n—1=7(2n—1)+45(2n—1)+3=14n+382n+2=7n+19n+1=7+12n+1(nWN*),故n=1,2,3,5,11时，anbn为整数.即正整数n的个数是5.(2013•课标全国I)若数列｛an｝的前n项和Sn=23an+13,则｛an｝的通项公式是an=答案（一2）n—1解析当n=1时，a1=1；当n±2时,an=Sn—Sn—l=23an—23an—1,故anan—l=—2，故an=(—2)n—l.(2014・江苏)在各项均为正数的等比数列｛an｝中，若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.答案4解析因为a8=a2q6,a6=a2q4,a4=a2q2,所以由a8=a6+2a4得a2q6=a2q4+2a2q2,消去a2q2,得到关于q2的一元二次方程(q2)2—q2—2=0,解得q2=2,a6=a2q4=1X22=4.(2014•安徽)数列｛an｝是等差数列，若al+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数歹U,贝yq=.答案1解析设等差数列的公差为d,则a3=a1+2d,a5=a1+4d,.°.(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5)，解得d=—1,.*.q=a3+3a1+1=a1—2+3a1+1=1.在数列｛an｝中，如果对任意nWN*都有an+2—an+1an+1—an=k(k为常数)，则称数列｛an｝为等差比数列，k称为公差比.现给出下列问题：等差比数列的公差比一定不为零；等差数列一定是等差比数列；若an=—3n+2，贝V数列｛an｝是等差比数列；若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比.其中正确命题的序号为.答案①③④解析若k=0,｛an｝为常数列，分母无意义，①正确；公差为零的等差数列不是等差比数列，②错误；an+2—an+1an+1—an=3,满足定义，③正确；设an=a1qn—1(qM0),贝9an+2—an+1an+1—an=a1qn+1—a1qna1qn—a1qn—1=q，④正确.(2014・课标全国I)已知｛an｝是递增的等差数列，a2,a4是方程x2—5x+6=0的根.求｛an｝的通项公式；求数列｛an2n｝的前n项和.解⑴方程x2—5x+6=0的两根为2,3,由题意得a2=2,a4=3.设数列｛an｝的公差为d,则a4—a2=2d,故d=12，从而a1=32.所以｛an｝的通项公式为an=12n+l.⑵设｛an2n｝的前n项和为Sn.由(1)矢口an2n=n+22n+1，贝Sn=322+423+…+n+12n+n+22n+1,12Sn=323+424+…+n+12n+1+n+22n+2.两式相减得12Sn=34+(123——12n+1)—n+22n+2=34+14(1—12n—1)—n+22n+2.所以Sn=2—n+42n+1.(2014•北京)已知｛an｝是等差数列，满足a1=3,a4=12，数列｛bn｝满足b1=4,b4=20，且｛bn—an｝为等比数列.求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式；⑵求数列｛bn｝的前n项和.解(1)设等差数列｛an｝的公差为d,由题意得d=a4—a13=12—33=3,所以an=a1+(n—1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列｛bn—an｝的公比为q,由题意得q3=b4—a4b1—a1=20—124—3=8,解得q=2.所以bn—an=(b1—a1)qn—1=2n—1.从而bn=3n+2n—1(n=1,2,…).由⑴矢口bn=3n+2n—1(n=1,2,…).数列｛3n｝的前n项和为32n(n+1),数列｛2n—1｝的前n项和为1—2n1—2=2n—1.所以，数列｛bn｝的前n项和为32n(n+1)+2n—1.数列专题复习一、等差数列的有关概念：1、等差数列的判断方法：定义法a-a=d(d为常数)或a-a=a-a(n>2)。TOC\o"1-5"\h\zn+1nn+1nnn-1a+a+A+a如设｛a｝是等差数列，求证：以b「T2nneN*为通项公式的数列｛b｝为nnnn等差数列。2、等差数列的通项：a=a+(n-1)d或a=a+(n-m)d。n1nm如(1)等差数列｛a｝中，a=30，a=50，则通项a=(答：2n+10)；n1020n(2)首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是(答82,n""*)，前n项和S=n15则a1=_,n=_(答：a1=一3,n=10)；(2)已知数列｛a｝的前n项和S=12n-n2,求数列｛Ia1｝的前n项和T(答:nnnn).12n-n2(n<6,neN*)a+bn2一12n+72(n>6,neN*)4、等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A=提醒：⑴等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及S，其中a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2n1个，即知3求2。