计算流体力学课程大作业

PAGE1/NUMPAGES12《计算流体力学》课程大作业——基于涡量-流函数法的不可压缩方腔驱动流问MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1714243338748_0数值模拟张伊哲航博101引言和综述问题的提出，怎样使用涡量-流函数方法建立差分格式程序说明计算结果和讨论结论1引言虽然不可压缩流动的控制方程从形式上看更为简单，但实际上，目前不可压缩流动的数值方法远远不如可压缩流动的数值方法成熟。考虑不可压缩流动的N-S方程：(1.1)其中是运动粘性系数，认为是常数。将方程组写成无量纲的形式：(1.2)其中Re是雷诺数。从 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 角度看，不可压缩流动的控制方程中不含有密度对时间的偏导数项，方程 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现出椭圆-抛物组合型的特点；从物理意义上看，在不可压缩流动中，压力这一物理量的波动具有无穷大的传播速度，它瞬间传遍全场，以使不可压缩条件在任何时间、任何位置满足，这就是椭圆型方程的物理意义。这就造成不可压缩的N-S方程不能使用比较成熟的发展型偏微分方程的数值求解理论和方法。如果将动量方程和连续性方程完全耦合求解，即使使用显示的离散格式，也将会得到一个刚性很强的、庞大的稀疏线性方程组，计算量巨大，更重要的问题是不易收敛。因此，实际应用中，通常都必须将连续方程和动量方程在一定程度上解耦。目前，求解不可压缩流动的方法主要有涡量-流函数法，SIMPLE法及其衍生的改进方法，有限元法，谱方法等，这些方法各有优缺点。其中涡量-流函数法是解决二维不可压缩流动的有效方法。作者本学期学习了研究生计算流体课程，为了熟悉计算流体的基本方法，选择使用涡量-流函数法计算不可压缩方腔驱动流问题，并且对于不同雷诺数下的解进行比较和分析，得出一些结论。本文接下来的内容安排为：第2节提出不可压缩方腔驱动流问题，并分析该问题怎样使用涡量-流函数方法建立差分格式、选择边界条件。第3节介绍程序的结构。第4节对于不同雷诺数下的计算结果进行分析，并且与U.GHIA等人【1】的经典结论进行对比，评述本文所采用的计算方法。第五节给出结论。2问题的提出和分析2.1经典方腔驱动流问题考虑如下图所示的长度为1的正方形腔体，腔体上有一平板以速度U=1运动，其它三边为固壁条件。图1.方腔驱动流示意图顶盖方腔驱动流问题是个很经典的问题，常常用于验证不可压缩流动数值方法的正确性。U.GHIA等人于1982年发表的一篇文献（见文献【1】）计算了Re从100到的流动结果，其结果得到广泛的认同。2.2涡量-流函数方法简介涡量-流函数法的基本思想是引入涡量和流函数：引入涡量，可以消去方程中的压力项，而引入流函数，可以使连续方程自然满足。下面对该方法进行简单推导：考虑二维问题，将式(1.2)写成分量形式：式(1.4)对求偏导数减去式(1.5)对求偏导数，考虑到，推导出涡量满足的方程为(1.6)然后引入流函数，定义为(1.7)可见，连续性方程(1.3)自然成立。与的关系为(1.8)式(1.6)~(1.8)构成了一个封闭的方程组，由(1.6)计算出涡量，再由(1.8)式计算出流函数，利用(1.7)式计算出速度。这个方程组的特点是求解速度的时候完全不用考虑压力项。若还需 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 解压力场，则可以把式(1.4)对求偏导数，式式(1.5)对求偏导数，二者求和后整理得到关于压力的Poisson方程(1.9)以上推导出的涡量-流函数法在计算二维问题时很成功，但是三维流动的流函数没有直观的物理意义，无法像二维流动一样直接定义，需要引入多个流函数，相应解多个Poisson方程，计算量很大，并不实用。对于本文的二维问题，该方法就简单易行。2.3建立差分格式2.3.1划分网格方腔驱动流的流动区域很简单，均匀划分为正方形的结构网格即可，存储网格时，x方向使用标号i表示，y方向使用标号j表示，x和y方向的最大网格点标号分别为M和N。对于Re小于等于1000的情况，使用100*100网格，Re大于1000后的情况，使用256*256网格。计算域如图2所示：图2.100*100的均分网格2.3.2建立差分方程由于本题关注的是方腔内部的流动状态，对于压力分布不关心，因此不用建立压力的差分方程。涡量的对流扩散方程(1.6)使用FTCS格式离散得到：(1.10)该差分格式时间方向为1阶精度，空间方向为2阶精度。在(1.10)中，速度分量取的是n时刻的值，已经对方程进行了线性化处理。流函数的Poisson方程中，二阶导数都用中心差分离散：(1.11)这种中心差分可达到二阶精度。2.3.3设定边界条件（1）速度和流函数的边界条件由于沿着壁面是一条流线，所以流函数在边界是常值，可以取为0；速度在边界满足无滑移条件。