数学建模讲座

数学建模讲义建模概论与初等模型风洞中的飞机…——物理模型地图、电路图…——符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征.我们常见的模型一、数学建模概论玩具、照片……——实物模型数学模型(MathematicalModel)数学建模（MathematicalModeling)数学建模指建立数学模型的全过程。 ——包括模型建立、求解、分析、检验。数学模型——对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学建模——是利用数学方法解决实际问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的一种实践过程.即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后,将实际问题用数学方式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达，以建立起数学模型,然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解.观点：“所谓高科技就是一种数学技术”数量关系1.解释——孟德尔遗传定律的“3:1”数学建模三大功能——解释,判断,预见美国原子能委员会提出如下处理浓缩放射性废物：封装入密封性很好的坚固的圆桶中，沉入300ft的海里，而一些 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 师提出质疑？需要判断方案的合理性。2.判断——放射性废物处理3.预见——谷神星的发现行星的轨道半径水、金、地、火、木、土1781年,利用这个结果发现了天王星,1802年，发现了谷神星与3对应(有故事)，之后还发现了海王星、冥王星。用x表示船速，y表示水速，列出方程：求解得到x=20,y=5,答：船速每小时20公里. 甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少？航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设(船速、水速为常数,方向一致); 用符号表示有关量(x,y表示船速和水速)； 用物理定律(匀速运动的距离等于速度乘以时间)列出数学式子(二元一次方程)； 求解得到数学解答（x=20,y=5）； 回答原问题（船速每小时20公里）。录象机计数器的用途问题 经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152。在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？要求不仅仅回答问题,而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系——一个数学模型!思考本题中计数器读数是均匀增长的吗？日常问题：常见的录音机的转轴转动是匀速的吗?问题分析录象机计数器的工作原理录象带运动观察或分析:计数器读数增长越来越慢！ 录象带的运动速度是常数v； 计数器读数n与右轮转数m成正比，记m=kn； 录象带厚度(含夹在两圈间的空隙)为常数w； 空右轮盘半径记作r； 时间t=0时读数n=0.建模目的建立时间t与读数n之间的关系(设v，k，w，r为已知参数)建立t与n的函数关系有多种方法:1.右轮盘转过第i圈的半径为r+wi,m圈的总长度等于录象带在时间t内移动的长度vt,所以模型建立2.考察右轮盘面积的变化,等于录象带厚度乘以转过的长度,即3.考察t到t+dt录象带在右轮盘缠绕的长度,有思考1.3种建模方法得到同一结果确定参数的一种办法是测量或调查，试设计测量方法——参数估计.参数估计将模型改记作只需估计理论上，已知t=183.5,n=6152,再有一组(t,n)数据即可；实际上,由于测试有误差,最好用足够多的数据作拟合。若现有一批测试数据：用最小二乘法可得 t 0 20 40 60 80 n 0000 1153 2045 2800 3466 t 100 120 140 160 183.5 n 4068 4621 5135 5619 6152模型检验应该另外测试一批数据检验模型：模型应用 回答提出的问题：由模型算得n=4580时t=118.5分,剩下的录象带能录183.5-118.5=65分钟的节目，可以录制60分钟的节目。2.揭示了“t与n之间呈二次函数关系”这一普遍规律，当录象带的状态改变时，只需重新估计a,b即可。基本方法 机理分析 测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律。将研究对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型 二者结合机理分析建立模型结构,测试分析确定模型参数数学建模的方法和步骤 机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(CaseStudies)来学习.以下建模主要指机理分析.数学建模的一般步骤数学模型的分类：◆按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型等。◆按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。为了便于学习掌握，可对数学模型做适当的分类： 电子计算机的出现及飞速发展 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。数学建模计算机技术知识经济四、近几年全国大学生数学建模竞赛题 1999 A 自动化车床管理 B 钻井布局 2000 A DNA序列分类 B 钢管订购和运输 2001 A 血管三维重建 B 公交车调度 2002 A 彩票问题 B 车灯优化设计 2003 A SARS预测 B 露天矿车辆安排 2004 A 奥运会临时超市网点设计 B 电力市场的输电阻塞管理 2005 A 长江水质的评价和预测 B DVD在线租赁 2006 A 出版社的资源配置 B 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 2007 A 中国人口增长预测 B 乘公交，看奥运 2008 A 数码相机定位 B 高等教育学费 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 探讨 2009 A 制动器试验台的控制方法分析 B 眼科病床的合理安排 2010 A 储油罐的变位识别与罐容表标定 B 2010年上海世博会影响力的定量评估怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术!