【DOC】-汪宏喜09年考研辅导讲义(概率论与数理统计)

【DOC】-汪宏喜09年考研辅导讲义(概率论与数理统计) 汪宏喜09年考研辅导讲义(概率论与数理统计) 2009年考研数学内部讲义 概率论与数理统计 编讲 汪宏喜 安徽农业大学 2008年5月 第三部分 概率论与数理统计 第一章 随机事件和概率 考试内容 随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验 考试要求 1(了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件间的关系及运算( 2(理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握计算概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes)公式等( 3(理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法( • 考试内容解析 • 一、随机事件与样本空间 ?(1)试验在相同的条件下,可重复进行(统计性) 1(随机试验E:??(2)试验所有的可能结果事先已知(多样性) ?(3)每次试验的结果事先未知(随机性)? ,(样本空间:随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间(记为Ω={ω}(Ω中的元素ω称为样本点，也即E的基本事件( ,(随机事件:试验E的结果称为E的随机事件(记为A、B、C等( (1)基本事件:E的事件中不能再分解成其它事件的最简单的事件称基本事件; (2)必然事件与不可能事件:每次试验E中必然发生的事件为必然事件，记为Ω; 每次试验E中一定不发生的事件称不可能事件，记为?( 4(事件间的关系和运算 事件的关系有:包含、相等、不相容、对立;事件间的运算有:并(和)、差、交等( (1)包含:如果事件A发生必然导致B发生,则称事件B包含事件A,记作A?B或B?A( (2)相等:如果A?B且B?A,则称事件A与B相等(记作A=B( (3)不相容:如果事件A与事件B不可能同时发生, 即AIB=?，则称事件A与事件B是互不相容(或互斥)( (4)对立:如果事件A与事件B满足:?AIB=?;?AUB=Ω(即事件A与事件B必发生其一，但不能同时发生(则称事件A与事件B是互逆事件，或者说A与B为对立事件，记为A=B(或B=A)( 注:两个互相对立的事件A与一定为不相容事件,但是两个不相容事件未必是对立事件( 81 (5)并(和):如果事件A与事件B至少有一个发生,则称这样的事件为事件A与事件B的并(或和), 记作A?B或A+B( (6)差:如果事件A发生而事件B不发生,则称这样的事件为事件A与事件B的差, 记作A-B或A\B( (7)交:如果事件A与事件B同时发生,则称这样的事件为事件A与事件B的交,记作A?B或AB( (8)完全事件组:如果事件A1，A2，„，An，„两两互不相容，且每次试验中必出现一个且只出现一个,则称A1，A2，„，An，„构成完备事件组(完全事件组可以是有限的,也可以是无限的(完全事件组也称为样本空间Ω的一个划分( 4(事件运算的性质 对于任意事件A，B，C， A1，A2，„，An，„，有 (1)交换律:A+B=B+A;AB=BA( (2)结合律:A+B+C= (A+B)+C=A+(B+C);ABC=(AB)C=A(BC)( (3)分配律:A(B+C)=AB+AC;A(B-C)=AB-AC;A(UAi)=UAAi( ii (4)对偶律:A+B=AB=+UAi=IAi,iiIAi=UAi( ii 5(事件与集合 由于事件是样本空间的子集，因此事件的关系与运算可以用集合的文氏图形象地表示出来，如图1(1 ? A A?B AUB AIB A?B 二、事件的概率 AIB=?图1.1 A 概率是事件出现可能性大小的度量,用P(A)表示事件A的概率(如用{„}表示事件,其中大括号内用文字或式子描述事件的内容,则以P{„}表示其概率( 1(概率的概念 在一个随机试验中,对于每一个事件A,都有唯一的实数P(A)和它对应,且P(A)是满足下列条件的事件A的函数: (1)非负性:P(A)?0; (2) 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 性:对于必然事件，有P(Ω)=1; (3)可列可加性:对于两两互不相容的事件A1，A2，„,An，„,有P(UAi)=?P(Ai)( ii 82 2(概率的基本性质 (1)P(?)=0; (2)有限可加性:设事件A1，A2，„,An两两互不相容,则P(UAi)=?P(Ai); i=1i=1nn (3)对于两个事件A与B,如果B?A,则P(A-B)=P(A)-P(B)( 特别地,由于P(Ω)=1,故而有P(A)=1?()( 3(古典型概率 如果一个随机试验的结果只有有限个,且每个结果出现的概率都相同,则称这样的试验为古典型概率(对于此类试验中的事件A,其概率可以如下计算: P(A)=A中所含样本点的个数nA( =Ω中所含样本点的个数n 4(几何型概率 如果随机试验的样本空间Ω是一个区域,并且任一点落在任意两个长度(面积、体积)相同的子区域内是等可能的，则事件A的概率为 P(A)=A的长度(或面积或体积)( Ω的长度(或面积或体积) 5(条件概率 对于任意两个事件A和B,其中P(A)>0,则事件B在事件A发生的条件下的条件概率定义为:P(B|A)=P(AB) P(A) 注:可以验证,对于给定的事件A,条件概率P(B|A)具有概率的一切性质( 6(计算概率的几个公式 (1)加法公式:对于任意事件A，B，C，有 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)( P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)( 上式可以推广至多个事件的情形,即为一般的加法公式( (2)减法公式:对于任意两个事件A，B，有 P(A-B)=P(A)-P(AB)( (3)乘法公式:对于任意两个事件A，B，则有 P(AB)=P(A)P(B|A)(P(A)>0) 或P(AB)=P(B)P(A|B)(P(B)>0) 一般地，对任意三事件A、B、C,则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)( 对于n个事件A1，A2，„,An，若P(A1A2„An-1)>0,则 P(A1A2„An)= P(A1)P(A2|A1)„P(An| A1A2„An-1) (4)全概率公式:设A1，A2，„,An，„,是一个完全事件组，且P(Ai)>0,则对任意B,有 P(B)=?P(Ai)P(B|Ai) i=1n 83 (5)贝叶斯公式:设A1，A2，„,An，„,是一个完全事件组，且P(Ai)>0,则对任意B(P(B)>0),有 P(Ai|B)=P(AiB)=P(B)P(Ai)P(B|Ai) ?P(A)P(B|A)jj j=1n(i=1,2,L,n) 三、事件的独立性与独立重复试验 1(独立事件 (1)两个事件独立:对于两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与B独立( 如果事件A与B独立,则事件A与B,A与B,A与B也独立( (2)多个事件的的相互独立:对于任意n个事件A1，A2，„,An，如果其中任意两个事件均相互独立,即对任意1?i0,P(C)?1,与P(AB|C)=() P(A|C)P(B|C)不等价的是 (A)P(A|C)=P(A|BC) (C)P(AB)=P(A)P(B) 解: 85 (B)P(B|C)=P(B|AC)(D)P(ABC)=P(AC)P(B|C) 例6(设P(A|B)=P(B|A)=12,P()=,则() 34 5(A)A与B独立,且P(AUB)=(B)A与B独立,且P(A)=P(B)12 7(C)A与B不独立,且P(AUB)=(D)A与B不独立,且P(A|)=P(A|B)12 解: 例7(设有两个事件A , B , 00)的指数分布E(λ)的密度函数为 ?