(2)为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…,a一2d,a一d,a,a+d,a+2d…(公差为d)；偶数个数成等差，可设为…，a―3d,a―d,a+d,a+3d，…(公差为2d)5、等差数列的性质：(1)当公差d丰0时，等差数列的通项公式a=a+(n-1)d=dn+a-d是关于n的一n11n(n一1)dd次函数，且斜率为公差d；前n和S=na+d=n2+(a-丁)n是关于n的二次n12212函数且常数项为0.若公差d>0，则为递增等差数列，若公差d<0，则为递减等差数列，若公差d=0，则为常数列。当m+n=p+q时，则有a+a=a+a，特别地，当m+n=2p时，则有mnpqa+a=2a.mnp如(1)等差数列｛a｝中，S二1&a+a+a二3,S二1，则n=(答：27)；TOC\o"1-5"\h\znnnn-1n-23若｛a｝、｛b｝是等差数列，则｛ka｝、｛ka+pb｝(k、p是非零常数)、nnnnn｛a｝(p,qeN*)、S,S-S,S-S，…也成等差数列，而｛aan｝成等比数列;若｛a｝p+nqn2nn3n2nn是等比数列，且a>0，则｛lga｝是等差数列.nn如等差数列的前n项和为25,前2n项和为100，则它的前3n和为。(答:225)在等差数列｛a｝中，当项数为偶数2n时，S—S二nd；项数为奇数2n-1时,n偶奇S-S=a，S=(2n-1)-a(这里a即a)；S:S奇偶中2n-1中中n奇偶如⑴在等差数列中，S1p22，则a6=(答：2)；(2)项数为奇数的等差数列｛a｝中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中n间项与项数(答：5；31).A(6)若等差数列｛a｝、｛b｝的前n和分别为A、B，且—f(n)，则nnnnBna(2n-1)aAb=(2n_1)b"二方2二f(2n-1).如设｛a”｝与｛b｝是两个等差数列，它们的前n项和nn2n-1分别为Sn和Tn，若寻=汨，那么+=nn答：(7)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组a>0I0n+1确定出前多少项为非负(或非正)；法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性neN*。上述两种方法是运用了哪种
数学
数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划
思想(函数思想)，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗如(1)等差数列｛a｝中，a=25，S=S，问此数列前多少项和最大并求此最大值。n1917n=1k=0n=1k=0答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若｛a｝是等差数列，首项a>0,a+a>0,a-a<0，则使前n项和n12003200420032004S>0成立的最大正整数n是（答：4006）nTOC\o"1-5"\h\z（3）在等差数列｛a｝中，a<0,a>0，且a>1aI，S是其前n项和，则（）n10111110nA、S,SLS都小于0，S,SL都大于012101112B、S,SLS都小于0，S,SL都大于012192021C、S,SLS都小于0，S,SL都大于012567D、S,SLS都小于0,S,SL都大于0（答：B）12202122（8）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究a二b.nm二、等比数列的有关概念：1、等比数列的判断方法：定义法齢=q（q为常数），其中q丰0,a丰0或ann齢二件（n>2）。阴阳师
笔记
哲学笔记pdf明清笔记pdf政法笔记下载课堂笔记下载生物化学笔记PDF