技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则想象力洞察力判断力 学习、分析、评价、改进别人作过的模型 亲自动手，认真作几个实际题目创新意识数学建模的 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 结构1、摘要——问题、模型、方法、结果2、问题重述4、分析与建立模型5、模型求解6、模型检验7、模型推广8、参考文献9、附录3、模型假设谢谢！二、初等模型例1哥尼斯堡七桥问题 符号表示“一笔画问题”(抽象分析法) 游戏问题图论(创始人欧拉) 完美的回答连通图中至多两结点的度数为奇数，则该图可一笔画.(1111)(1110)(1010)(1011)(1101)(0000)(0001)(0101)(0100)(0010)例2人狗鸡米过河问题模型表示：建立(人,狗,鸡,米)的4维0/1向量;是一个简单的游戏，但可以建立经典计算机编程求解。如:(1,0,1,0)——表示狗、米已过河,人、鸡没有等;可取状态：24－6＝10种可取过河方式：4种——(1100)(1010)(1001)(1000)运算方式：——按位异或运算(xor)例：一次运算过程(0011)(0101)(0110)(0111)XOXX图论解法：示例3椅子能在不平的地面上放稳吗?1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形;2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况)，即地面可视为数学上的连续曲面;3.对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。模型假设模型构成椅脚连线为正方形ABCD(如右图).t——椅子绕中心点O旋转角度f(t)——A,C两脚与地面距离之和g(t)——B,D两脚与地面距离之和模型构成由假设1，f和g都是连续函数由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地：对任意t，f(t)和g(t)中至少有一个为0。当t=0时,不妨设g(t)=0,f(t)>0,原题归结为证明如下的数学命题：已知f(t)和g(t)是t的连续函数,对任意t,f(t)•g(t)=0,且g(0)=0,f(0)>0。则存在t0，使f(t0)=g(t0)=0模型求解最后，因为f(t)•g(t)=0，所以f(t0)=g(t0)=0。方法总结1)一个变量t表示位置； 引入距离函数(只设两个)； 证明技巧——转动90度。模型推广1)若对象是4条腿同长的长方形桌子，结果怎样？2)某甲早8时从山下旅店出发沿一路径上山，下午5时到达山顶并留宿。次日早8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？ (数学解法、巧妙的形象解法)建模示例4商人们怎样安全过河问题(智力游戏)随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策——每一步(A到B或B到A)船上的人员要求——在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河!模型构成xk~第k次渡河前A岸的商人数yk~第k次渡河前A岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)~过程的状态S={(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允许状态集合uk~第k次渡船上的商人数vk~第k次渡船上的随从数dk=(uk,vk)~决策D={(u,v)u+v=1,2}~允许决策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk+(-1)kdk——状态转移律求dkD(k=1,2,n),使skS按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).多步决策问题模型求解穷举法~编程上机图解法状态s=(x,y)~16个格点允许决策D~移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,d11给出安全渡河方案评注和思考规格化方法,易于推广考虑4名商人各带一随从的情况允许状态SS={(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}D={(u,v)u+v=1,2}建模示例5报童的诀窍！问题:报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c。请为该报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大收入？假设和分析:1.设a>b>c,且一般地a-b>b-c;2.需求量是随机的，但是有规律,可以通过市场调查和经验统计其规律，比如在其销售范围内每天报纸需求量为r的概率是f(r)(r=0,1,2,…..)——一个概率分布;3.若设其购进n份报纸，每天报童的销售净收益是随机的!于是讨论其平均净收益G(n)(期望收益),如下平均净收益G(n)(期望收益)：问题转化为：模型建立——一个离散概率模型：最大化期望收益模型求解求导等技巧直接不能用！《数学模型》,姜启源编——P273：将离散量r看成连续量，这时上面的求和可改为积分，进一步就可以求导(利用变限积分函数求导法则)，寻找其极值点！下面给出另一种不同的方法！分析G(n)的改变量△G(n)=G(n)-G(n-1)：相当于求G(n)的稳定点！相当于球G(n)的稳定点！结论：最优决策n满足使需求量不超过n的概率和需求量超过n的概率之比接近(a-b)/(b-c)！或需求量不超过n的概率为(a-b)/(a-c)——赚赔比简例 棋子颜色的变化问题 任意取黑白两种颜色的棋子8个，排成一个圆圈，然后在两颗同色棋子间放一个白棋子，异色棋子间放一个黑棋子，拿去原来的棋子。多次重复该过程后，棋子颜色会如何变化？(数目不是8而是任意自然数n时如何?) 相识问题 设有n个人参加一个宴会，已知没有人认识所有的人，问是否有两个人，他们认识的人一样多？找关键量....1、某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6时抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5:30抵T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在路上遇到他接回家时，发现比往常提前了10分钟，问他步行了多长时间？假如相遇时车还是象往常一样前行会和往常一样回家！------推出相遇时间！找关键量....2、两兄妹分别在离家2千米和1千米且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4千米/小时和2千米/小时的速度步行回家，一小狗以6千米/小时的速度从哥哥处奔向妹妹，又从妹妹处奔向哥哥，如此往返直至回家中，问小狗奔波了多少路程？如果兄妹上学时小狗也奔波在他们之间，问当他们到达学校时小狗在何处？