λe?λx,x>0, f(x)=??0,x?0. 5(会求随机变量函数的分布( 89 • 考试内容解析 • 一、随机变量及其概率分布 1(基本概念 (1)随机变量:顾名思义，随机变量即为随机改变的量，它是基本事件(样本点)的函数，常以大写拉丁字母，如X，Y，„表示(为了清楚表明它是基本事件的函数,也常用X(ω)(ω?Ω)表示随机变量 (2)概率分布:随机变量的概率分布,指X的“一切可能值的集合”及它取各可能值或值域内部各部分取值的“概率”二者的总称( (3)分布函数:对于随机变量X和任意实数x,称F(x)=P{X?x|x?R}为随机变量的分布函数(它在点x处的值是事件{X?x}的概率,即X在(-?,x]上取值的概率( 2(分布函数的性质 随机变量X的分布函数F(x)有如下性质: (1)F(x)是一个单调不减函数( (2)F(x)右连续，即对任意的x?R，有F(x)=F(x+0)=limF(t) +t?x (3)F(??)=limF(x)=0,F(+?)=limF(x)=1. x???x?+? 二、离散型随机变量 1(离散型随机变量的一切可能的取值为有限个或可列无穷多个，则称它为离散型随机变量( 设X是离散型随机变量，其一切可能值为{x1,x2,L,xn,L}，且X取各值的概率为 P{X=xk}=pk， ? k=1k=1,2,„, 其中pk?0，(k=1,2,„),且?pk=1，则称上式为X的概率分布，常记为 ?x1X~??p?1 对于任意实数a0,k=0,1,2,L, (2)二项分布与0—1分布:如果随机变量X1,„, Xn相互独立，且都服从0—1分布，则X= X1+„+Xn,服从二项分布B(n,p)( (3)二项分布与泊松分布:如果随机变量X服从二项分布B(n,p)，且n充分大(n?100)，p充分小(p<0.1),而np适中,则有如下的近似公式: Cp(1?p)k nk1?k(np)k?np?e,k=0,1,L,n. k! 三、连续型随机变量 1(连续型随机变量及其概率密度 对于随机变量X,以F (x)记其分布函数,如果存在非负可积函数f (x)使得对于任意实数x,有 F(x)=?x ??f(t)dt,则称X为连续型随机变量, f (x)称为X的概率密度( 概率密度函数的性质: ?f (x)?0; ??+? ??f(x)dx=1; ?P{a0,f(x)=?(λ>0常数) x0,0.?? 则称X服从参数为λ (λ>0)的指数分布，记为X~E(λ),其分布函数为 ?1?e?λx,x>0,F(x)=? x?0.?0, 指数分布的密度和分布函数f(x)及F(x)的图形分别见图2.5与图2.6 92 图2.5 图2.6 (3)正态分布:如果随机变量X的概率密度为 f(x)= 1e ? (x?μ)22σ2 (??0)的正态分布，记为 X~N(μ, σ2), 由于f(x)关于x=μ对称，则对任何h>0，有 P{μ?h 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正态分布，记为X~N(0，1)(X 的概率密度与分布 函数分别为 x2 ?1 e2(??uα}=α 则称uα为标准正态分布的上侧α分位数.(如图2.9) 图2.9 2222 (4)若X~N(μ, σ),c为任意常数,则X+c~ N (μ+c, σ), c X~ N(cμ, cσ)( (5)若Xi~N(μi,σi2),i=1,2,L,n且相互独立，则对于不全为零的常数 a1,a2,L,an,有 ?aX ii=1 n i ~N(?aiμi,?ai2σi2) i=1 i=1 nn 93 三、随机变量函数的概率分布 1(离散型情形 设X离散型随机变量，概率分布为 k=1,2,„, P{X=xk}=pk， 由随机变量X的函数Y=G(X)取值g(xk)的为概率为 P{Y=g(xk)}=pk， k=1,2,„, 如果在函数值g(xk)中有相同的数值,则将它们相应的概率之和作为随机变量Y=g(X)的取该值的概率,就可以得到Y=g(X)概率分布( 2(连续型情形 一般地,根据函数g(x)的形式及X的分布函数,求Y=g(X)的分布函数(特别地,若y=g(x)是严格单调的连续函数,其值域为(c,d),且x=h (x)是y=g (x)的唯一反函数,则Y=g(X)也是连续型随机变量,其概率密度可通过X的概率密度f (x)表示为 ?f(h(y))|h′(y)|,p(y)=?0,? 若c2. πarctanex,x?R. 94 例2(下面哪个函数可以作为某随机变量的的密度函数( B ) (A)f(x)=e?|x|?1?2,?1p2 11解: p1=P{X?μ?1}=Φ(?)=1?Φ( 22 p2=P{Y?μ+1}=1?Φ(1),因此，对任何实数μ，都有p1>p2，应选(D). ?λe?λx,x>0,例6(设随机变量X的概率密度为f(x)=?以Y表示对X的三次独立x?0.?0, 27重复观察中事件{X0.5}; (3)P{|X?1|<0.5|X?1}; (4)Y的分布 律. 解:(1) 由题意知X为离散型随机变量,可能取值为0,1,2. P{X=0}=F(0)?F(0?0)=0.3,同理P{X=1}=0.5,P{X=2}=0.2. 12??0 故X的概率分布律为X~? ?0.30.50.2???? (2) P{|X?1|>0.5}=P{X>1.5或X<0.5}=P{X=0}+P{X=2}=0.5. (3) P{|X?1|<0.5|X?1}= P{|X?1|<0.5,X?1}P{1?X?1.5}0.55 ===. P{X?1}P{X?1}0.77 (4) 由题意知Y可能取值为1,2, 其概率分布律如下 P{Y=1}=P{X=0}+P{X=1}=0.8,P{Y=2}=P{X=2}=0.2. 例11(一批产品有3件正品,3件次品,随机从中每次取一件产品,若取出的是次品,放回一 件正品,直到取到正品为止.(1)求抽取次品数X的概率分布律;(2)求X的分布函数. 解: (1) 由题意知X的可能取值为0,1,2,3.记Ai表示{第i次取到正品}(i=1,2,3,4). P{X=0}=P(A1)= 31341=,P{X=1}=P(1A2)=P(1)P(A2|1)=×=, 62663 P{X=2}=P(12A3)=P(1)P(2|1)P(A3|12)=1321 P{X=3}=P(123A4)=×××1=. 