无弹窗如（1）一个等比数列｛a｝共有2n+1项，奇aannn-15数项之积为100,偶数项之积为120,则a为（答：匸）；（2）数列｛a｝中，n+16n，求证：数列｛b｝是等比数列。n前n项和S=126，求n和q.（答:nS=4a+1(n>2)且a=1，若b=a一2aTOC\o"1-5"\h\znn-11nn+12、等比数列的通项：a=aqn-1或a=aqn-mn1nm如等比数列｛a｝中，a+a二66，aa二128，n1n2n-11n=6，q=2或2)a（1-qn）a-aq3、等比数列的前n和：当q=1时，S=na；当q丰1时，S=1卄。n1n1-q1-q如（I）等比数列中，q=2，Sq=77,求a+a+A+a（答：44）；993699⑵艺（工Ck）的值为（答：2046）；n特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1,再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q=1和q丰1两种情形讨论求解。4、等比中项：若a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个±力乔。如已知两个正数a,b（a丰b）的等差中项为A,等比中项为B，则A与B的大小关系为（答：A>B）提醒：（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a、q、n、a1n及S，其中a、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2n1个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…,aaaa,,a,aq,aq2…（公比为q）；但偶数个数成等比时，不能设为，一,aq,aq3，…,q2qq3q因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为q2。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）等比数列的性质：（1）当m+n=p+q时，则有aga二aga，特别地，当m+n=2p时，则有mnpqag=a2.mnp如（1）在等比数列｛a｝中，a+a=124,aa=-512，公比q是整数，则a=TOC\o"1-5"\h\zn384710（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列｛a｝中，若a-a=9，则loga+loga+L+loga=n563132310（答：10）。（2）若｛a｝是等比数列，则｛Ia1｝、｛a｝（p,qeN*）、｛ka｝成等比数列；若nnp+nqn｛a｝、b｝成等比数列，则｛ab｝、｛?｝成等比数列；若｛a｝是等比数列，且公比qH-1，nnnnbnn则数列S,S-S,S-S，…也是等比数列。当q=-1，且n为偶数时，数列n2nn3n2nS,S-S,S-S，…是常数数列0，它不是等比数列.n2nn3n2n如（1）已知a〉0且a丰1，设数列｛x｝满足logx=1+logx（neN*），且nan+1anx+x+L+x=100，则x+x+L+x=.(答：100a100)；12100101102200(2)在等比数列｛a｝中，S为其前n项和，若S=13S,S+S=140，则Snn3010103020的值为(答：40)⑶若a>0,q>1，则｛a｝为递增数列；若a<0,q>1,则｛a｝为递减数列；若1n1na>0,02)nn—1｛｝等差、等比数列｛｝公式.nn例已知数列｛a｝满足a=2a+3x2n，a=2，求数列｛a｝的通项公式。nn+1n1naa3评注：本题解题的关键是把递推关系式a二2a+3x2转化为才1-丁，说明数列n+1n2n+12n2｛?｝是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出?=1+(n-1)3，进而求出数列2n2n2｛a｝的通项公式。n二、累加法例已知数列｛a｝满足a二a+2n+1,a二1，求数列｛a｝的通项公式。TOC\o"1-5"\h\znn+1n1n评注：本题解题的关键是把递推关系式a二a+2n+1转化为a-a二2n+1，进而求n+1nn+1n出(a—a)+(a—a)+L+(a—a)+(a—a)+a，即得数列｛a｝的通项公式。nn-1n-1n-232211n例已知数列｛a｝满足a二a+2x3n+1,a二3，求数列｛a｝的通项公式。nn+1n1n评注：本题解题的关键是把递推关系式a二a+2x3n+1转化为a—a二2x3”+1，n+1nn+1n进而求出a=(a—a)+(a—a)+L+(a—a)+(a—a)+a，即得数列｛a｝的通nnn—1n—1n—232211n项公式。三、累乘法例已知数列｛a｝满足a二2(n+1)5nxa,a二3，求数列｛a｝的通项公式。nn+1n1na评注：本题解题的关键是把递推关系a二2(n+1)5nxa转化为「卄二2(n+1)5”，进而求n+1nanaaaa出一L-L1Z•—-2-a，即得数列｛a｝的通项公式。aaaa1nn—1n—221四、取倒数法a例已知数列｛a｝中，其中a1=1,，且当n±2时，a二i，求通项公式a。n1n2a+1nn—1a111解将a二—两边取倒数得：——二2，这说明｛一｝是一个等差数列,n2a+1aaan—1nn—1n111首项是——1，公差为2，所以——1+(n—1)x2—2n—1，即a=aan2n—11五、待定系数法例已知数列｛a｝满足a=2a+3x5n，a=6，求数列｛a｝的通项公式。