一般数列求前n项和

第三十五讲一般数列求前n项和教材知识整合回归教材数列的求和方法有:1.公式法:若数列为等差数列或等比数列,利用等差或等比数列的前n项和公式,特别地,直接用等比数列的公式求和时,要注意对公比q分q=1和q≠1两种情况进行讨论.2.倒序相加法:如果一个数列{an}与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和.可采用把正着写和倒着写的两个式子相加,就得到一个常数列的和,进而求出数列的前n项和.3.错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成,此时可把式子Sn=a1+a2+…+an,两边同乘以公比q,两式错位相减整理可得Sn.4.拆项求和法:把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合,使其转化成等差数列或等比数列,然后由等差､等比数列求和公式求解.6.分组求和:在求数列的前n项和时,如果一个数列的项是正负交错,或周期数列求和,可以将相邻的两项或几项合并,周期数列先求一个周期的和,再利用其它相关方法进行求和.基础自测1.等比数列{an}中,a1=2,前n项和为Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则Sn等于()A.2n+1-2B.3nC.2nD.3n-1解析:{an}是等比数列,{an+1}也是等比数列,设数列{an}的公比为q,则a2=2q,a3=2q2,且(2q+1)2=(2+1)(2q2+1),解得q=1,故Sn=2n.答案:C2.各项均不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若an+1-+an-1=0(n≥2),则S2n-1-4n等于()A.-2B.0C.1D.2解析:∵{an}是等差数列,∴2an=an+1+an-1(n≥2),∴2an-=0,∵各项均不为0,∴an=2,∴S2n-1-4n=2(2n-1)-4n=-2.答案:A答案:B答案:B答案:B重点难点突破题型一公式法【例1】(2010·福州高三质检)已知等差数列{an}满足a2=2,a5=8.(1)求数列{an}的通项公式和它的前n项和Sn;(2)设各项均为正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn,若b3=a3,T3=7,求Tn.[解](1)设等差数列的公差为d,∵a2=2,a5=8,∴d==2,a1=0,∴an=2n-2,Sn==n(n-1).(2)设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q(q>0).由(1)可知a3=4,∴b3=4,又∵T3=7,[点评]对于等差数列和等比数列求和,可直接利用它们的求和公式,但利用等比数列求和公式求和时需注意公比q是否为1.变式1:设等差数列{an}的前n项和Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,已知a1=b1=1,a2b2=1,S3T3=13,求Sn和Tn.解:设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,由a2b2=1,S3T3=13,题型二并项法【例2】已知数列{an}满足递推公式an-an-1=2n-1(n≥2),且a1=1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=(-1)nan,求数列{bn}的前n项和为Tn.[解](1)由an-an-1=2n-1(n≥2),可得a2-a1=3,a3-a2=5,…,an-an-1=2n-1,上面n-1个式子累加得an-a1==n2-1,∵a1=1,an=n2.(2)bn=(-1)nn2,Tn=-1+22-32+42+…+(-1)nn2,当n为偶数时,Tn=(-1+22)+(-32+42)+…+[-(n-1)2+n2]=1+2+3+4+…+(n-1)+n=当n为奇数时,Tn=Tn-1-n2=综上所述,Tn=(-1)n·变式2:已知数列{an}的前n项和Sn=2n-1,bn=(-1)nlog2an+1,求数列{bn}的前n项和为Tn.解:∵Sn=2n-1,∴an+1=Sn+1-Sn=(2n+1-1)-(2n-1)=2n,bn=(-1)n·log2an+1=(-1)n·n,Tn=-1+2-3+4+…+(-1)nn,当n为偶数时,Tn=(-1+2)+(-3+4)+…+(n-1+n)=题型三错位相减法【例3】(2009·福建福州八中模拟)已知数列{an}中,a1=1,a2=3,且2an+1=an+2+an(n∈N+),数列{bn}的前n项和为Sn,其中b1=,bn+1=Sn,(n∈N+).(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)若Tn=求Tn的表达式.设T=3×30+5×31+…+(2n-1)·3n-2,则3T=3×31+5×32+…+(2n-3)·3n-2+(2n-1)·3n-1,∴-2T=3×30+2(31+32+…+3n-2)-(2n-1)·3n-1=3+2·-(2n-1)·3n-1=3-3+3n-1-(2n-1)·3n-1=(2-2n)·3n-1.[点评]对于等差×等比的类型求前n项和时,主要应用错位相减,由于此题{bn}为分段的形式,故求数列的前n项和时应分情况讨论.变式3:(2010·山东潍坊高三教学质量抽样监测)已知数列{an}是首项a1=1的等比数列,且an>0,{bn}是首项为1的等差数列,又a5+b3=21,a3+b5=13.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列的前n项和Sn.解:(1)设数列{an}的公比为q,数列{bn}的公差为d,由已知得解得d=2,q=2或q=-2(舍去),∴an=2n-1,bn=2n-1.题型四裂项相消法[点评]如果数列的通项公式可转化为f(n+1)-f(n)的形式,常采用裂项相消法求和,特别地,当数列形如且数列{an}为等差数列时,可用此法.注意使用裂项相消时一定要找好规律,看清消去了哪些项,保留了哪些项,实际上,裂项相消前后对称,即前后剩余的项一样多,在解题时要抓住这一特点.变式4:已知数列{an}中,a1=3,a2=5,其前n项和Sn满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3),令bn=(1)求数列{an}的通项公式;(2)若f(x)=2x-1,求证:b1f(1)+b2f(2)+…+bnf(n)<(n∈N*).解:(1)由Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3),可得(Sn-Sn-1)-(Sn-1-Sn-2)=2n-1(n≥3),∴an-an-1=2n-1(n≥3),∴an-a2=(22+23+24+…+2n-1),∴an-a2=2n-4,∴an=2n+1(n≥2),经检验,a1=3满足an=2n+1,∴an=2n+1.题型五倒序相加法[点评]如果一个数列中与首末两端“距离”相等的两项之和均等于首末两项之和,可利用倒序相加的方法求其前n项和.答案:C解题方法拾遗[点评]数列求和时,首先考虑能否直接应用等差､等比数列的求和公式,若不能,可从第n项入手,得到an的表达式,再进一步考虑能否转化(通过拆项､并项等)为等差或等比数列再用公式求和,这是重要的求和思路.考向精测答案:C2.(2010·山东)已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;(2)令bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,因为a3=7,a5+a7=26,所以有解得a1=3,d=2,所以an=3+2(n-1)=2n+1;Sn=3n+×2=n2+2n.教师备课资源1.(2010·安徽皖南八校高三第三次联考)设等差数列{an}的公差为d(d>0),且满足a2a5=55,a4+a6=22.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}的前n项和为an,数列{bn}和数列{cn}满足:bn=,求数列{cn}的前n项和Sn.解:(1)∵{an}是等差数列,∴a4+a6=2a5=22,∴a5=11,∵a2a5=55,∴a2=5,∴d=∴an=a2+(n-2)d=2n+1.从而当n≥2时,Sn=6+23+24+…+2n+1=2n+2-2,当n=1时,S1=6也满足上式,Sn=2n+2-2.2.(2010·山东潍坊市高三质量监测)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,满足(p-1)Sn=p2-an,其中p为正常数,且p≠1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=(n∈N*),数列{bnbn+2}的前n项和为Tn,求证:Tn<(2)∵bn=,∴bn=n·3n.∴Sn=3+2×32+3×33+…+n3n,③∴3Sn=32+2×33+3×34+…+n3n+1.④④-③得2Sn=n3n+1-(3+32+33+…+3n).即2Sn=n3n+1-∴Sn=