36666 故X的概率分布律为 3255 ××=,66636 P 2336. 36 (2) 由(1)的概率分布律易得其分布函数为 ?0,?1?,?2??5 F(x)=?, ?6?35?36,???1, 97 x<0,0?x<1,1?x<2, 2?x<3,x?3, 例12(设有甲种 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 3本、乙种书2本，甲种书上每页错字个数X~P(1)，乙种书上每页错字个数Y~P(2)，现任意打开一本书至某页，求该页上错字个数Z的概率分布律。 1?12k ?2e(k=0,1,2,L), 解:由题意知P{X=k}=e(k=0,1,2,L),P{Y=k}=k!k! 记A1,A2分别表示打开的书为甲种书和乙种书,则P(A1)=23,P(A2)=, 55 1?12k ?2e, Bk表示书的某页上错字个数为k个,则P(Bk|A1)=e,P(Bk|A2)=k!k! 则由全概率公式得Z的概率分布律为 P{Z=k}=1(3e?1+2k+1e?2),(k=0,1,2L) 5k! 例13(设随机变量X分布函数为 xa,|x|1|X2<4}. 98 解: (1) 由? +??? Ae?|x|dx=1,2? +?0 1 Ae?xdx=1?A=; 2 ?1x e,x<0,??2 (2) 由于f(x)=? ?1e?x,x?0.??2 1t1 edt=ex, ??22 x1011 当x>0时, F(x)=P{X?x}=?etdt+?e?tdt=1?e?x, 02??22 当x<0时, F(x)=P{X?x}=? x ?1x e,x<0,??2所以X的分布函数为F(x)=? ?1?1e?x,x?0.??2 (3)P{X2<4}=P{?21,X<4}1 =所以P{X>1|X2<4}=.2(e+1)P{X2<4}P{X>1,X2<4}=P{11. ?1 ,019.6}=P{X>1.96}=0.05. 10 设Y为100次独立重复测量中事件A出现的次数，则Y服从参数为n=100, p=0.05的二项分布.α=P{Y?3}=1?P{Y=0}?P{Y=1}?P{Y=2} =1?0.95100?100×0.9599×0.05?100×99×0.9598×0.052 2 ?λ根据泊松定理，Y近似服从参数为λ=np=5的泊松分布，故 α?1?e?λ?λe?λ?λ2 2e=1?e(1+λ+?λλ2 2)?0.87 例17(已知随机变量X服从(0，1)上均匀分布.随机变量 1?2X,0 解21,Y<. 32(1)由于Y的取值在区间(0,1)内,所以当Y?0时,F(y)=0,当Y?1时,F(y)=1. yy或X?1?22 yy=1?P,2(1?X)<=P{X>=.443232 (2)P{X> 101 第三章 多维随机变量的分布 考试内容 多维随机变量及其分布函数 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常见二维随机变量的分布 两个及两个以上随机变量的函数的分布 考试要求 1(理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质( 2(理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度，掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布( 3(理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件;理解随机变量的不相关性和独立性的关系( 24(掌握二维均匀分布和二维正态分布N(μ1,μ2;σ12,σ2;ρ)，理解其中参数的概率意义( 5(会根据两个随机变量的概率分布求其函数的分布;会根据多个独立随机变量的联合分布求其函数的分布( • 考试内容解析 • 一、多维随机变量及其分布函数 1(基本概念 (1)联合分布函数:称n元函数 F(x1,x2,L,xn)=P{X1?x1,X2?x2,L,Xn?xn} 为n维随机变量(或随机向量)X=(X1,X2,L,Xn)的分布函数或随机变量 X1,X2,L,Xn的联合分布函数( (2)边缘分布函数:随机变量X1,X2,L,Xn中任意k(1?k0,则称 i,j=1,2,L, P{X=xi|Y=yj}= P{X=xi,Y=yj} P{Y=yj} = pijp?j ,i=1,2,L, 为在Y=yj下的X的条件概率分布( 同样可以定义在X=xi下的Y的条件概率分布. P{Y=yj|X=xi}= P{X=xi,Y=yj} P{X=xi} = pijpi? , j=1,2,L, 103 三、连续型随机变量的联合分布 每一个分量是连续型随机变量的多维随机变量就称为多维连续型随机变量(下面以二维为例讨论多维连续型随机变量的分布,而多维连续型随机变量的联合概率分布由概率密度表示( 1(联合概率密度 设X和Y为连续型随机变量,其联合分布函数为F(x,y),如果存在非负函数f(x,y),使得对任意实数x和y,均有 y ??F(x,y)=? 2(联合概率密度的性质 (1)f(x,y)?0; (2)?+? ???x??f(u,v)dudv, 则称f(x,y)为二维随机变量(X,Y)的概率密度或随机变量X和Y的联合概率密度( ?+???f(x,y)dxdy=1; ?2F(x,y)(3)如果f(x,y)在(x,y)处连续,则f(x,y)=; ?x?y (4)(X,Y)落在xOy平面区域G内的概率为 P{(X,Y)?G}=??f(x,y)dxdy. G 3(边缘概率密度 设随机变量X和Y概率密度fX(x)和fY(y)可以由其联合概率密度f(x,y)得到: fX(x)=? 4(条件概率密度 +???f(x,y)dy,fY(y)=?+???f(x,y)dx, 它们分别称为联合概率密度f(x,y)的边缘概率密度( 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),X的边缘概率密度为fX(x)(若对于任意的x,fX(x)>0,则称 fY|X(y|x)=f(x,y),y?R fX(x) 为Y在条件X=x下的条件概率密度(同样可以定义在条件Y=y下的条件概率密度fX|Y(x|y)( 另外，联合概率密度与条件概率密度和边缘概率密度之间有如下关系: f(x,y)=fX(x)fY|X(y|x)=fY(y)fX|Y(x|y) 由条件概率密度得到下面的条件分布函数: FX|Y(x|y)=? x??f(t,y) dt, fY(y) FY|X(y|x)=?y??f(x,t)dt, fX(x) 104 四、随机变量的独立性 1(一般概念 (1)称随机变量X1,X2,L,Xn为相互独立,如果其联合分布函数 F(x1,x2,L,xn)=F1(x1)F2(x2)LFn(xn)( 其中Fk(xk),k=1,2,L,n是随机变量Xk的分布函数( (2)称多维随机变量(X1,X2,L,Xm)与(Xm+1,Xm+2,L,Xn)为相互独立的,如果 F(x1,L,xm,xm+1,L,xn)=F1(x1,L,xm)?F2(xm+1,L,xn), 其中F1(x1,L,xm)和F2(xm+1,L,xn)分别为(X1,X2,L,Xm)与(Xm+1,Xm+2,L,Xn)的边缘分布函数( (3)称随机变量列X1,X2,L,是相互独立的,如果对于任意的m?2, 随机变量(X1,X2,L,Xm)相互独立( 2(离散型随机变量的独立性 称离散型随机变量X1,X2,L,Xn相互独立, 如果对于一切可能值x1,L,xn,有 P{X1=x1,LXn=xn}=P{X1=x1}LP{Xn=xn}. 