习题8解

习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 八 假设检验 8.1 判断下列“假设H”所属的类型： (1) 服从正态分布，H： ． (2) 服从指数分布，H： ． (3) 服从二项分布，H： ． (4) 服从泊松分布，H： ． (5) 服从 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正态分布． (6) 服从0-1分布． 解 （1），（2），（3）是参数假设，复合假设；（4）是参数假设，简单假设；（5）是非参数假设，简单假设；（6）是复合假设，形式上是非参数假设，但是其分布可以用有限个参数表示为 ； 当 已知时 是简单假设，当 未知时 是复合假设． 8.2关于正态总体 的数学期望有如下二者必居其一的假设， : =0和 : =1．考虑检验规则：当 时否定假设 接受 ，其中 是来自总体X的简单随机样本 的样本均值．试求检验的两类错误概率 ． 解 易见，在假设“ ： =0”成立的条件下， ；在假设“ ： =1”成立的条件下， ．因此，有 8.3 关于泊松随机质点流的强度 (每分钟出现的随机质点的期望数) 有两个二者必居其一的假设， ： =0.5和 ： =1．以 表示十分钟出现的随机质点数．设检验规则为：当 >7时否定 接受 ，求检验的第一类错误概率 和检验的第二类错误概率 (只要求写出表达式) ． 解 由于 服从参数为10 的泊松分布，可见 8.4 假定总体 ，关于总体 的数学期望 的假设 ；基于来自总体X的容量为9的简单随机样本，得样本均值 ．求假设H0的水平0.05的否定域． 解 在已知 =1的情况下，假设 的检验的统计量 ． 因此假设H0的水平 =0.05的否定域为 ． 8.5* 关于6台计算机有两个假设， ：最多两台受到病毒侵袭．考虑检验规则：任意选两台进行检查，只要发现一台有病毒就否定 ，试求各种情形下的检验的两类错误概率． 解 设 是六台计算机中有病毒的台数； 是随意（非还原）选出的两台中有病毒的台数； ={0,1,2}， ={3,4,5,6}；则 ， (都是复合假设)； 是 的否定域，而 ．记 ，表示第一类错误概率；而 表示第二类错误概率．因此，有 将计算结果列在下面的表中． 练习题10-2计算表 假 设 有 病 毒 台 数 0 1 2 3 4 5 6 第一类错误概率 0 1/3 3/5 — 第二类错误概率 — 1/5 1/15 0 0 8.6 总体 是来自总体 的简单随机样本，设 是样本均值，记 ，其中 是已知常数．记 ， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 (1) 对于假设 ，以 做否定域的检验的第一类错误概率等于0.025； (2) 对于假设 ，以 做否定域的检验的第一类错误概率小于0.025． 证明 (1) 易见，对于假设 ，统计量 ． 因此，第一类错误概率 ． (2) 易见，对于假设 ，统计量 其中 ．因此，当假设 成立时，有 即第一类错误概率小于0.025． 8.7 根据 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 要求，一种零件内径的标准差不得超过0.30毫米．自一批产品中随意抽取了25件，测得其内径的标准差为0.36 mm．问抽验结果能否说明这批零件内径的标准差显著地增大了？ 解 由条件知，样本容量 ，样本标准差 ．记未知内径的标准差为 ，而 ，则需要检验假设 ．检验的统计量为 ； 由自由度为24的 分布上侧分位数表（附表5），查出水平相应为0.05和0.10的两个分位数 ．由于33.196<34.56<36.415，可见在水平0.10下内径的标准差显著地增大了，在水平0.05下不显著． 8.8 两家实验室用同一方法各对某种不锈钢制品的8份试样作含碳量分析，得如下数据： 实验室甲： 0.18 0.12 0.08 0.19 0.13 0.32 0.27 0.22 实验室乙： 0.11 0.28 0.24 0.31 0.46 0.14 0.34 0.30 试利用统计检验说明， (1) 两家实验室分析结果的标准差是否相同； (2) 两家实验室分析结果的平均水平是否相同． 解 设两家实验室分析结果 ，问题要求检验假设 ． 由所给统计数据，得样本均值和样本方差： ． (1) 检验 ，使用 检验，检验的统计量为 ． 