二次函数复习
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第1页，共29页。二次函数二次函数的概念定义一般形式y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)自变量的取值范围全体实数图象一条抛物线解析式形式一般式y=ax2+bx+c(a≠0)顶点式y=a(x-h)2+k交点式y=a(x-x1)(x-x2)y=ax2+bx+c(a≠0)性质六点、一轴、一方及增减性与最值二次函数与一元二次方程的关系抛物线与x轴交点的横坐标就是其对应一元二次方程的根二次函数的应用知识网络第2页，共29页。专题一二次函数的定义及基本性质解析（1）根据定义可知m2+5m+8=2且m+2≠0;(2)在（1）的基础上根据a的符号再作确定；（3）判断抛物线的增减性要结合开口方向及对称轴.专题复习例1已知函数是关于x的二次数.(1)求满足条件的m的值，并写出解析式；（2）抛物线有最高点和最低点吗？二次函数有最大值还是最小值？最值是多少？（3）当x为何值时y随x的增大而减小？第3页，共29页。解：（1）由题意得解得∴满足条件的m=-3,这时二次函数的解析式为y=-x2+3.(2)抛物线y=-x2+3有最高点，该二次函数有最大值，最大值是3.(3)当x>0时，y随x的增大而减小.xyOy=-x2+3配套训练1.抛物线y=(x-2)2+2的顶点坐标是（）A.(-2,2)B.(2,-2)C.(2,2)D.(-2,-2)2.已知二次函数y=x2-x+c的顶点在x轴上，则c=.3.二次函数y=x2+bx+3的对称轴是直线x=2，则b=_______.C-4第4页，共29页。函数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)图象a>0a<0性质开口向上，并向上无限延伸向下，并向下无限延伸对称轴直线顶点增减性当时y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.当时y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.最值yxOxOy第5页，共29页。专题二二次函数图象的对称性例2抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点是（-1，0），（3，0），则这条抛物线的对称轴为_________.解析抛物线与x轴的两个交点是一对对称点.其实只要抛物线上两点（x1，y0）、(x2，y0)的纵坐标相等，这两点就是一对d对关于抛物线对称轴对称的对称点.对称轴
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是直线,因此这条抛物线的对称轴是直线.直线x=1第6页，共29页。配套训练1.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…-10123…y…105212…则①抛物线的对称轴是；②当y<5时，x的取值范围是.③在此抛物线上有两点A(3，y1)，B(4.5，y2)，试比较y1和y2的大小：y1________y2(填“＞”“＜”或“＝”).直线x=20
0时，x的取值范围是.yx1-13-10；③abc＞0；④当y＜0时，x＜-1或x＞3．其中正确的是（）A.①②B.①③C.①④D.②③x1BCA-1Oyx=1C第11页，共29页。解析①2a＋b＝0,想到对称轴,得b=-2a,故2a＋b＝0正确；②4a－2b＋c>0，想到当x=-2时结合图象可知y<0,故4a－2b＋c>0不正确；③abc＞0，由图象可知a<0,对称轴在y轴的右侧，根据“左同右异”，则b>0,又易知c>0,故abc＞0不正确；④当y＜0时，x＜-1或x＞3，根据对称性可知A点的坐标是（2，0），结合图象可知当y＜0时，x＜-1或x＞3，故正确，所以选C.知识点复习抛物线y=ax2+bx+c中的符号问题:①a的符号决定开口方向；②a、b的符号共同决定对称轴的位置，“左同右异”；③c的符号决定抛物线与y轴的交点位置.第12页，共29页。配套训练1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，有下列结论：①b2-4ac>0;②abc<0;③m>2.其中正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.3x2OyD第13页，共29页。配套训练2.如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax+a（a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）xOyAOxyBxOyCxOyDA第14页，共29页。专题五二次函数与一元二次方程的关系例5结合二次函数y=ax2+bx+c图象，解答下列问题：①写出方程ax2+bx+c=0的根；②写出不等式ax2+bx+c>0的解集；③写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；④若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围.x4Oy-13解析本题结合图象从中发现信息进行解题.第15页，共29页。解：（1）由图象可知，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（-1,0），（3,0）两点.∴方程的根为x1=-1，x2=3；（2）由图象可知当-11;(4)要使得有ax2+bx+c=k两个不相等的实数根，即直线x=k与二次函数图象有两个交点，∴k的取值范围为k<5.第16页，共29页。配套训练已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c-8=0的根的情况是（）A.有两个不相等的正实数根B.有两个异号实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根x8OyC第17页，共29页。专题六待定系数法求二次函数的解析式x4Oy-13例6你能求出图中抛物线的解析式吗？解析图象中提供了我们解题的很多信息，如可知道抛物线与x轴的两个交点坐标是（-1，0）和（3，0），还可以知道对称轴是直线x=2及顶点坐标是(1,4).你有几种方法可以求这条抛物线的解析式，你最喜欢哪一种？第18页，共29页。解：设抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k.由图象可知抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴相交于点（-1,0），（3,0），顶点坐标为（1,4），∴有y=a（x-1）2+4，代入（-1,0）.∴a（-1-1）2+4=0，∴a=-1，∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4.第19页，共29页。方法提示知道顶点坐标，通常设顶点式y=a(x-h)2+k;知道抛物线与x轴的两个交点坐标，通常设交点式y=a(x-x1)(x-x2);知道抛物线上的三点坐标，可选用一般式y=ax2+bx+c,三种情况都可以时选用最熟悉的方法.配套训练已知二次函数当x=1时，有最大值－6，且其图象过点(2，－8)，则二次函数的解析式是.y=-2(x-1)2-6第20页，共29页。专题七综合应用—呈抛物线形状实物的几何探究例7跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看为抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，丙、丁同学分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、2.5米处，绳子甩到最高处，刚好通过他们的头顶，已知丙同学的身高是1.5米.（1）请你算一算丁同学的身高.1m甲乙丁丙2.5m4m1m(0,1)(4,1)(1,1.5)第21页，共29页。解得：，所以抛物线解析式为当x=2.5时，y=1.625.所以丁同学的身高为1.625米.1m甲乙丁丙2.5m4m1m解:如图建立平面直角坐标系，可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+1点（1,1.5）、（4,1）在抛物线上，得xOy(0,1)(4,1)(1,1.5)第22页，共29页。（2）如果身高为1.5米的丙同学站在甲、乙同学之间,且离甲同学的距离为s米,要使绳子甩到最高处时超过他的头顶,请结合图像,直接写出s的取值范围.1m甲乙丁丙2.5m4m1m10,b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=ax2+bx+c的是（）xOyAxOyBxOyCxOyDA课后训练第25页，共29页。3.将二次函数y=2x2-1的图象沿y轴向上平移2个单位，所得到的图象的函数解析式是.y=2x2+14.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(3,6)和(-1,6),则对称轴为.直线x=1第26页，共29页。5.如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（-3，0）两点，与y轴交于点C（0,3）.（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.y=-x2-2x+3Q（-1，2）xOyACB图1xOyACB图2Q第27页，共29页。解：（1）由题设，将A（1，0）、B（-3，0）、C（0,3）代入y=ax2+bx+c，∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；第28页，共29页。（2）存在，理由如下：作点C关于抛物线对称轴直线x=-1的对称点C’，由抛物线的性质可知点C‘在抛物线上，点C’的坐标是（-2,3），连接点C’A交抛物线的对称轴直线x=-1与点Q，点Q即为所求.设直线C‘A的解析式为y=kx+m，代入（-2,3）和（0，1）可得k=-1，m=1.所以Q的坐标为（-1,2）；xOyACB图2QC’第29页，共29页。
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