3(连续型随机变量的独立性 称连续型随机变量X1,X2,L,Xn相互独立, 如果它们的联合密度函数等于各变量密度函数之积: f(x1,x2,L,xn)=fX1(x1)fX2(x2)LfXn(xn)( 4(性质 (1)如果X1,X2,L,Xn相互独立,则其中任意k(2?k?n)个随机变量也相互独立( (2)如果X1,X2,L,Xn相互独立,则它们的函数g1(X1),L,gn(Xn)也相互独立( (3)如果两个随机变量相互独立,则一个关于另一个变量的条件分布就是其无条件分布( 五、常见的二维随机变量 1(二维均匀分布 如果二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为 ?1?,(x,y)?G, f(x,y)=?A??0,其他. 105 则称X与Y联合分布为区域G上的均匀分布(其中G为一平面区域,A为G的面积( 特别地,若G={(x,y)|a?x?b,c?y?d},则在区域G上的均匀分布密度为 1?,若a?x?b,c?y?d,?( (b?a)(d?c)f(x,y)=??0,其他.? 注:二维均匀分布的两个边缘分布、条件分布以及数字特征都与区域G的形状密切有关( 例如，G={(x,y)|x2+y2?r2}，则区域G上二维均匀分布的两个边缘分布都不是均匀分布，而其中一个变量关于另一个变量的条件分布都是均匀分布( 再如，G={(x,y)|a?x?b,c?y?d},则二维均匀分布的两个边缘分布分别 为区间[a,b]和[c,d]内的均匀分布( 2(二维正态分布 如果连续型随机变量X与Y的联合概率密度为 ??(x?μ1)2(x?μ1)(y?μ2)(y?μ2)2??1??f(x,y)=?+exp??2ρ?,??2222σσσ2?2πσ1σ2?ρ12???2(1?ρ)?σ1? ??0,σ2>0,|ρ|<1. 我们称(X,Y)为服从参数为μ1,μ2,σ1,σ2,ρ的二维正态分布(常记作 2(X,Y)~N(μ1,μ2;σ12,σ2;ρ)( 对于二维正态分布,有如下性质: 2(1)二维正态分布两个边缘分布均是正态分布:X~N(μ1,σ12)，Y~N(μ2,σ2),但逆命题 不成立;即便X与Y都服从正态分布,甚至X和Y的相关系数等于0,X与Y的联合分布也未必是二维正态分布( (2)若二维随机变量(X，Y)服从正态分布,则对于任意实数a与b(至少有一个不为零), 2aX+bY~N(aμ1+bμ2,a2σ12+2abρσ1σ2+b2σ2)( (3)若二维随机变量(X，Y)服从正态分布,则其两个条件分布均是正态分布( (4)若二维随机变量(X，Y)服从正态分布,则相关系数ρ=0是X和Y独立的充分必要条件( 六、多个随机变量的函数的分布 包括多个独立随机变量之最大值、最小值的分布及其联合分布;关于两个 随机变量之和、差、积、商的分布( 1(最值的分布 设随机变量X1,X2,L,Xn相互独立,分布函数分别为F1(x1),F2(x2),L,Fn(xn),则随机变量X(n)=max(X1,X2,L,Xn)与X(1)=min(X1,X2,L,Xn)的分布函数分别为 Fmax(z)=?Fi(z), Fmin(z)=1??[1?Fi(z)]. i=1i=1nn 106 特别地,若X1,X2,L,Xn相互独立,且有相同的分布函数F(x),则有 Fmax(z)=[F(z)]n, Fmin(z)=1?[1?F(z)]n. 2(两个连续型随机变量和的分布 设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，则Z=X+Y的概率密 度为 fZ(z)= ? +??? f(x,z?x)dx= ? ?? +??? f(z?y,y)dy 特别地,当X与Y相互独立时,有 fZ(z)=? +??? fX(x)fY(z?x)dx=? +? fX(z?y)fY(y)dy 其中fX(x),fY(y)分别为X和Y的边缘概率密度( 上面的公式称为卷积 公式(记为fX(x)*fY(y)(即 fX(x)*fY(y)=? +??? fX(x)fY(z?x)dx=? +??? fX(z?y)fY(y)dy( 3(两个随机变量函数的分布 设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，则随机变量的函数 Z=g(X,Y)的分布函数为 FZ(z)=P{Z?z}= {g(x,y)?z} ??f(x,y)dxdy. • 例题讲解 • 例1(下表中列出了二维相互独立的离散型随机变量(X,Y)的部分联合分 布律和边缘分布律中的数值,则( ) 3111 (B)α=,β=(A)α=,β= 8122412 解: (C)α= 11,β=123 (D)α= 11 ,β= 246 107 例2(设随机变量X,Y相互独立,且X~N(1,1),Y~N(1,4),则( C ) (A)P(X?2)=P(Y?2)(B)P(X?2)=P(Y??2) (C)P(X?Y)=P(X?Y)(D)P(X+Y?0)=P(X+Y?0) 解: 例3((练习)设随机变量X与Y独立、均服从正态分布N(1,4)，且概率P{aX?bY?1}=则( A ) 1，2 (A)a=2,b=1 (B)a=1,b=2 (C)a= ?2,b=1 (D)a=1,b= ?2 解: 例4(设二维随机变量(X,Y)要区域D={(x,y)|x+y?9a}(a>0)服从均匀分 布222 p=P{X2+9Y2?9a2},则( B ) (B)p的值与a无关,且p=1 3 (D)p的值随a的值增大而减小(A)p的值与a无关,且p=12(C)p的值随a的值增大而增大 解: 例5((练习)(1)设X~N(0,σ1),Y~N(0,σ2)，且X与Y相互独立，则22 P{0<σ2X?σ1Y<σ12σ2}的值( A ) (A)仅与σ1有关 (C)既与σ1又与σ2有关(B)仅与σ2有关 (D)与σ1,σ2皆无关 解: (2)设随机变量X,Y独立同分布,且X的分布函数为F(x),则Z=max{X,Y}的分布函数为( A ) (A)F2(z) (C)1?[1?F(x)]2(B)F(x)F(y)(D)[1?F(x)][1?F(y)] 108 例6(设随机变量X与Y都服从正态分布N(0,σ)，且 P{X?0,Y?0}=21，则3P{X>0,Y<0}=_______. 解: ?ax,01时,F(x,y)=F(x,1)=x2, 当x>1,0?y?1时,F(x,y)=F(1,y)=y3, 当x>1,y>1时,F(x,y)=F(1,1)=1,当x<0或y<0时,F(x,y)=0. ?x2y3,?2?x,? F(x,y)=?y3, ?1,??0,? 0?x?1,0?y?1,0?x?1,y>1,x>1,0?y?1,x>1,y>1,x<0或y<0. 故 (2)当0?x?1时,fX(x)= ? ?? +?1 f(x,y)dy=6xy2dy=2x, ? 