上边界（）：；下边界（）：；左边界（）：；右边界（）：；（2）涡量的边界条件根据涡量的定义，在上下边界，，所以；在左右边界，，所以。；左边界（）：这里引入了虚拟网格点（-1,j），注意到，所以。同理可得，右边界（）：下边界（）：上边界（）：注意到，所以下面考察构造的这种涡量边界条件的精度：比如对于下边界，流函数的Taylor展开为则对于其他边界的精度推导是类似的。所以构造的这种涡量边界条件很有优势——不仅形式简单，还能有2阶精度。3编程计算3.1程序的结构程序流程图如下图所示：设定速度和流函数的边界条件设定涡量、流函数和速度的初始值主程序开始Cfd_driven.f90.定义变量调用compute_node划分网格，计算节点坐标根据流函数的值更新涡量边界条件，调用函数compute_omiga计算涡量场根据计算出的涡量场，调用函数compute_fai计算流函数场根据计算出的流函数场，调用函数compute_speed计算速度场是否收敛？（根据相邻两次速度场之1-范数）输出结果程序结束是否图3.流程图3.2程序说明时间步长选择0.001，足以满足稳定性条件。1、对于涡量场的计算：根据差分方程该式中，速度分量取的是n时刻的值，已经对方程进行了线性化处理。所以直接使用显示法，一步就可以将求出。（1.12）2、对于流函数场的计算：流函数满足泊松方程，差分形式为：求解时要使用JACOBI迭代，由于，可以写成其中（k+1）表示第k+1次迭代，当时，认为精度达到，退出迭代。将此时的作为n+1时刻的流函数场。3、速度场的求解由于，所以4结果分析图4是Re=100,400,1000,3200,5000,7500,10000时的流线图,每个雷诺数中，上图是本文计算的图，下图是文献1中的结果。与文献中图形进行比较，流线图很相似，计算结果是可信的。从图4中看出，方腔驱动流中，Re=100，400,1000时，只在左右两个下角落出现二次涡，Re=3200时，在靠近顶盖（注意不是在顶盖上）的左边壁面又出现了一个二次涡，Re=7500时，右边的下角落存在两个二次涡,所有二次涡的强度都随着Re增大而增大。中央主涡的中心当Re=100时偏向右上方，随着Re增大逐渐移动到方腔的几何中心上，当Re=3200也就是当左边壁面出现二次涡之后，主涡的中心几乎保持不变。可以预测，当Re接着增大，在现有二次涡的地方会出现更多的二次涡。(a)Re=100(b)Re=400(c)Re=1000(d)Re=3200(e)Re=5000(f)Re=7500(d)Re=1e4（右图出自文献1）图4.不同Re时的流线图图5显示了不同Re数中，在通过方腔几何中心的竖直线上速度u的分布情况，从图5中看出，随着Re增大，边界层越来越薄，Re>5000后，边界层变薄的速率就很小了。高Re数时，方腔中部的速度分布几乎是线性的。Re>3200时，在靠近y=1处，u的分布会出现一个小凸起，这个现象也被之前的文献提到过。图5.不同Re时过方腔几何中心的竖直线上u的分布图6显示了Re=100，400，1000，5000,10000时，文献1中计算出的竖直中心线上u的分布和本文计算的结果，其中，Re=100，400，1000时，本文使用100*100均分网格，文献1使用129*129优化网格；Re=5000和10000时，本文使用257*257均分网格，文献1使用257*257优化网格。可见，当Re比较低的时候，本文的计算是很准确的；当Re增加至5000，即使将网格增加至257*257，仍然存在较大误差，尤其是在靠近y=1顶盖处，因为本文的网格是均分的，即使加密，效果也远远不如文献1中的优化网格。图6.不同Re时竖直中心线上u的分布对比高Re时，计算时间较长，如下表所示。Re100400100032005000750010000CPU时间（s）90166208810940110515095结论本文通过涡量-流函数法对不同雷诺数下的方腔驱动流进行了模拟，得到结论如下：对于方腔驱动流：1、随着Re增加，二次涡逐个出现。2、随着Re增加，主涡的中心逐渐移动到方腔的几何中心，Re>3200后，主涡的位置几乎不变。3、随着Re增加，边界层越来越薄。高Re数时，方腔中部的速度分布几乎是线性的，在靠近y=1处，u的分布会出现一个小凸起。对于本文使用的算法1、Re<3200时，计算结果精良，耗时短。2、由于网格是均分，高Re时计算结果在边界处有较大误差。3、可以改进计算流函数泊松方程时的方法，比如使用共轭梯度法，使得收敛加快，节省计算时间。参考文献：[1]GHIAU,GHIAKN,SHINCT.High-ResolutionsforincompressibleflowusingtheNavier-StokesEquationsandamultigridmethod[J].JComputPhys,1982,48:3872411.后记：本学期学习了李嵩老师开设的计算流体课程，受益颇多。对于计算流体的基本方法和思路有所了解，于是就编写了简单的程序作为大作业。由于第一次大作业的选题过于难，没有做出，跟李老师沟通后，老师非常理解，宽限我一些时间，在此衷心感激老师的理解和宽容，就老师一学期的谆谆教诲表示感谢。