nn+1n1n评注：本题解题的关键是把递推关系式a=2a+3x5n转化为a-5n+1=2(a-5n),n+1nn+1n从而可知数列｛a-5n｝是等比数列，进而求出数列｛a-5n｝的通项公式，最后再求出数列nn｛a｝的通项公式。n例已知数列｛a｝满足a二3a+5x2n+4,a二1，求数列｛a｝的通项公式。TOC\o"1-5"\h\znn+1n1n评注：本题解题的关键是把递推关系式a二3a+5x2”+4转化为n+1na+5x2n+1+2=3(a+5x2n+2)，从而可知数列｛。+5x2n+2｝是等比数列，进而求n+1nn出数列｛a+5x2n+2｝的通项公式，最后再求数列｛a｝的通项公式。nn六、对数变换法例已知数列｛a｝满足a二2x3nxa5，a二7，求数列｛a｝的通项公式。TOC\o"1-5"\h\znn+1n1n评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式a二2x3nxa5转化为n+1nlga+lg3(n+1)+辱+竽=5(lgan+14164lg3lg3lg2{lga+n++}是等比数列,n4164lg3lg3lg2+n++)，从而可知数列4164lg3lg3lg2进而求出数列｛lga+n++｝的通项n4164公式，最后再求出数列｛a｝的通项公式。n七、迭代法例已知数列｛a｝满足a二a3(n+m”，a二5，求数列｛a｝的通项公式。nn+1n1n评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式a=a3(n+1)2nn+1nlga两边取常用对数得lga二3(n+1)x2nxlga，即'n+1二3(n+10，再由累乘法可推知n+1nlganlga二nlgalgan-1乩・Llgan-2lgalga,F3”-1.n!.2哄7-3-2-lga二lg53"-i.n!.22，从而a二5’!2lgalga1n21八、数学归纳法已知数列｛a｝满足ann+1+8(n+】)(2n+1)2(2n+3)2求数列｛a｝的通项公式。n解：8及ai=9，得。。。由a=a+8(n+1)—n+1n(2n+1)2(2n+3)2由此可猜测a二+1；、-1，往下用数学归纳法证明这个结论。n(2n+1)2(1)当n二1时,所以等式成立。TOC\o"1-5"\h\z(2x1+1)2-18a==—1(2x1+1)29了(2k+1)2-1了“(2)假设当n二k时等式成立，即a二，则当n二k+1时，k(2k+1)2_丄8(k+1)ak+广ak(2k+1)2(2k+3)2000000由此可知，当n_k+1时等式也成立。根据(1),(2)可知，等式对任何neN*都成立。九、换元法例已知数列｛a｝满足a_-1(1+4a+卫+24a),a_1，求数列｛a｝的通项公式。TOC\o"1-5"\h\znn+116n常n1n解：令b_卫+24a，则a_(b2-1)nnn24n故a_(b2一1)，代入a_(1+4a+J1+24a)得。。。。。。即4b2_(b+3)2n+124n+1n+1]6n鸟nn+1n13因为b_J1+24a>0，故b_J1+24a>0则2b_b+3，即b_b+n屮nn+1*n+1n+1nn+12n2可化为b一3_(b一3)，n+12n所以｛b-3｝是以b-3_、『1+24a-31+24x1-3_2为首项，以1为公比的等比数n1*12列，因此b一3_2(2)n-1_(㊁)n-2，则b_(2)n-2+3，即.j1+24a_(2)n-2+3，得11213(4)n+n+3十、构造等差、等比数列法TOC\o"1-5"\h\za二pa+q；@a-pa+qn；@a二pa+f(n)；@a二p-a+q-a.n+1nn+1nn+1nn+2n+1n例已知数列匕｝中，a二1,a二2a+3，求数列(a｝的通项公式.n1n+1nn【解析】a+3=2(a+3)/.a+3=4x2n-1na=2n+1—3.n+1nnn【反思归纳】递推关系形如“a二pa+q”适用于待定系数法或特征根法：n+1n①令a—九二p(a—九)；n+1na—x二p(a—x)；n+1n在a二pa+q中令a=an+1nn+1n由a=pa+q得a=pa+qa—a=p(a—a).n+1nnn—1n+1nnn—1例已知数列(｝中,a=1,a=2a+3n，求数列匕｝的通项公式.n1n+1nn【解析】®a二2a+3n，n+1naa3an11—n—+(—)n，^令n——b2n2n—122n—1n.a—3n—2nnb—(b—b)+(b—b)+A+(b—b)+b—2x(―)n—2nnn—1n—1n—22112【反思归纳】递推关系形如“a—pa+qn”通过适当变形可转化为：n+1n“a—pa+q”或“a—a+f(n)n求解.n+1nn+1n十一、不动点法例已知数列｛a｝满足a—伴二|,a—2，求数列｛a｝的通项公式。nn+12a+31nn解：令x—3x—1得2x2-4x+2-0，则x-1是函数f(x)-4^7的不动点。因为an+1—1—7叮2—1—2a+35a—5n—2a+3所以213(4)n+评注：本题解题的关键是通过将£1+24a的换元为b，使得所给递推关系式转化¥nn1313b—-b+尺形式,从而可知数列｛b-3｝为等比数列，进而求出数列｛b-3｝的通项公式,n+12n2nn最后再求出数列｛a｝的通项公式。n四、数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和n(a+a)n(n-1)1、等差数列求和公式：S=+n=na+dn2122、等比数列求和公式：Snnai=