当x<0或x>1时,fX(x)=0,所以 ?2x, fX(x)=? ?0,故 FY(y)=? 0?x?1, . 其它. y?? 同理 ?0,? fY(v)dv=?y3, ?1,? ?3y2, fY(y)=? ?0,y<0,0?y?1,y>1. 0?y?1,其它. f(x,y)?3y2, =?(3)当0?x?1时,fY|X(y|x)= fX(x)?0, 0?y?1,其他. FY|X(y|x)=? y?? ?0,? fY|X(y|x)dy=?y3, ?1,? y<0,0?y?1,. y>1.2; 5 (4)P{(X,Y)?G}= ? 10 dx?6xy2dy= x (5)由(2)知f(x,y)=fX(x)fY(y),故X与Y相互独立. 例12((练习)设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 ?ky(1?x), f(x,y)=? ?0. (1)试确定常数k;(2)求P{X+Y?1}; 0?x?10?y?x, 其它. (3)求关于X和Y的边缘概率密度;(4)问X与Y是否相互独立? 112 1x 解 (1)由概率密度函数的性质知?0 dx?0 ky(1-x)dy=1,?k=24; 11(2)P{X+Y?1}=?2dy? 1?y0 y 24y(1?x)dx=?12(y?y2)dy=(6y2?8y3)|11 2200 =2 ; (3)当x<0或x>1时,fX(x)=0,当0?x?1时,x 2x (1)求常数k;(2)求概率P{X2+Y2?1|Y?X}. 8 解(1)由?2dθ?krdr=1?k?2cos3θdθ=1 0030 916 ?k=1?k=. 169 P{X2+Y2?1,Y?X}22 .(2)P{X+Y?1|Y?X}= P{Y?X} 2cosθ 2 ππ 52923 P{Y?X}=?dθ?rdr=?4cos3θdθ=, 008162 π 193π P{X2+Y2?1,Y?X}=?4dθ?r2dr=, 0016643P{X2+Y2?1|Y?X}=. 80 ?(0,1)(1,0)(2,?1)(1,?2)? 例15(设(X，Y)的分布律为(X,Y)~?1113?. ?? 688??3 4 2cosθ ππ 又设U=X+Y，V=X-Y,W=max(U,V) (1)求U,V的分布律;(2)求(U,V)的联合分布律;(3)求W的分布律;(4)记 F(u,v)为(U,V)的分布函数,求F(2,2). 3 解:(1)U的可能取值为-1,1,且P{U= -1}= P{ X+Y = -1}= P{ (X,Y)= (1,-2)}= 85 P{U=1}= P{ X+Y = 1}= P{ (X,Y)= (0,1)}+ P{ (X,Y)= (1,0)}+ P{ (X,Y)= (2,-1)}= . 8 故U的概率分布律为 1 V的可能取值为-1,1,3,且P{V= -1}= P{ X-Y = -1}= P{ (X,Y)=(0,1)}= , 3 1 P{ V =1}= P{ X-Y = 1}= P{ (X,Y)= (1,0)}= 6 131 P{ V =3}= P{ (X,Y)= (2,-1)}+ P{ (X,Y)=(1,-2)}= += 882 故V的概率分布律为 (2)P{ (U,V)= (-1, -1)}= P{ X+Y = -1, X-Y = -1}= P{(X,Y)= (- 1,0)}=0 114 P{ (U,V)= (1, -1)}= P{ X+Y = 1, X-Y = -1}= P{(X,Y)= (0,1)}= 其它 可类似计算得(U,V)的联合分布律如下表 1 3 111311+=, P{W= 3}=+=, 882 (3)W的可能取值为-1,1,3,且P{W= 1}= (4) F(2,2)= 111+=. 362 例16(设随机变量(X,Y)概率密度为 ?1+xy ,|x|<1,|y|<1,?0,Y>|X|,? f(x,y)=?4记U=? ?1,Y?|X|.?其它.?0, ?0,Y>X, V=? ?1,Y?X. (1)求概率P{min(X,Y)<0};(2)求U与V的联合分布律. 解(1)P{min(X,Y)<0}=P{X<0或Y<0}=1?P{X?0,Y?0} 111+xy511 dy=1?=1??dx?=0041616 (2)(U,V)的取值有(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),解 (1)P{min(X,Y)<0}=P{X<0或Y<0}=1?P{X?0,Y?0} 111+xy511=1??dx?=dy=1? 0041616 (2)(U,V)的取值有(0,0),(0,1),(1,0),(1,1), P{U=0,V=0}=P{Y>|X|,Y>X}=P{Y>|X|}=?dy? 01 1+xy1 dx=?y44 y 图3.5 P{U=0,V=1}=P{Y>|X|,Y?X}=0,P{U=1,V=0}=P{Y?|X|,Y>X}=?dx? 1+xy1 dx=, x?144 x1+xy11 P{U=1,V=1}=P{Y?|X|,Y?X}=P{Y?X}=?dx?dx=. ?1?142 ?x 115 VU 041101 故U与V的联合分布律为01 且X服从区间[0，1]上的均匀分布，Y服从参数为1数分布，例17((练 习)设随机变量X与Y独立， 记U=max(X，Y)，V=min(X，Y),试分别求U和V的概率密度. 解由题意知X与Y的概率密度分别为?1, fX(x)=? ?0, X与Y的分布函数分别为 ?0,? FX(x)=?x, ?1,? U的分布函数为 FU(u)=P{max(X,Y)?u}=P{X?u,Y?u}=P{X?u}P{Y?u} u?0,?0, ? =FX(u)FY(u)=?u(1?e?u),0?u<1, ?1?e?u,u?1.? u?0,?0, ? ′(u)=?1?e?u+ue?u,0?u<1,U密度函数为fU(u)=FU ?e?u,u?1.?V的分布函数为 FV(v)=P{min(X,Y)?v}=1?P{min(X,Y)>v} =1?P{X>v,Y>v}=1?(1?P{X?v})(1?P{Y?v})v?0,?0, ? =1?[1?FX(v)][1?FY(v)]=?1?(1?v)e?v,0?v<1, ?1,v?1.? V密度函数为 ?(2?v)e?v,00,其它. y<0,?0, FY(y)=??y ?1?e,y?0. 令Z=X+Y. (1)求(X,Y)落在区域D={(x,y)|x2+y22Y};(2)求Z=X+Y的概率密度fz(z). 解:(1)P{X>2Y}= ? 120 7 dy?(2?x?y)dx=. 2y24 1 (2)方法一:先求Z的的分布函数 FZ(z)=P(X+Y?Z)= 当z<0时, FZ(z)=0; 当0?z<1时, x+y?z ??f(x,y)dxdy y= z -x(0?z<1) zz?y132 dy(2?x?y)dx=z?z; FZ(z)=??f(x,y)dxdy=? D1 ? 3 图3.7 当1?z<2时, FZ(z)=1?? 1z?1 dy? 1 (2?x?y)dx=1?(2?z)3; z?y3 1 当z?2时, FZ(z)=1. 