查 分布上侧分位数表（附表6.6），得自由度（7,7）和水平0.05的 分布上侧分位数 ，以及水平0.95的 分布上侧分位数 ；由于统计量 ，且0.26<0.53<3.79，然而 ， 因此可以认为假设 成立，即 ． (2) 检验假设 ，由于 ，可以使用 检验．两个总体的联合样本方差 和检验的统计量 分别为 因为统计量 =1.555，而由 分布的双侧分位数表可见 ， 故在水平0.20下可以否定假设 ，但是在水平0.10下不能否定假设 ．因此，认为两家实验室分析结果的平均水平相同有些勉强． 8.9 由同一台机床加工同一种零件，每周更换一次刀具．现在从周一和周末产品的中各随意抽取了若干件，测定零件的内径，得如下数据（单位：mm）： 周一产品：11.35 11.33 11.21 11.18 11.22 11.36 周末产品：11.08 11.38 11.10 11.20 11.02 11.42 11.36 11.25 假设批量生产的零件的内径服从正态分布律，而且刀具的磨损是引起加工精度变化的惟一原因．试通过统计检验说明，周末产品的精度是否比周一明显降低了．（取显著性水平 ） 解 分别以 和 表示周一和周末产品的内径，则根据条件 ．问题的要求检验假设 ，而备选假设为 ．两个样本的容量分别为 ， ；经计算可得 ， ．检验的统计量 ， 其分子和分母自由度7和5；由 分布水平0.10上侧分位数表查得 =3.37，可见假设 的否定域为 ，现在 ，因此不能否定假设 ，从而可以认为加工精度无显著变化． 8.10 为校正一普通天平，将在该天平上称量的质量为100 mg 的试样，分别在标准分析天平上进行称量，的如下数据： 99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 102.1 100.5 假设称量结果服从正态分布律，问普通天平的称量结果与标准天平有无显著差异？ 解 以 表示标准天平的称量结果，则根据题设 ，要求检验假设 ， 采用 检验．这里，样本容量 ，样本均值 ，样本标准差 ；检验统计量 ． 统计量 服从自由度为 的 分布；因为统计量 =0.00495，而由 分布的双侧分位数表可见自由度为8的 分布水平 双侧分位数为0.262，而统计量 ，可见差异极不显著． 8.11 对某种食品的质量管理标准规定：每袋平均净重500 g，标准差不大于10 g．现在从要出厂的一批这种袋装食品中随意抽取了14袋，测量每袋的净重，得如下数据：500.90，490.01，501.63，500.73，515.87，511.85，498.39，514.23，487.96，525.01，509.37，509.43，488.46，497.15．假设这种食品每袋的重量 服从正态分布 ．试在显著性水平 =0.05下，检验这一批食品每袋平均净重 和标准差 是否符合标准． 解 问题的要求检验假设 和假设 ．样本容量给 14；经计算可得 =503.64， =11.11， =123.43． (1) 检验假设 ，属于表8.3中的情形1，用 检验，有 =1.23． 由表8.3知 的否定域为V= ．由（6.27）式知统计量 自由度为 =13的 分布．将n=14， =503.64，S=11.11代如上式，得 =1.23．由附表4查出自由度为13的 分布水平 ＝0.20和 ＝0.30的双侧分位数： =1.350 和 =1.079．可见检验的水平p满足：0.202.131，故应否定假设 ．于是，两种棉纱的抗拉强度在水平0.05下差异显著，因此可以认为棉花品种A比品种B明显地好．但是，由于t=2.94<2.947= ，可见在水平0.01下差异并不显著． 8.14 为比较用两种工艺生产的橡胶制品A和B的耐磨性能指标 和 ，从两种产品中各随意抽取了若干件，测得如下数据： X：185.82，175.10，217.30，213.86，198.40，224.61 Y：142.10，129.89，150.60，144.82，111.50，119.96 假设 和 都服从正态分布，问抽测结果能否说明制品A耐磨性明显高于制品B． 解 设 ．基于分别来自 和 的容量皆为 6的样本，经计算，得 ． (1) 首先检验假设 ．利用 检验，检验的水平 =0.05否定域为 ， 其中 ； ． 因为统计量F的值1.61介于0.14与7.15之间，所以应认为假设 成立，从而可以利用检验比较两个均值 和 ． (2) 检验假设 ．利用 检验，检验的水平 =0.0005否定域为 ， 其中统计量 ． 