一道课本习题的拓展探究小题不小，规律来找一习题来源如图，AB⊥AC于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC，则△ABP≌△PDC。请说明理由。浙教版八年级《数学》(
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)2.7直角三角形全等的判定课后作业题第2题(第47页)：已知条件：1、一组边相等（AP=PC）2、三个角相等（∠ABP=∠APC=∠PDC=90°）∠A+∠1=90°∠1+∠2=90°∠2+∠C=90°12∠A=∠2,∠C=∠1结论：△ABP≌△PDC从学生熟悉而又简单的问题出发，通过不断演变，逐渐深入研究，不仅有利于消除学生学习的畏难情绪，让学生积极、主动地投入到数学学习中，而且有利于帮助学生全面系统复习已掌握的数学知识、思想和方法，有利于提高学生综合应用解决问题的能力。基本图形的构造与应用条件、结论的互逆变换基本图形的变化拓展结论的延伸与拓展条件的弱化二问题演变如图，AB⊥AC于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC，则△ABP≌△PDC。请说明理由。观察图形猜想AB、BD、CD之间的关系，并证明你的猜想。例1（09四川成都）．已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线L的同侧，分别过这两点作L的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连结AD、AE、DE，且∠AED=90°。（1）如图①，如果AB=6,BC=16,且BE:CE=1:3，求AD的长。（2）如图②，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明。再探究：当A、D分别在直线两侧且AB≠CD，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明。（1）经历观察猜想到验证的解决问题方法；培养学生探究能力与解决问题的能力。（2）让题设条件与图形“动”起来，克服思维定势和图形位置定势，使学生习惯于“开放”与“探究”的思维。E例2：如图，在笔直的公路L的同侧有A、B两个村庄，已知A、B丙村分别到公路的距离AC=3km，BD=4km。现要在公路上建一个汽车站P，使该车站到A、B两村的距离相等，（1）试用直尺和圆规在图中作出点P；（2）若连接AP、BP，测得∠APB=90°，求A村到车站的距离。CDABLP添加应用背景渗透数形结合思想、培养应用数学知识解决问题的能力。例3：（06山东德州）两个全等的含30°、60°角的三角板DEA和三角板ACB如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连结BD，取的BD中点M，连结EM，EC，试判断的△CME形状，并说明理由．ＭＢＣＡＥＤ培养思维的灵活性。如图，AB⊥AC于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC，则△ABP≌△PDC。请说明理由。∽弱化条件“线段相等”则结论由三角形的全等弱化为三角形相似。演变命题1当一个命题成立的条件较为丰富时，可考虑减少其中一两个条件，或将其中一两个条件一般化，并确定相应的命题结论，从而加工概括成新的命题以求拓展应用。例4：（07山东）如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）为两动点，其中0
分析
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问题能力、处理实际问题能力和应变能力。如图，△ABC和△CDE中，点D在边BC的延长线上，AC=CE，∠ACE=∠B=∠D，则△ABC≌△CDE。弱化条件“直角”，则“全等三角形”结论仍然成立。演变命题2=90°例5：△ABC为等边三角形，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且△DEF也为等边三角形。（1）在图中找到除等边三角形边长相等的线段，证明你的结论。（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变换相互得到？写出变换过程。如图，△ABC和△CDE中，点D在边BC的延长线上，AC=CE，∠ACE=∠B=∠D，则△ABC≌△CDE。∽同时弱化条件“线段相等”、“直角”，则结论由三角形的全等弱化为三角形相似。演变命题3=90°例7：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=AD=6，∠ABC＝60°，点E，F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），且∠BEF＝120°，设AE=x，DF=y（1）求y与x的函数解析式（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？ＡＥＤＦＣＢ充分运用数形结合和建立函数模型求最值问题∠ACE=∠B=∠D=90°△ABP∽△PDCAP=CP∠B=∠APC=∠D△ABP≌△PDC∠ACE=∠B=∠DAP=CP∠B=∠APC=∠D=90°△ABP≌△PDC△ABP∽△PDC无论如何变换，本质是三个角相等，应用三角形相似（全等）来解决。从图形运动中找出规律，转化为一般的几何证明问题，探究解决新问题的策略。例4（06江西）某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：1、如图（1），在等边△ABC中，M，N分别是AC，AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°，则BM=CN；2、如图（2），在正方形ABCD中，M，N分别是CD，AD上的点，BM与CN相交与点O，∠BON=90°，则BM=CN；3、如图（3），在正五边行ABCDE中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN。任务要求1、请你从1，2，3三个命题中选择一个进行证明；2、请你继续完成下面的探索；试在图（3）中画出一条与CD相等的线段DH，使点H在正五边行的边上，且与CN相交所成的角是108，这样的线段有几条？如图（4），在正五边行ABCDE中。M，N分别是DE，EA上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，请问结论BM=CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，试说明。几何综合性问题通常是由若干个基本问题组合而成，其图形也是由若干个基本图形组合而成，因而，学生不仅要具备必需的图形的分解能力，同时，还应具备必需的辅助线构造基本图形的技能。例7：如图21，∠MON=90°，MON的内部有一个正方形AOCD，点A，C分别在射线OM，ON上，点B在ON上的任意一点，在∠MON的内部作正方形AB1C1D1。连接DD1，求证：∠ADD1=90°连接CC1，猜一猜，∠C1CN的度数？并证明你的结论。ON上任取一点B2，以AB2为边。在∠MON的内部作出正方形AB2C2D2，观察图形，并结合（1），（2）的结论，请你再作出一个合理的判断。D添加辅助线构造基本图形来解决问题的能力HI具有较强代
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性和典型性的习题是数学问题的精华，教学不要忽视了这些小题，要善于“借题发挥”，进行一题多解，一题多变，多题组合，引导学生去探索数学问题的规律性和方法，以达到“做一题、通一类、会一片”的教学效果，让学生走出题海战术，真正做到轻负高质，这对激发学生学习的兴趣，培养学生的创造性思维，创新能力，数学素质，都将起作积极的推动作用。三、感悟与反思
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