故Z,,+,的概率密度 117 ?2z?z2,0s} 图3.9 1112s=1?dxdy=1?dssdy=(1+ln2?lns)， xy>s(x,y)?G??22?sx2 从而 ?1?(ln2?lns),若00,则称X与Y正相关,否则称X与Y负相关( 两个独立随机变量一定不相关,但是两个不相关的随机变量却未必独立(然而,对于联合分布是二维正态分布的随机变量,其独立性与不相关性是等价的( 五、矩 对于随机变量X,若EX,k=1,2,L,存在,则称之为X的k阶原点矩( 如果E(X?EX),k=1,2,L,存在,则称之为X的k阶中心矩( 原点矩和中心矩可以互相表出(方差即为二阶中心矩( kk 六、切比雪夫不等式 设随机变量X的数学期望EX和方差DX都存在,则对于任意ε>0有 P{|X?EX|?ε}?DX ε2. . 或P{|X?EX|<ε}?1?DX ε2 • 例题讲解 • 例1(设随机变量X与Y相互独立，且方差DX>0,DY>0，则( A ) (A)X与X+Y一定相关 (C)X与XY一定相关 解: (B)X与X+Y一定不相关 (D)X与XY一定不相关 例2((1)已知(X,Y)服从二维正态分布，且EX=EY=0, DX=1,DY=4, 与Y独立，则a等于( D ) ρXY=1,若Z=aX+Y2 (A) 2 (B) ?2 (C) 4 (D) ?4 解: (2)设随机变量X~N(0,1),Y~N(1,4),且相关系数ρXY=1,则( D ) (A) P{Y=?2X?1}=1 (B) P{Y=2X?1}=1 (C) P{Y=?2X+1}=1 (D) P{Y=2X+1}=1 122 例3(设(X,Y)服从于二维正态分布,则下列四个命题: ?X和Y都服从一维正态分布;?X和Y相互独立;?2X+3Y服从一维正态分布;?若X和Y不相关，则X和Y相互独立.其中正确的是( B ) (A) ??? (B) ??? (C) ??? (D) ??? 解: 例4(已设随机变量X的分布函数 若xX2}; (2)求X1-X2 与X1-X3相关系数ρ; n 1n (3)求E(?|Xk?|),其中=?Xk nk=1k=1 解:(1)由于X1~N(μ,σ2),X2~N(μ,σ2),且X1与X2相互独立, 所以E(X1?X2)=E(X1)?E(X2)=0,D(X1?X2)=D(X1)+D(X2)=2σ21 从而X1?X2~N(0,2σ2),因此P{X1>X2}=P{X1?X2>0}=. 2 (2)Cov(X1?X2,X1?X3)=D(X1)=σ2,D(X1?X2)=D(X1?X3)=2σ2.2σ22σ2 1 (3)记Yk=Xk?=[(n?1)Xk?X1?X2?L?Xk?1?Xk+1?LXn] n E(Xk?=E(Xk)?E(=μ?μ=0 1n?12记222 D(Xk?)=2[(n?1)+n?1]σ=σ=σ1 nn 2 故Yk=Xk?~N(0,σ1)所以E(|Yk|)=?|y| ??+? 所以ρ= σ2 = 12 12πσ1exp(? exp(?y2 )2| y22σ1= 2 dy=2?2 +?0 y 12πσ1 exp(? y22σ1 2 dy =? n 2σ1π +?0 2σ1 π 1= ?nπ 故E(?|Xk?|)=nE(|Yk|)= k=1 ?π . 例14(袋中有2个红球和3个绿球,n个人轮流摸球,每人摸出2个球,然 后将球放回袋中,让下一个摸,求n个人总共摸到红球的数学期望. 解:设Xi表示第i个人摸到红球的个数,则X=?Xi表示n个总共摸到红球的个数. i=1n 由于Xi的取值为0,1,2.且 112C2?C3C23631 P{Xi=0}=2=,P{Xi=1}===,P{X=2}==. i22 105C510C5C510 C32 127 即Xi的概率分布为 Xi P01012510(i=1,2,L,n). (i=1,2,L,n). 所以 EXi=0×331+1×+2×=0.8,10510 n从而 EX=E(?Xi)=?EXi=0.8n. i=1i=1n 例15(按季节出售的某种应时商品,每出售一千克获利b元,如到季末尚有剩余商品,则每千克净亏l元,设某商店在季度内这种商品的销售量X(以千克计)是一随机变量,X在区间(s1,s2)上服从均匀分布,为使商店所获利润的数学期望最大,问商店应进多少货? 解:设s表示进货量，则s10，均有 limP{|Xn?A|<ε}=1, n?? 则称随机变量序列X1,X2,L,Xn,L依概率收敛于A，记为Xn???A 显然，上式等价于limP{|Xn?A|?ε}=0, n??P 二、大数定律 1(切比雪夫大数定律 设随机变量序列X1,X2,L,Xn,L两两独立或两两不相关，其期望与方差EXi,DXi均存在，且存在常数M>0,使得DXi?M,i=1,2,L,则对任意的正数ε,有 ?1n?1n limP??Xi??EXi<ε?=1, n??ni=1?ni=1? 特别地,对于独立同分布的随机变量序列X1,X2,L,Xn,L,若其期望EXi=μ,和方差DXi=σ2存在,则对于任意的正数ε有 1n limP{|?Xi?μ|<ε}=1, n??ni=1 即 1nPn=?Xi???μ ni=1 2(伯努利大数定律 设p=P(A)是事件A在每次试验中事件A发生的概率，fn (A)为事件A在n次独立重复试验中事件A发生的频率，则fn (A)依概率收敛于p，即 Pfn(A)???p 伯努利大数定律表明,在相同的条件下进行n次独立重复试验,当n充分大时,随机事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率P(A)附近,即伯努利大数定律是反映频率稳定性的数学定理( 3(辛钦大数定律 设随机变量序列X1,X2,L,Xn,L是独立同分布的随机变量列,只要数学期望EXi,(i=1,2,L)存在，则对任意的正数ε，有 129 1n limP{|?Xi?μ|<ε}=1, n??ni=1 即 1nPn=?Xi???μ ni=1 注:辛钦大数定律比独立同分布条件下的切比雪夫大数定律更一般( 三、中心极限定理 1(棣莫弗,拉普拉斯中心极限定理 设随机变量Xn~B(n,p)(00，有limP{|n??μnn?p|?ε}=0. 解: (4)设X1,X2L,Xn,L.是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为λ的指数分布，则 ??nλXn??i????i=1limP??x?=n??n?????? 解: 例2(选择题 ?x??12πe?t22dt. (1)设X1,X2L,Xn,L.是相互独立的随机变量序列，Xn服从参数为n的指数分布 (n=1,2,LL)，则下列不服从切比雪夫大数定律的随机变量序列是( B ) (A)X1,X2L,Xn,L. (B)X1,2X2L,nXn,L. (C)X1, 解: 22XX2L,n,L. (D)X1,2X2L,nXn,L. 2n 131 (2)设随机变量X1,X2L,Xn,L.