由于统计量的值6.84>4.318，可见应否定假设，说明制品A耐磨性明显高于制品B，显著性水平小于0.0005． 8.15 假设一家纺织厂拟向甲、乙两家纱厂购买一批棉纱，为此抽取了一定容量的样本，并测量棉纱的抗拉力强度，得如下表的数据： 样 本 甲 厂 乙 厂 容量 均值 方差 8 =97 =25 10 =104 =9 假设甲、乙两厂棉纱的抗拉力强度 ．问乙厂产品的平均的抗拉力强度是否明显高于甲厂产品？ 解 显然可以认为 和 相互独立，其联合样本方差 ． (1) 首先检验假设 ，使用统计量 ， 其自由度为（7,9）．由附表6查得 ， ．由于 =2.78，而0.27<2.78<3.29，可见两个正态总体的方差 和 差异在水平0.10下不显著，因此可以利用t检验检定假设 ． (2) 现在检验假设 ，使用统计量 ． 假设 的水平0.25否定域是 ；由于统计量 的值 ，因此不能否定 ，于是，认为“乙厂产品的平均的抗拉力强度是否明显高于甲厂产品”的理由不充分． 8.16 甲、乙两所中学同一年级分别随机抽取40名和50名学生，进行外语考试．甲校学生的平均成绩为74分，标准差为8分；乙校学生的平均成绩为78分，标准差为7分．假设考试成绩服从正态分布，问乙校学生的外语考试成绩是否显著高于甲校？（ 0.05） 解 以X表示甲校的考试成绩，Y表示乙校的考试成绩，则 ， ．由于总体方差 和 未知，应先对方差进行检验，只有在总体方差 和 相等时，才能对其均值进行检验． (1) 先考虑假设 ．这里样本容量 ， ．对给定的显著性水平 0.05，查表得 分布的两个分位数（附表6）： 所以假设 的否定域为 ．由已经知 ， ，则 ． 由于 ，所以不能否定假设 ，可以认为两个总体的方差相等． (2) 再考虑假设 ．根据以上检验知两总体方差相等，故可以使用t检验．对给定的显著性水平0.05，由附表4查得自由度为 的水平2 0.10双侧分位数 ．所以假设 的否定域为 ．联合样本方差 ； 检验的统计量 ． 由于 ，所以否定假设 ，即认为乙校学生的外语考试成绩显著高于甲校． 8.17 为鉴定两架光测高温计的测定结果有无差异，设计了一个试验：用两架高温计对10组热炽灯丝的每一组分别进行了测定，得如下数据： No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X Y 1050 825 918 1183 1200 980 1258 1308 1420 1550 1072 820 936 1185 1211 1002 1254 1330 1425 1545 其中X和Y分别表示用第一和第二架高温计测定的结果．试根据所得数据，说明两架高温计的测定结果有无显著差异．（取显著性水平＝0.05．） 解 假设测定结果服从正态分布： ．注意，这里两架高温计的测定结果有可能不独立，故不宜用上面两题的方法检验假设 ．表中的数据可以视为“配对样本”（见例8.14）． 设 ，则 ．假设H0: 的等价于假设 ．由来自X和Y的样本，得来自 的样本（下表中最末行）： 题8.15计算表 编 号 No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X Y 1050 825 918 1183 1200 980 1258 1308 1420 1550 1072 820 936 1185 1211 1002 1254 1330 1425 1545 －22 5 －18 －2 －11 －22 4 －22 －5 5 于是，问题转化为一个正态总体均值的检验问题．假设H0的否定域为 ．表6.2的最末一行数据，可以视为来自总体Z的简单随机样本值．经计算得： ＝－8.8， ＝11.63；统计量 ； 由附表4查得 ．由于 2.39>2.36，故应否定 ，认为两架高温计的测定结果有显著差异． 8.18 有9名运动员进业余体校接受体能训练．下面表中是他们在入校时和一周后体能测试的得分： 运动员No．k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 入学时得分Xk 76 71 57 49 70 69 22 65 59 训练后得分Yk 81 85 52 52 70 63 33 83 62 Ｚk =Xk－Yk －5 －14 5 －3 0 6 －7 －18 －3 假设得分服从正态分布律，试在水平 下，判断运动员的体能训练效果是否显著？ 