河南省南阳市2021届高三上期期终质量评估数学试卷（理）第I卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集U＝R，集合A＝{x|x<2}，B＝{x|x<1}，则集合(∁UA)∪B=()A.(－∞，2)B.[2，＋∞)C.(1，2)D.(－∞，1)∪[2，＋∞)2.已知复数z满足z(1＋2i)＝|4－3i|(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部为()A.－2B.－2iC.1D.i3.cos15°cos45°＋sin15°sin45°＝()A.0B.C.D.14.若a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2，则()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a5.函数f(x)＝(x2＋1)sin2x，(－π≤x≤π)的图像可能是()6.已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点P(x0，2)，若点P到该拋物线焦点的距离为4，则|OP|等于()A.2B.2C.4D.27.已知球面上A、B、C三点，O是球心.如果AB＝BC＝AC＝，且球的体积为，则三棱锥O－ABC的体积为()A.1B.C.D.28.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinB＋2sinAcosC＝0，则cosB的最小值为()A.B.C.D.9.记函数g(x)＝ex－e－x＋sinx，若不等式g(2x＋a)＋g(x2－1)>0对∀x∈[－1，1]恒成立，则a的取值范围为()A.[2，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－2，＋∞)D.[－2，＋∞)10.先将函数f(x)＝sinωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数g(x)的图象，若方程f(x)＝g(x)有实根，则ω的值可以为()A.B.1C.2D.411.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形x2＋y2＝4.其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是；②当a＝－时，直线y＝ax＋2a与白色部分有公共点；③黑色阴影部分(包括黑白交界处)中一点(x，y)，则x＋y的最大值为＋1；④若点P(0，1)，MN为圆x2＋y2＝4过点P的直径，线段AB是圆x2＋y2＝4所有过点P的弦中最短的弦，则的值为12.其中所有正确结论的序号是()A.①③B.③④C.①③④D.①②④12.已知A，B，C是双曲线(a>0，b>0)上的三个点，直线AB经过原点O，AC经过右焦点F，若＝0，且，则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.第II卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x＋2y的最小值为.14.随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ<0)＝0.3，则P(ξ<2)＝.15.已知(3x2＋)5的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为.16.已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，沿对角线AC将三角形ABC折起，使得点B在平面ACD上的射影在线段AD上，此时cos∠BAD的值是.三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.)(一)必考题：共60分.17.(本题满分12分)已知数列{an}是一个等差数列，且a3＝3，a2＋a5＝7，数列{bn}是各项均为正数的等比数列，且满足：b1＝，b3·b5＝；(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足cn＝anbn，其前n项和为Tn.求证：Tn<2.18.(本题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，PC⊥平面ABCD，AB＝2AD＝2CD＝4，PC＝2a，E是PB的中点.(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若二面角P－AC－E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.19.(本题满分12分)在平面直角坐标系中，已知F1(－1，0)，直线l：x＝－4，点P为平面内的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点M，且＝0，点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设F2(1，0)，过F2且与x轴不重合的直线n与曲线C相交于不同的两点A，B.则△F1AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线n的方程；若不存在，请说明理由.20.(本题满分12分)已知函数f(x)＝3x2＋(6－a)x－alnx(a∈R).(1)求函数y＝f(x)的单调区间；(2)当a＝1时，证明：对任意的x>0，f(x)＋ex>3x2＋5x＋2.21.(本题满分12分)某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒，需要去某医院检验血液是否为阳性，现有k(k∈N*，k≥2)份血液样本，假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为p(0
0)元，若k份血液样本采用混合检验方案，则需要额外收取a元的材料费和服务费.(1)若k(k∈N*，k≥2)份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X的分布列及数学期望；(2)①若k＝5，0
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