是独立同分布，其分布函数 F(x)=a+x1arctan，bbb>0，则辛钦大数定律对此随机变量序列( C ) (A)适用 (B)当a,b取适当值时适用 (C)不适用 (D)无法判别 解: (3)设X1,X2L,Xn是相互独立的，Sn=X1+X2+L+Xn，则根据列维,林德伯格中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1,X2L,Xn( C ) (A)有相同的数学期望 (B)有相同的方差 (C)服从同一指数分布 (D)服从同一离散型分布 解: ?1?3,|x|?1,，则(4)设X1,L,Xn是独立同分布的随机变量，其分布密度为?(x)=?|x| ?0,|x|<1.? 关于随机变量序列{Xn}成立的是( B ) (A)满足贝努利大数定律 (B)满足辛钦大数定律 (C)满足切比雪夫大数定律 (D)无法判别 解: 例3(若每次射击目标的概率为0.1,不断地对靶进行独立射击.求在500次射击中,击中目标次数在区间(49,55]内的概率. 解:设随机变量X表示500次射击中击中目标的次数,则依题意X~B(500,0.1).E(X)=50,D(X)=45.由中心极限定理知X近似服从正态分布N(50,45) 故所求的概率为 ?????55?50??49?50??????1????Φ=Φ+ΦP{490.977=Φ(2). P{Tn?5000}=P? 由此可见 >2，从而n<98.0199， 即最多可以装98箱. 133 第六章 数理统计的基本概念 考试内容 总体 个体 简单随机样本 统计量 经验分布函数 样本均值 样本方差和样本矩 χ2分布 t分布 F分布 上侧α分位数 正态总体 常用抽样分布 考试要求 1(理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为: 1n2S=(Xi?)2 ?n?1i=1 2(了解产生χ2变量，t变量和F变量的典型模式;理解标准正态分布、χ2分布、t分布和F分布的分位数，会查相应的数值表( 3(掌握正态总体抽样分布:样本均值、样本方差、样本矩、样本的均值差、样本方差比的抽样分布( 4(理解经验分布函数的概念和性质，会根据样本值求经验分布函数( • 考试内容解析 • 一、总体和样本 1(总体 一般而言，总体是指与所研究的问题有关的对象(个体)的全体所构成的集合，但在数理统计中，总体就是一个服从某概率分布的随机变量X，其概率分布称为总体分布，其数字特征称为总体数字特征( 2(样本与简单随机抽样 样本是按一定 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 从总体中抽出的一部分个体，所谓“按一定规定”是指从总体中的每一个个体均有同等的被抽出的机会(也可以说n个独立且总体X同分布的随机变量(X1,X2,L,Xn)为来自总体X的一个简单随机样本,简称为样本或一组样本，Xi(i=1,2,L,n)称为第i个样本，n称为样本容量(样本的具体观测值(x1,x2,L,xn)称为样本值( 对于总体X的n次独立重复观测，称为来自总体X的n次简单随机抽样( 二、统计量和样本矩 1(统计量 完全由样本决定的量，叫做统计量(统计量只依赖于样本，而不依赖于任何其它未知的量，特别是它不能依赖于总体分布中所包含的未知参数( 统计量是样本的函数,它是一个随机变量,其分布称为抽样分布( 2(样本矩 134 设(X1,X2,L,Xn)为来自总体X的简单随机样本( 1n (1)样本均值:=?Xi( ni=1 1n (2)样本方差:S=(Xi?)2,S称为样本的标准差( ?n?1i=12 1nk(3)样本的k阶原点矩:Ak=?Xi,k=1,2,L( ni=1 1nk(4)样本的k阶中心矩:Bk=?(Xi?,k=1,2,L( ni=1 3(顺序统计量 将样本X1,X2,L,Xn的n个观测值按其值从小到大排列成:X(1)?X(2)?L?X(n),则称(X(1),X(2),L,X(n))为顺序统计量(X(k)称为第k个顺序统计量,其中X(1)和X(n)分别称为最小和最大顺序统计量,即 X(1)=min(X1,X2,L,Xn),X(n)=max(X1,X2,L,Xn)( 4(经验分布函数 设X1,X2,L,Xn为来自总体X的简单随机样本,则对于任意的实数x,称 1n Fn(x)=?I(Xi?x) ni=1 为总体X的经验分布函数,其中I( • )为示性函数( 三、常用的抽样分布 常用的抽样分布有χ分布、t分布和F分布，要了解这些分布的典型模式以及会查相应的分位数表 2 1(χ分布 (1)定义:设X1,X2,L,Xn为n个独立的标准的正态随机变量,则称 22X=X12+X2+L+Xn 2 服从自由度为n的χ分布,记为X~ 密度(不必记住)为 2χ(n),其概率2图6.1 135 nx?1??122xe,x>0,?n?2n f(x)=?2Γ()2??x?0.?0, (2)χ2分布的性质:如果X~χ2(m),Y~χ2(n),且X与Y相互独立,则X+Y~χ2(m+n)(此性质说明χ2具有可加性( 设X~ 2χ2(n),则EX=n,DX=2n. 2(3)χ分布的上侧分位数:设随机变量X服从自由度为n的χ分布(对于给定 22α(0<α<1),称满足条件P{X>χα(n)}=α的χα(n)为χ2(n)的上侧α分位数((如图6.1 所示) 2(t分布 (1)定义:设X~N(0,1),Y~χ2(n).且X与Y相互独立,则称随机变量 T=X /n服从自由度为n的t分布,记为T~t(n),其概率密 度(不必记住)为 Γ( f(x)= n+1n+1)2?x(1+)2,x?R. nΓ(2图6.2 (2)渐近正态性:当t(n)的自由度n非常大时，t(n)分布与标准正态分布非常接近，即 n??limf(x)=1e2?x22=?(x) (3)t分布的上侧分位数:设随机变量T服从自由度为n的t分布(对于给定α(0<α<1),称满足条件P{T>tα(n)}=α的tα(n)为t(n)的上侧α分位数((如图6.2所示) 由于t分布的概率密度是偶函数，故t1?α(n)=?tα(n) 3(F分布 (1)定义:设X~χ2(m),Y~χ2(n).且X与Y相互独立,则称随机变量 136 F=X/m Y/n 服从自由度为(m，n)的F分布,记为F~F(m,n),其概率密度(不必记住)为 m?m+n?1Γ()mn2?x22mn,?m+nnf(x)=?mΓ(Γ()(mx+n)2?22??0,x>0x?0 (2)F分布的性质:如果F~F(m,n),则1~F(n,m)( F (3)F分布的上侧分位数:设随机变量F服从自由度为(m，n)的F分布(对于给定α(0<α<1),称满足条件P{F>Fα(m,n)}=α的Fα(m,n)为F(m,n)的上侧α分位数((如图6.3所示)( 由F分布的性质,有F1?α(m,n)=1 Fα(n,m)图6.3 四、正态总体的抽样分布 1(一个正态总体 设总体X~N(μ,σ),X1,L,Xn是来自总体X的简单随机样本，S分别为样本均值和样本方差( 22 (1)样本均值的分布:~N(μ,σ2 n即?μ σ/n~N(0,1). (2)样本方差的分布:(n?1)S2 σ2 2~χ2(n?1). (3)样本均值和样本方差S相互独立( 基于上面三点,有T=?μ S/~t(n?1). (4)1 σ2?(Xi=1ni?μ)2~χ2(n). 2(两个正态总体 设总体X~N(μ1,σ1),Y~N(μ2,σ2),X1,L,Xm和Y1,L,Yn是分别来自总体 X和总体Y的简单随机样本，SX和,SY相应样本均值和方差( 2222 137 (1)样本均值差的分布:?