解 分别以X和Y表示训练前后的得分．X和Y显然不独立．因此不能用上一题的方法处理，考虑随机变量 ．由条件知 服从正态分布．问题可以归结为假设 或 的检验：若假设 被否定，则说明训练效果显著．假设 或 的检验，可以化为 的检验，使用t检验．数据表中的最末一行可以视为“来自总体Z的简单随机样本值”，样本容量为n =9．检验的统计量为 ， 将样本均值 =－4.333和样本方差S=7.937代入上式，得统计量得 ． 对于自由度n－1=8，由附表3查出分布的双侧分位数 ，可见假设 的水平0.10否定域为 ．由于统计量t的值 ，可见不能否定假设 ，从而说明训练效果不显著． 8.19 一般情况下，某火车站停车场平均每辆车的停放时间为40分钟．今天统计了60辆汽车的停放时间，测得平均停放时间为45分钟，标准差为20分钟．问能否说明今天每辆汽车的平均停放时间比一般显著偏长？ 解 设 是每辆车的停放时间．这里，并不假定 服从正态分布，但由于样本容量60充分大，可以用近似的 检验：对于充分大的样本容量 ，在 成立的前提下近似地 ． 需要检验假设 ．在显著性水平 下，当 时否定假设 ． 由题的条件 ，计算统计量的值，得 1.94．因为 ，所以在水平 0.05下应否定假设 ，从而可以认为当天的平均停放时间比一般显著偏长． 8.20 某工厂的经验表明，在接到该厂产品广告的客户中，实际订购产品者占8%．现该厂用一种新形式向1000家客户发出广告，结果有100家订购了产品．问新形式的广告比原来的广告效果是否显著提高了？（α= 0.05）（6.34） 解 问题可归结为假设 的检验．设 表示接到广告后订购产品的客户数，则 服从二项分布．由于 充分大，可用正态分布公式近似．对给定的显著性水平0.05，查表得 ，于是假设 的否定域为 ． 由 , ，因此检验统计量 ． 由于 ，故否定假设 ，即认为新广告比原广告的效果显著提高了． （B） 8.21 检验的显著性水平是 (A) 第一类错误概率． (B) 第一类错误概率的上界． (C) 第二类错误概率． (D) 第二类错误概率的上界． [ ] 解 应选（B）．构造显著性检验的否定域，一般依据的是所谓“小概率原则”：指定一个可以认为是“充分小”的数 （0< <1）, 并且认为概率不大于 的事件 是“实际不可能事件”，即认为这样的事件在一次试验或观测中实际上不会出现．对于只控制第一类错误概率的显著性检验，小概率原则中的所规定的第一类错误概率上界 就是检验的显著性水平．因此应当选（B）． 8.22 考虑正态总体 和 ．设 和 是分别来自 和 的简单随机样本，样本均值分别为 和 ， 和 相应为样本方差，则检验假设 (A) 使用 检验． (B) 要求 ． (C) 使用 检验． (D) 要求 ． [ ] 解 应选（C）．方差 和 的比较，基于样本方差 和 的比较，其比值就是统计量 ．因此检验假设 使用 检验．此外， 检验用于一个正态总体的方差和给定标准值的检验，不能处理假设 的检验；假设 的检验也不要求（B）和（D）成立． 8.23 考虑正态总体 和 相互独立，其中4个分布参数都未知．设 和 是分别来自 和 的简单随机样本，样本均值分别为 和 ，样本方差相应为 和 ，则检验假设H0： 使用 检验的前提条件是 (A) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ． (B) ． (C) = ． (D) ． [ ] 解 应该选（C）．因为 检验使用统计量 ， 其中 是两个总体的联合样本方差： ． 只有当选项（C）即 = 成立时才能导出统计量 的抽样分布—— 分布，并且根据 分布来构造 检验． 8.24 假定总体 ，关于总体 的数学期望 有如下假设： ，其中 是已知常数； 是来自总体X的简单随机样本， 是样本均值， 是样本方差， 是二阶样本中心矩（即未修正样本方差），则假设 的 检验使用统计量 (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． [ ] 解 应该选（D）．一个正态总体的数学期望 与给定值 的比较，在总体方差 未知的情形下，使用 检验；在假设 成立的条件下检验的统计量应服从 分布． 由于 都包含未知参数 ，所以根本不是统计量，因此不能用来进行统计检验，故选项（A）和（C）都应排除．对于样本标准差 ，熟知在假设 成立的条件下，即当总体 时，统计量 服从自由度为 的 分布，由此可见统计量 不可能服从 分布，从而选项（B）也是错误选项． 