2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（上海卷）1、填空题（本题共12小题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1.已知集合，，求_______【分值】4分【答案】2.________【分值】4分【答案】3.已知复数z满足（为虚数单位），则_______【分值】4分【答案】4.已知行列式，则行列式_______【分值】4分【答案】25.已知，则_______【分值】4分【答案】6.已知a、b、1、2的中位数为3，平均数为4，则ab=【分值】4分【答案】367.已知，则的最大值为【分值】5分【答案】-18.已知是公差不为零的等差数列，且，则【分值】5分【答案】9.从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有种排法。【分值】5分【答案】18010.椭圆，过右焦点F作直线交椭圆于P、Q两点，P在第二象限已知都在椭圆上，且，，则直线的方程为【分值】5分【答案】11、设，若存在定义域的函数既满足“对于任意，的值为或”又满足“关于的方程无实数解”，则的取值范围为【分值】5分【答案】【解析】题目转换为是否为实数,使得存在函数满足“对于任意，的值为或”，又满足“关于的方程无实数解”构造函数；，则方程只有0,1两个实数解。12、已知是平面内两两互不平等的向量，满足，且(其中)，则K的最大值为【分值】5分【答案】6【解析】根据向量减法的运算规律，可转化为以向量终点为圆心，作半径和的圆，两圆交点即为满足题意的，由图知，的最大值为6.二、选择题（本题共有4小题，每题5分，共计20分）13、下列不等式恒成立的是（）A、B、C、D、【分值】5分【答案】B【解析】无14、已知直线的解析式为，则下列各式是的参数方程的是（）A、B、C、D、【分值】5分【答案】D【解析】无15、在棱长为10的正方体.中，为左侧面上一点，已知点到的距离为3，点到的距离为2，则过点且与平行的直线交正方体于、两点，则点所在的平面是（）A.B.C.D.【分值】5分【答案】D【解析】延长至点，使得延长至点，使得,以为顶点作矩形，记矩形的另外一个顶点为，连接，则易得四边形为平行四边形，因为点在平面内，点在平面内，且点在平面的上方，点在平面下方，所以线段必定会在和平面相交，即点在平面内16.、若存在,对任意的，均有恒成立，则称函数具有性质，已知：单调递减，且恒成立；单调递增，存在使得，则是具有性质的充分条件是（）A、只有B、只有C、D、都不是【分值】5分【答案】C【解析】本题要看清楚一个函数具有性质的条件是，存在，则对于时，易得函数具有性质；对于，只需取，则，，所以，所以此时函数具有性质.三、解答题（本题共5小题，共计76分）综合题分割17、已知边长为1的正方形ABCD，沿BC旋转一周得到圆柱体。（1）求圆柱体的
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面积；（2）正方形ABCD绕BC逆时针旋转到，求与平面ABCD所成的角。【分值】【答案】（1）4π；（2）综合题分割18、已知.（1）若f(x)的周期是4π，求，并求此时的解集；（2）已知，，，求g(x)的值域.【分值】【答案】（1），;（2）综合题分割19、已知：，，且，（1）若v>95，求x的取值范围；（2）已知x=80时，v=50，求x为多少时，q可以取得最大值，并求出该最大值。【分值】【答案】（1）；（2）时，综合题分割20、双曲线，圆在第一象限交点为A，，曲线。（1）若，求b；（2）若，与x轴交点记为,P是曲线上一点，且在第一象限，并满足，求∠；（3）过点且斜率为的直线交曲线于M、N两点，用b的代数式表示，并求出的取值范围。【分值】【答案】（1）2；（2）；（3）；【解析】（1）若，因为点A为曲线与曲线的交点，∵，解得，∴（2）方法一：由题意易得为曲线的两焦点，由双曲线定义知：，，∴又∵，∴在中由余弦定理可得：方法二：∵，可得，解得，（3）设直线可得原点O到直线的距离所以直线是圆的切线，切点为M,所以，并设，与圆联立可得，所以得，即，注意到直线与双曲线得斜率为负得渐近线平行，所以只有当时，直线才能与曲线有两个交点，由，得，所以有，解得，或（舍）又因为由上的投影可知：所以21.有限数列，若满足，是项数，则称满足性质.（1）判断数列和是否具有性质，请说明理由.（2）若，公比为的等比数列，项数为10，具有性质，求的取值范围.（3）若是的一个排列都具有性质，求所有满足条件的.【分值】【答案】（1）对于第一个数列有，满足题意，该数列满足性质对于第二个数列有不满足题意，该数列不满足性质.（2）由题意可得， 两边平方得： 整理得： 当时，得，此时关于恒成立， 所以等价于时，所以， 所以或者q≥l，所以取. 当时，得,此时关于恒成立， 所以等价于时，所以， 所以,所以取。 当时，得。 当为奇数的时候，得,很明显成立， 当为偶数的时候，得，很明显不成立， 故当时，矛盾，舍去。 当时，得。 当为奇数的时候，得,很明显成立， 当为偶数的时候，要使恒成立， 所以等价于时，所以， 所以或者，所以取。 综上可得，。（3）设因为，可以取或者，可以取或者。如果或者取了或者，将使不满足性质所以，的前五项有以下组合：①，，，，，②，，，，，③，，，，，④，，，，，对于①，，，，与满足性质矛盾，舍去。对于②，，，，与满足性质矛盾，舍去。对于③，，，，与满足性质矛盾，舍去。对于④，，，，与满足性质矛盾，舍去。所以均不能同时使，都具有性质。当时，有数列：满足题意。当时，时有数列：满足题意。当时，有数列：满足题意。当时，有数列：满足题意。故满足题意的数列只有上面四种。
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