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
：(I)由已知有nqn+.b一b=-n+1n2nn+1n2n2n-1利用累差迭加即可求出数列｛b｝的通项公式：b=2-丄(neN*)nn(II)由(I)知a=2n一，.•.S=工(2k-)二工(2k)一工TOC\o"1-5"\h\zn2n-1n2k-12k-1k=1k=1k=1而工(2k)=n(n+1)，又工亠是一个典型的错位相减法模型,2k-1k=1k=1、‘kn+2n+2易得2^=4—S=n(n+1)+—42k-12n-1n2n-1k=1三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加，就可以得到n个(a+a).1n例求证：C0+3C1+5C2++(2n+1)Cn=(n+1)2nTOC\o"1-5"\h\znnnn证明：设S=C0+3C1+5C2+…•+(2n+1)CnnnnnnS=(2n+1)Cn+(2n—1)Cn-1+—+3C1+C0nnnnnS=(n+1)•2nn四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.［例7］求数列的前n项和：1+1,+4,+7,…，+3n—2，…aa2an-1解：设S=(1+1)+(丄+4)+(丄+7)+•••+(」+3n—2)naa2an-1S=(1+1+丄+•••+丄)+(1+4+7+•••+3n—2)naa2an—1(3n—1)n(3n+1)n当a=1时，Sn=n+=2当a丰1时,an(3n—1)na—a—(3n—1)na—12例：(2010全国卷2文)(18)(本小题满分12分)已知｛a｝是各项均为正数的等比数列,n且a+a=2(+),12aa12111a+a+a—64(++)345aaa3451（I）求｛a｝的通项公式；（II）设b—（a+）2，求数列｛b｝的前n项和T。nnnannn五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如1)—f(n+1)一f(n)2)sin1ocosnocos(n+1)。—tan(n+1)。一tann。3)n(n+1)n+14)(2n)2(2n一1)(2n+1)5)n(n-1)(n+2)=Tn(n+1)(n+1)(n+2)(6)n+22(n+1)一nn(n+1)2nn(n+1)2nn-2n-1(n+1)2n—1一(n+1)2n1求数列'巨P''石+刀+1'…的前n项和..=灯n+1—v'nvn+xn+1则S—+-1+•••+1==Vn+1-1n1+2v2+Q—n+乜n+1在数列｛a｝中,n12na—++•••+nn+1n+1n+1a•ann+1，求数列｛b｝的前nn项的和.解12nn•/a—++•••+——nn+1n+1n+12・•・b-2-8(1—11)nnn+1nn+122nn+1)]8nn+1六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求s.n例数列｛a｝：a=1,a=3,a=2,a=a-a，求S.TOC\o"1-5"\h\zn123n+2n+1n2002解：设S=a+a+a++a20021232002a=1,a=3,a=2,a=—1,a=-3,a=—26k+16k+26k+36k+46k+56k+6•/a+a+a+a+a+a=06k+16k+26k+36k+46k+56k+6S=a+a+a++a=a+a+a+a=5200212320026k+16k+26k+36k+4例在各项均为正数的等比数列中，若a5a6-9,求log3ai+l0g3a2i・+lOg3巴。的值.解：设Sn二log3ai+l0g3a2F"lOg3ai0由等比数列的性质m+n=p+qnaa=aamnpqS=(loga+loga)+(loga+loga)++(loga+loga)=10n3131032393536七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例求1+11+111+\1十3，1之和.n个111解：由于1込・31二9X"劣屯10-19二9（10k一1）k个1k个1.•・1+11+111+・・・+\1131=n个1=81(10n+1-10-9n)110(10n—1)n•
浙公网安备 33021202002483