于是，只有（D）是正确选项．事实上，统计量 可以写成 其中 服从自由度为 的 分布；此外，由于正态总体的样本均值和样本方差相互独立，知 相互独立．因而由服从 分布的随机变量的典型模式，可见统计量 服从自由度为 的 分布．于是，（D）是正确选项． 8.25 假定总体 ，关于总体X的方差 有如下假设： ，其中 是已知常数； 是来自总体X的简单随机样本， 是样本方差， 是二阶样本中心矩（即未修正样本方差）；则假设 的 检验可以使用统计量 (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． [ ] 解 应该选（B）．由正态总体的抽样分布，对于样本方差 ，统计量 服从自由度为 的 分布，并且利用统计量 来构造假设： 的否定域．由于 ， 可见假设 的 检验可以使用统计量 ，因此（B）是正确选项，而（D）是错误选项． 由于 和 都含未知参数，因此根本不是统计量，所以（A），（C）和（D）都是错误选项，只有（B）是正确选项． 8.26 将一枚硬币重复掷 500次，结果正面出现了225次，问在水平0.05下是否可以认为次硬币均匀对称？ 解 以 表示第 次掷正面出现的次数（0或1），以 表示其算术平均值，以 表示每次掷硬币出现正面的概率，．问题要求检验假设： ． 根据试验结果 ．在此假设下 ． 根据棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，统计量 近似地服从 ；将 代入上式，的统计量 ；熟知 水平0.05双侧分位数 ．假设 的水平0.05否定域为 ，故由 ， 可见应否定 ，说明可以认为此硬币不均匀对称． 8.27 假设有两个相互独立的正态总体 和Y~ 为已知常数； 和 分别为来自总体 和 的简单随机样本； 和 与 和 ，相应为样本均值与样本方差； 是联合样本方差．证明， (1) 对于任意已知常数 ，统计量 服从自由度为 的 分布； (2) 设 ，求下列各假设的否定域： ． 解 由条件知 和 ，因此 ， 则 其中 服从自由度为 的 分布．于是，由服从 分布的随机变量的典型模式知，统计量 服从自由度为 的 分布． (2) 由表8.3可见，假设 的水平 否定域相应为 ． 8.28 在某高校新生名单中随意抽选了200人，其中80人来自农村．以p表示来自农村的新生的比率．问在显著性水平0.05下是否可以认为p不超过35％． 解 由于n=200充分大，可以利用正态分布进行近似计算．需要检验假设H0： ＝0.35．检验的统计量 表示随意抽选的200名新生中来自农村者的人数；，则根据棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理， 近似地服从正态分布 ，其中 ，即近似地 因此 的水平近似0.05的否定域为 ， 其中由标准正态分布双侧分位数表（附表2）可以查出 ．由于 ，可见 ，故在水平0.05下应否定 ，而在水平0.10下不能否定 ，即在水平0.05下不能认为来自农村的新生的比率p超过35％，而在水平0.10下可以． 8.29 某城市为比较两个城区居民家庭的人均收入，进行抽样调查: 在甲区调查的250户中，有90户人均收入低于全市人均收入水平；在乙区调查的150户中，有5１户人均收入水平低于全市平均水平．试利用统计检验说明，两区户人均收入水平低于全市人均收入水平的情况有无显著差异． 解 设 ——甲区户人均收入水平低于全市人均收入水平户的比率， ——乙区户人均收入水平低于全市人均收入水平户的比率．需要检验假设 ，检验选择统计量 ， 利用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理不难证明，当 和 充分大时，统计量 近似服从标准正态分布．这里 =250， =150都充分大； =90/50=0.36, =51/150=0.34； 为两区抽样调查的总共 + =400个居民户中人均收入水平低于全市人均收入水平户的比率： EMBED Equation.3 ； 而 相应为标准正态分布水平为 的双侧分位数（附表3）．因此，仿照关于比较两个正态总体均值的方法，构造的否定域 ，得 ．经计算，有 ； 由附表4有 ＝0.398855, =0.412463； 由于统计量|U|的值0.4053介于0.398855和0.412463之间，故可以认为两区户人均收入水平低于全市人均收入水平的情况无显著差异． 