~N(μ1?μ2,σ12 m+2σ2 n). 2SX/σ12~F(m?1,n?1). (2)样本方差比的分布:F=22SY/σ2 (3)如果σ1=σ2(未知), 则 22 T=??(μ1?μ2) 22(m?1)SX+(n?1)SY m+n?2??(μ1?μ2)mn~t(m+n?2) =m+n+Sωmn 2(m?1)SX+(n?1)SY2其中 Sω=. m+n?22 m 2nσ2(4)F=?mσ12?(X?(Y i=1i=1nii?μ1)2~F(m,n) ?μ2)2 • 例题讲解 • 例1(选择题 (1)在天平上重复称量一重为a的物品，假设每次称量的结果相互独立，且都服从正态分布N(a,0.2)，若以Xn表示n次称量结果的算术平均值，则为使P{n?a<0.1}>0.95，2 n的最小值应不小于自然数( D ) (A)2 (B)4 (C)10 (D)16 解: (2)设X1,X2,L,X100是来自正态总体N(0,4)的简单随机样本，则 12011002(?Xi)+(?Xi)2服从的分布为 ( A ) 80i=1320i=21 (A)χ(2) (B)χ(100) (C)N(0,2) (D)N(0,400) 22 解:120Xi~N(0,4)??Xi~N(0,80)?(?Xi)2~χ2(1)80i=1i=1 20 1100同理(?Xi)2~χ2(1),故选A320i=21 138 (3)设X1,X2,L,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，S为样本方差，则( D ) 2 (A)n~N(0,1) (B)nS~2χ2(n) (n?1)X12(n?1)~t(n?1) (D)n~F(1,n?1) (C)S?Xi2 i=2 解:根据简单随机样本的性质，可知X1,L,Xn相互独立且都服从分布N(0,1)，于是有X2 1与?X i=2n2i相互独立都服从χ2分布，自由度分别为1与n-1，因此 X12 ????Xi2?/(n?1)?i=2?n=(n?1)X12?Xi=2n~F(1,n?1)应选(D). 2i 进一步 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 可知选项(A)、(B)、(C)均不正确: n=?Xi~N(0,n),(n?1)S2~χ2(n?1), i=1nS/n=n~t(n?1) S (4)设X~N(0,1),对于给定α(0<α<1),数Uα满足P{X>Uα}=α,若P{|X|t0.05(15)}=0.1,T~t(15),对于t分布的双侧临界值表，应选(C). ˆ=C例4(设X1,X2,L,Xn是总体N(μ,σ)的简单随机样本,σ22?(X i=1n?1i+1?Xi)2为 σ2无偏估计量,则C= 解: 1. 2(n?1) 147 ?θxθ?1,00是未知参数. 从总体X中 其他.?0, 抽取简单随机样本X1,X2,L,Xn.则θ的矩估计量 解: 例6(已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布N(μ,1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是 (39.51,40.49). (注:标准正态分布函数值Φ(1.96)=0.975,Φ(1.645)=0.95) 解:这是一个正态总体方差已知求期望值μ的置信区间问题，该类型置信区间公式为. 1?I=(?σ uα,+ 2σnuα),α=0.05.其中u0.025由P{|U|θ,例7(设总体X的概率密度为f(x)=?其中θ>0是未知参数. 从总体X中x?θ.?0, ˆ;(2)求θ的极大似然估计量θˆ;(3)抽取简单随机样本X1,X2,L,Xn.(1)求θ的矩估计量θ12 ˆ是否具有无偏性. 讨论θ2 解:(1)总体的数学期望为 +? ??+?EX=?xf(x)dx=?θxe?(x?θ)dx=θ+1,令θ+1=解得θ=?1, ˆ=?1. 所以θ的矩估计量θ1 (2)设x1,x2,L,xn是相应于样本X1,X2,L,Xn的样本值,则似然函数为 n L(θ)=?i=1?nθ??xi?f(xi;θ)=?ei=1,xi?θ,?0,其他.? n i=1n当xi?θ(i=1,2,L,n)时, lnL(θ)=nθ??xi. dlnL(θ)=n>0,所以lnL(θ)单调增加,从而L(θ)单调增加. dθ 故θ的极大似然估计量 θˆ2=min(X1,X2,L,Xn) 148 ˆ=min(X,X,L,X)的分布函数 (3)先计算θ212n ˆ?x}=P{min(X,X,L,X)?x}=1?P{min(X,X,L,X)>x}Fθˆ(x)=P{θnn212122 ?1?e?n(x?θ),x>θ,=1?[1?F(x)]=?x?θ.?0,n ?ne?n(x?θ),x>θ,从而fθˆ(x)=Fθˆ′(x)=? 22x?θ.?0, ˆ=+?xfˆ(x)dx=+?xne?n(x?θ)dx=θ+1?θ Eθ2???θ2?θnˆ=min(X,X,L,X)不是θ的无偏估计量. 故θ212n ?1?2θ,0t0.025(15)}=0.05,拒绝域为Wα={|T|>2.1315}. 由样本值计算得T的值为t= 2 252?2504/=2<2.1315.故接受H0. ′:σ(2)检验假设H022 ?σ0=9,(H1′:σ2>σ0=9), 因为μ未知,选取统计量在χ= 2 (n?1)S2 σ 2 ′的条件下χ=在H0 即P{χ> 2 2 (n?1)S2 σ02 2 ~χ2(15),查表得χ0.05(15)=24.996. χ02.05(15)}=0.05,拒绝域为P{χ2>24.996}. 2 2 由样本值计算得χ的值为χ= 154 ′. ×4=26.667>24.996.故拒绝H0 9 综合(1)与(2),认为机器工作不正常. 例2(设甲、乙两台车床加工同一种轴，其直径分别为随机变量X，Y，且 X~N(μ1,σ1),Y~N(μ2,σ2),今从它们的产品中分别抽取若干根轴,测得数据如下: n1=8,=19.93,s12=0.216,n2=7,=20.00,s=0.397. 22 22 (1)试比较两台车床加工精度(方差)在显著性水平α=0.05下有无显著差异; (2)在(1)的基础上,求μ1?μ2的置信度为95%的置信区间. 22 解: (1) 检验假设H0:σ12=σ2,(H1:σ12?σ2), S12 在H0的条件下F=2~F(7,6),对于α=0.05,有 S2 Wα={F?F 1? α 2 (7,6)}U{F?Fα(7,6)} 2 查表得F0.025(7,6)=5.70,F0.975(7,6)= 11 ==0.195. F0.025(6,7)5.12 s120.216 由样本值计算得F的值为F=2==0.544?Wα.故接受H0. s20.397 即认为两台车床加工精度没有显著差异. (2)由(1)知,可认为两总体的方差相等,即σ1=σ2=σ未知 现求μ1?μ2 的1?α=0.95的置信区间. 2 2 2 选取统计量在T= ??(μ1?μ2)Sω 11+n1n2 ~t(n1+n2?2) 其中Sω= 2 (n1?1)S12+(n2?1)S2 n1+n2?2 对于α=0.05,有P{|T|