8.30 为比较两家工厂生产的同种产品的质量，进行抽样调查：从甲厂产品中随意抽取200件，其中有20件是不合格品；从乙厂产品中随意抽取300件，其中有15件是不合格品．根据这些资料，能否说明乙厂产品的合格率显著高于甲厂？ 解 以 和 分别表示甲厂和乙厂产品的合格率．需要需要检验假设 ，检验的统计量为 ， 其中m=200，n=300； =180/200=0.90, =285/300=0.95； 为两厂抽验的总共m+n件产品中合格品的比率： EMBED Equation.3 ； 而 相应为标准正态分布水平为 的双侧分位数（附表3）．因m和n都充分大，故统计量 ． 近似地服从标准正态分布．因此仿照比较两个正态总体均值的方法，构造的否定域 ，得 ．经计算，得 ；由附表4有 ．由于统计量U的值小于2.053749，故可以认为乙厂产品的合格率显著高于甲厂（显著性水平 0.02）． PAGE —习题解答●8.1— _1185951839.unknown _1186036345.unknown _1190039045.unknown _1190047364.unknown _1190098283.unknown _1190107313.unknown _1206000909.unknown _1206188299.unknown _1206188765.unknown _1206188883.unknown _1206001583.unknown _1206001778.unknown _1206002045.unknown _1206000943.unknown _1190109583.unknown _1192869685.unknown _1206000874.unknown _1190109688.unknown _1190109856.unknown _1190109896.unknown _1190109621.unknown _1190107316.unknown _1190107352.unknown _1190107315.unknown _1190106925.unknown _1190107037.unknown _1190107256.unknown _1190106995.unknown _1190098446.unknown _1190098695.unknown _1190098913.unknown _1190099137.unknown _1190098709.unknown _1190098686.unknown _1190098339.unknown _1190094211.unknown _1190097971.unknown _1190098157.unknown _1190098232.unknown _1190098058.unknown _1190094764.unknown _1190095318.unknown _1190097796.unknown _1190096306.unknown _1190095261.unknown _1190094407.unknown _1190094738.unknown _1190093470.unknown _1190093861.unknown _1190093947.unknown _1190094111.unknown _1190093726.unknown _1190047414.unknown _1190093019.unknown _1190093375.unknown _1190047401.unknown _1190043411.unknown _1190046256.unknown _1190046525.unknown _1190046679.unknown _1190046733.unknown _1190046606.unknown _1190046277.unknown _1190045547.unknown _1190045570.unknown _1190046218.unknown _1190045702.unknown _1190043510.unknown _1190043786.unknown _1190039825.unknown _1190043129.unknown _1190043396.unknown 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